1: なぜ、負数を負数で掛けたものは正なのか？

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ある数学者による定義にすぎない？しかし、その定義を採択するには何らかの良き理由があるはずだ。

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話題

About: 中学数学

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: なぜ、負数たちが求められるのか？
• 2: 整数たちセット（集合）を構築しよう
• 3: いくつかの注
• 4: 公理に基づく理論では、算術は単にそう定義されているというに過ぎない、しかし
• 5: 整数たちの加法
• 6: 整数たちの減法
• 7: 整数たちの乗法
• 8: 整数たちの除法
• 9: 整数たちの順序

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開始コンテキスト

• 読者は、本サイトの背景を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、なぜ負数たちが求めれるかの理由、整数とは本当は何なのか、整数たちのための算術の理由、整数たちの順序の理由を知る。

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オリエンテーション

真実たちの導管になることによってヒューマニティーの庇護者になることについての記事があります。

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本体

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1: なぜ、負数たちが求められるのか？

Special-Student-7-Hypothesizer
日本の生徒たちは負数たちを最初に中学校で学ぶようだ。

Special-Student-7-Rebutter
えーと、日本の小学生たちは摂氏マイナス温度を知らないのか？

Special-Student-7-Hypothesizer
日本では、気温は通常摂氏で呼ばれ、北部地方の小学生たちは冬季には日常的に摂氏マイナス温度を体験している。

Special-Student-7-Rebutter
しかし、彼らは摂氏マイナス温度が何なのか知らない ...

Special-Student-7-Hypothesizer
少なくとも公式には。

ZFCセット（集合）理論では、自然数たちセット（集合）が最初に構築され、整数たちセット（集合）が自然数たちセット（集合）から構築され、有理数たちセット（集合）が整数たちセット（集合）から構築され、実数たちセット（集合）が自然数たちセット（集合）から構築される。

日本の学校では、正有理数たちを整数たちの前に学ぶようだ。

Special-Student-7-Rebutter
なぜなんだろうか。

Special-Student-7-Hypothesizer
それは興味深いポイントだ。多分、負数の概念は、結構把握するのが難しいある抽象化を含んでいると思われているようだ。

実のところ、ある1 / 3のリンゴは物理的な物として生徒たちに示すことができるが、-1のリンゴはどうだろうか？

Special-Student-7-Rebutter
生徒たちは、どの数もなんらかの物理的な物たちに対応するべきだという観念から逃れないといけない。

Special-Student-7-Hypothesizer
私たちが負数たちを必要とし始めるのは、差異たちを考え始める時だ。

例えば、あるリンゴの木が昨年17個のリンゴたちを実らせ、今年10個のリンゴたちを実らせた、すると、その木の昨年から今年への収穫量の増加はいくらか？

Special-Student-7-Rebutter
7個の減少だ。

Special-Student-7-Hypothesizer
私は"増加"を尋ねたのだが。

Special-Student-7-Rebutter
-7と言うように期待されているようだ。

Special-Student-7-Hypothesizer
注意すべきだが、差異を得るのは残りを得るのとは異なる。

例えば、そのリンゴの木は10個のリンゴを実らせていたが、それらの内の3個がカラスに盗まれた、すると、'10 - 3 = 7'個のリンゴたちが残っている; 10個より多いリンゴが盗まれることはなく、残りが負になることはない。

小学校数学は負数たちに取り組む必要がないが、その理由は、その中での引き算は残りを得ることだからだ。

Special-Student-7-Rebutter
残りとしての数字7は物理的な残された7個のリンゴたちに対応しているが、差異としての数字-7はなんらの特定の物理的な物たちに対応せず、当該の木の収穫量が当該1年で減少したという状況に対応している。

Special-Student-7-Hypothesizer
-7は昨年のいずれか7個のリンゴたちに対応していると言う人がいるかもしれないが、それは真実ではない: 実際、どの7個のリンゴのことをその人は指しているのか？

Special-Student-7-Rebutter
多分、その人はなんらか恣意的な7個のリンゴたちを取り上げたのだろうが、-7はその特定の7個のリンゴたちに対応しているわけではない。

Special-Student-7-Hypothesizer
私たちは、負数たちを、増加を訊ねられた時の減少として必要とする。

同様に、私たちは、負数たちを、減少を訊ねられた時の増加として必要とする。

実際、当該の木の収穫量の今年から昨年への減少は-7である: 昨年から今年への差異の代わりに今年から昨年への差異についても語ることができる。

Special-Student-7-Rebutter
負数たちは直線に目盛りを付けるために求められるという説明を私は見たことがある。

Special-Student-7-Hypothesizer
実のところ、任意の直線は負数たち無しで目盛りを付けることができる: 例えば、原点をマークする、原点から1方向に1, 3, 5, ...をマークする、原点から別方向に2, 4, 6, ...をマークする。

Special-Student-7-Rebutter
その方法で、確かに、直線に、各点がユニークに特定されるという要件を満たして目盛りを付けることができる、しかし、数字たちは1方向に単調に増加するべきだという予期は満たされていない。

Special-Student-7-Hypothesizer
直線は実のところオープン（開）実数たちインターバル$(0,\pi )$のみで目盛りを付けることができる、$ta{n}^{-1}(x)+\pi /2$を使うことによって、そして、任意の正実数たちインターバル(a, b)によっても目盛りを付けられる、$(0,\pi )$を拡大縮小・平行移動することによって、すると、それは、単調に増加する。

Special-Student-7-Rebutter
よくある予期として、原点0は有限の位置にあるべきだということがある。

Special-Student-7-Hypothesizer
そうしたら、勿論、負数たちが必要とされる、なぜなら明らかに、原点からある方向にある全ての数字たちは0より小さくなければならないから。

しかし、いずれにせよ、直線に目盛りを付ける第一の目的は各点を1つの数でユニークに特定することであるはずであり、その目的のためには、負数たちは必要とされない。

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2: 整数たちセット（集合）を構築しよう

Special-Student-7-Hypothesizer
本記事では、自然数たちセット（集合）から整数たちセット（集合）の構築のことを考えよう、ZFCセット（集合）理論の議論にしたがって、それが意味するのは、私たちは有理数たちのことは考えないということだ。

あるアイデアは、-7をペア(10, 17)だとみなすことだ、それが意味するのは、-7は17から10への増加だということ。

Special-Student-7-Rebutter
(17, 10)のほうがより自然ではないか？

Special-Student-7-Hypothesizer
えーと、それは単に広く見られる慣習だ、それが採択されたのは多分'10 - 17'が想起されるからだ。

Special-Student-7-Rebutter
いずれにせよ、(9, 16)のようなものたちも有効なはずだ。

Special-Student-7-Hypothesizer
そう、したがって、実際には、-7 = {(0, 7), (1, 8), ...}、それは$\mathbb{N}\times \mathbb{N}$内のイクイバレンス（等値）クラス、ここで、$\mathbb{N}$は自然数たちセット（集合）、だ。

'イクイバレンス（等値）クラス'の概念はほとんどの中学生には馴染みがないかもしれないが、それは単にあるセット（集合）のサブセット（部分集合）だ、当該セット（集合）がそうしたサブセット（部分集合）たちへ分割される時の、ここで。"そうしたサブセット（部分集合）たちへ分割される"は、任意の2つの異なるそうしたサブセット（部分集合）たちは互いに交わらず、当該セット（集合）の任意の要素はあるサブセット（部分集合）に含まれていることを意味する。

Special-Student-7-Rebutter
'イクイバレンス（等値）クラス'は高等数学では逃れることができない概念だ、それはそこでは頻繁に現れるから。

実のところ、初等数学においても多くのイクイバレンス（等値）クラスたちが見られる、自然数たちセット（集合）内の偶数たちサブセット（部分集合）と奇数たちサブセット（部分集合）のように、もっとも、それらは初等数学ではイクイバレンス（等値）クラスとは呼ばれていないが。

Special-Student-7-Hypothesizer
私たちは、正の整数たちも定義しなければならない: 7 = {(7, 0), (8, 1), ...}。

Special-Student-7-Rebutter
それは、一部の中学生たちは容易には理解できないポイントかもしれない: "私たちはもう既に自然数7を持っている; なぜ、私たちはそんな別の7を必要とするのか？".

Special-Student-7-Hypothesizer
実のところ、整数7は自然数7と実は異なるというのは重要なポイントだ: 自然数7は7個のリンゴたちに対応するが、整数7は10から17への増加に対応する、7個のリンゴたちにではなく。

Special-Student-7-Rebutter
すると、私たちが整数7を必要とするのは、整数7と自然数7は意味において異なるからだ。

Special-Student-7-Hypothesizer
そして、私たちはそれを、対称性の希求としても必要とする: (10, 17)を許すが(17, 10)を許さないというのは対称でない。言い換えると、負数たちも正数たちも同じように私たちは扱いたい、したがって、私たちは、負の整数たちと正の整数たちを同一の形で欲しい。

Special-Student-7-Rebutter
その便利性を私たちは理解するだろう、整数たちの算術のことを考える時に。

Special-Student-7-Hypothesizer
{(0, 7), (1, 8), ...}は実際には[(0, 7)]と記される、なぜなら、1要素(0, 7)を挙げれば当該イクイバレンス（等値）クラスは曖昧さなく決定されるから。その代わりに、[(1, 8)]や[(10, 17)]などでもよい、なぜなら、当該イクイバレンス（等値）クラスを特定するという目的は当該イクイバレンス（等値）クラスの任意の要素によって達せられるから。

Special-Student-7-Rebutter
したがって、-7を表現するのに[(0, 7)]や[(1, 8)]等のようにいくらかの自由度がある、しかし、それは何らの問題でもない、なぜなら、当該イクイバレンス（等値）クラスは問題なく曖昧さなく指定されるから。

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3: いくつかの注

Special-Student-7-Hypothesizer
以下において、ただの7は自然数であり、[+7]や[-7]は整数である。

整数たちの算術は常に整数たちだけで行なわれる。

したがって、'[+10] + [-7]'または'[+10] - [+7]'は許される、しかし、'[+10] - 7'は許されない。お分かりのように、'[+10] - 7'は通常、暗黙のうちに'[+10] - [+7]'へと変換される、しかし、本記事はそうした暗黙の変換を許さない、なぜなら、そういう暗黙の変換は詳細なメカニズムを隠してしまうから。

'[+10] + [-7]'と'[+10] - [+7]'は別物である、もっとも、それらの結果は同一であることが判明するのであるが。

'[+10] - [+17]'は答えを持つが、'10 - 17'は答えを持たない、なぜなら、自然数たちの算術は結果として自然数を持たなければならないから。[-7]は[(10, 17)]であって、'10 - 17'（それは結果を持たない）ではない。

Special-Student-7-Rebutter
勿論、そうした区別を日常生活で常にしなければならないと言っているわけではない: 単に、本記事の目的がそうした区別を必要とするということなのである。

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4: 公理に基づく理論では、算術は単にそう定義されているというに過ぎない、しかし

Special-Student-7-Hypothesizer
以下において、なぜ、整数たちの算術は現状のようなのかを吟味する。例えば、なぜ、[-1] + [-1] = [-2]なのか？

Special-Student-7-Rebutter
算術は単にある数学者によってそう定義されただけだと言う人がいるかもしれない。

Special-Student-7-Hypothesizer
そのスタンスは、論理的に間違っているわけではないが、理解を深める妨げになる、なぜなら、任意の定義はなんらかのよき理由をもってなされたはずであって、その理由を理解することが当該概念の重要性を明らかにするからだ。

どんな定義もウェルデファインドでさえあればでっち上げることは可能だ、論理的に言えば、しかし、そうした定義が賢明であるかを訊ねることは可能だし訊ねるべきである。

Special-Student-7-Rebutter
しかし、どのように、整数たちの算術の定義が賢明であると判断できるのか？

Special-Student-7-Hypothesizer
あるポイントは、それが整数たちの差異たちとしての解釈と調和していることだ。

例えば、2の増加たちの和は何か？

Special-Student-7-Rebutter
2の増加たちが、あのリンゴの木の収穫量の2年前から昨年への増加および昨年から今年への増加であれば、それら2つの和は2年前から今年への増加だろう。

Special-Student-7-Hypothesizer
すると、整数たちの加法は、賢明であるには、それと調和すべきだ。

Special-Student-7-Rebutter
その要求は既に整数たちの加法をユニークに定義しそうだ。

Special-Student-7-Hypothesizer
別のポイントは、それは、関係する整数たちが正である時に、自然数たちの算術に対応するか否かだ。

例えば、私たちは、'[+1] * [+2]'が[+2]以外であって欲しくないだろう？

Special-Student-7-Rebutter
多分ないだろう: 私たちは、整数たちの算術は自然数たちの算術の拡張であって欲しい、ある意味において。

Special-Student-7-Hypothesizer
別のポイントは、それが、通常成立すると期待されている規則たちを満たしているか否かだ。

Special-Student-7-Rebutter
どんな規則たちだ、具体的には？

Special-Student-7-Hypothesizer
交換律、'[-1] + [-2] = [-2] + [-1]'のような、結合律、'[-1] + [-2] + [-3] = [-1] + ([-2] + [-3])'のような、分配律、'[-1] * ([-2] + [-3]) = [-1] * [-2] + [-1] * [-3]'のような、加法と減法の逆性、'[0] - [-7] + [-7] = [0]'のような、乗法と除法の逆性、'[+1] / [-7] * [-7] = [+1]'のような、例を挙げると。

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5: 整数たちの加法

Special-Student-7-Rebutter
'[-1] + [-1]'は何であるべきか？

Special-Student-7-Hypothesizer
それは、1の減少と1の減少の蓄積であり。それは2の減少であるはずであり、それが意味するのは、'[-1] + [-1] = [-2]'。

Special-Student-7-Rebutter
それが唯一のリーズナブルなオプションだと思われる、負数たちの減少たちとしての解釈と加法の蓄積としての解釈を尊重する限り。

Special-Student-7-Hypothesizer
'[+1] + [+1] = [+2]'も唯一のリーズナブルなオプションだと思われる。

'[-2] + [+1] = [-1]'、'[-1] + [+2] = [+1]'、'[+1] + [-2] = [-1]'、'[+2] + [-1] = [+1]'も唯一のリーズナブルなオプションたちとしてやってくる。

厳密な定義として、$[(n_{1,1},n_{1,2})]+[(n_{2,1},n_{2,2})]=[(n_{1,1}+n_{2,1},n_{1,2}+n_{2,2})]$が上記例たちを実現する、ここで、$n_{i,j}$は任意の自然数。

その統一された定義を整数たちセット（集合）全体に対して使えるのは、正の整数たちも負の整数たちと同一の形で制定されているからだ。

Special-Student-7-Rebutter
その定義は妥当な定義であることをチェックする必要がある。

Special-Student-7-Hypothesizer
それが意味するのは、結果はイクイバレンス（等値）クラスたちの代表には依存しないということだ。実のところ、$[(n_{1,1}+i,n_{1,2}+i)]+[(n_{2,1}+j,n_{2,2}+j)]=[(n_{1,1}+i+n_{2,1}+j,n_{1,2}+i+n_{2,2}+j)]=[(n_{1,1}+n_{2,1},n_{1,2}+n_{2,2})]$。

Special-Student-7-Rebutter
交換律および結合律が成立するか否かをチェックしよう。

Special-Student-7-Hypothesizer
交換律に関しては、$[(n_{1,1},n_{1,2})]+[(n_{2,1},n_{2,2})]=[(n_{1,1}+n_{2,1},n_{1,2}+n_{2,2})]=[(n_{2,1}+n_{1,1},n_{2,2}+n_{1,2})]=[(n_{2,1},n_{2,2})]+[(n_{1,1},n_{1,2})]$、自然数たちの交換律がゆえに。

結合律に関しては、$[(n_{1,1},n_{1,2})]+[(n_{2,1},n_{2,2})]+[(n_{3,1},n_{3,2})]=[(n_{1,1}+n_{2,1},n_{1,2}+n_{2,2})]+[(n_{3,1},n_{3,2})]=[(n_{1,1}+n_{2,1}+n_{3,1},n_{1,2}+n_{2,2}+n_{3,2})]=[(n_{1,1}+(n_{2,1}+n_{3,1}),n_{1,2}+(n_{2,2}+n_{3,2}))]=[(n_{1,1},n_{1,2})]+[(n_{2,1}+n_{3,1},n_{2,2}+n_{3,2})]=[(n_{1,1},n_{1,2})]+([(n_{2,1},n_{2,2})]+[(n_{3,1},n_{3,2})])$、自然数たちの結合律がゆえに。

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6: 整数たちの減法

Special-Student-7-Rebutter
'[-3] - [-7]'は何であるべきか？

Special-Student-7-Hypothesizer
'[-3] - [-7] + [-7]'のことを考えよう。

Special-Student-7-Rebutter
それは、加法と減法の逆性の問題だ: 任意の数を引いて、同じ数字を足し返せば、変化はないはずだ。

Special-Student-7-Hypothesizer
つまり、'[-3] - [-7] + [-7] = [-3]'。

すると、'[-3] - [-7]'に対するオプションは整数たちの加法の定義からユニークだ。実際、'$[(0,3)]=[(n_1,n_2)]+[(0,7)]=[(n_1,n_2+7)]$'、ここで、$n_i$は自然数、したがって、$(n_1,n_2)=(4,0)$、例えば; つまり、それは(5, 1)等でもよいが、'[(4, 0)] = [(5, 1)]'。

厳密な定義として、$[(n_{1,1},n_{1,2})]-[(n_{2,1},n_{2,2})]=[(n_{1,1}+n_{2,2},n_{1,2}+n_{2,1})]$。

その定義は妥当である、なぜなら、$[(n_{1,1}+i,n_{1,2}+i)]-[(n_{2,1}+j,n_{2,2}+j)]=[(n_{1,1}+i+n_{2,2}+j,n_{1,2}+i+n_{2,1}+j)]=[(n_{1,1}+n_{2,2},n_{1,2}+n_{2,1})]$。

Special-Student-7-Rebutter
その定義の理由は一部の人には即座に明らかではないかもしれない。

Special-Student-7-Hypothesizer
もしも、$0\le n_{1,1}-n_{2,1}$および$0\le n_{1,2}-n_{2,2}$であれば、$[(n_{1,1}-n_{2,1},n_{1,2}-n_{2,2})]$で済むだろう、しかし、それは保証されていない、したがって、私たちは$[(n_{1,1},n_{1,2})]=[(n_{1,1}+n_{2,1}+n_{2,2},n_{1,2}+n_{2,1}+n_{2,2})]$を使った、$0\le n_{1,1}+n_{2,1}+n_{2,2}-n_{2,1}=n_{1,1}+n_{2,2}$ and $0\le n_{1,2}+n_{2,1}+n_{2,2}-n_{2,2}=n_{1,2}+n_{2,1}$を確かにするために。

Special-Student-7-Rebutter
その定義は自然数たち算術と首尾一貫していることをチェックするべきだ。

Special-Student-7-Hypothesizer
$n_2\le n_1$である時、$[+n_1]-[+n_2]=[(n_1,0)]-[(n_2,0)]=[(n_1,n_2)]=[(n_1-n_2,0)]=[+(n_1-n_2)]$、それは$n_1-n_2=n_1-n_2$に対応する。

Special-Student-7-Rebutter
チェックするべきいくつかの重要なプロパティたちは、$i_1-[+n_2]=i_1+[-n_2]$および$i_1-[-n_2]=i_1+[+n_2]$、ここで、$i_1$は任意の整数で$n_2$は任意の自然数。

Special-Student-7-Hypothesizer
$i_1-[+n_2]=[(n_{1,1},n_{1,2})]-[(n_2,0)]=[(n_{1,1},n_{1,2}+n_2)]=[(n_{1,1},n_{1,2})]+[(0,n_2)]=i_1+[-n_2]$。

$i_1-[-n_2]=[(n_{1,1},n_{1,2})]-[(0,n_2)]=[(n_{1,1}+n_2,n_{1,2})]=[(n_{1,1},n_{1,2})]+[(n_2,0)]=i_1+[+n_2]$。

それが有用なのは、これで、任意の引き算を足し算に還元して加法の規則たちを駆使できるようになるから。

例えば、$i_1-[+n_2]-[+n_3]=i_1+[-n_2]+[-n_3]=i_1+[-n_3]+[-n_2]=i_1-[+n_3]-[+n_2]$。

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7: 整数たちの乗法

Special-Student-7-Rebutter
'[-3] * [-7]'は何であるべきか？

Special-Student-7-Hypothesizer
'[-3] * [+7]'のことをまず考えよう。

以下を仮定するのはリーズナブルだろう、つまり、'[-3] * [+7] = [-3] + [-3] + [-3] + [-3] + [-3] + [-3] + [-3]'。

Special-Student-7-Rebutter
それは乗法の元々のコンセプトだ。

Special-Student-7-Hypothesizer
したがって、'[-3] * [+7] = [-21]'。

次に、'[-3] * ([+7] + [-7])'のことを考えよう。

それは何だろうか？

Special-Student-7-Rebutter
'[+7] + [-7] = [0]'は既に知られている、したがって、'[-3] * ([+7] + [-7]) = [-3] * [0]'。

Special-Student-7-Hypothesizer
それはリーズナブルに[0]だ。

さて、分配律が成立すると仮定しよう、それが意味するのは、'[-3] * ([+7] + [-7]) = [-3] * [+7] + [-3] * [-7] = [0]'。

すると、'[-3] * [+7] = [-21]', '[-3] * [-7]'には[+21]となるユニークなオプションしかない。

Special-Student-7-Rebutter
したがって、任意の負数に任意の負数を掛けたいものは正である、それは、いくつかの自然な要求をしたことから来たのである、その中には分配律がある。

Special-Student-7-Hypothesizer
'[-3] * [-7]'の、[-3]増加を[-7]回という解釈は多分、謎めいているが、'[-3] * [-7]'には[+21]となるべきよき理由があるのだ。

厳密な定義としては、$[(n_{1,1},n_{1,2})]\ast [(n_{2,1},n_{2,2})]=[(n_{1,1}\ast n_{2,1}+n_{1,2}\ast n_{2,2},n_{1,1}\ast n_{2,2}+n_{1,2}\ast n_{2,1})]$。

それのモチベーションは、'$(n_{1,1}-n_{1,2})\ast (n_{2,1}-n_{2,2})=n_{1,1}\ast n_{2,1}+n_{1,2}\ast n_{2,2}-(n_{1,1}\ast n_{2,2}+n_{1,2}\ast n_{2,1})$'だ、非公式に言うと。

Special-Student-7-Rebutter
"非公式に言うと"というのは、それは本当には許されない、なぜなら、'$n_{1,1}-n_{1,2}$'は'$n_{1,1}<n_{1,2}$'の時は妥当でない: 注意として、それは自然数たち算術におけるものであって、整数たち算術におけるものではない。

Special-Student-7-Hypothesizer
それはただのモチベーションであって、妥当な計算ではない。

いずれにせよ、その定義は妥当である、なぜなら、$[(n_{1,1}+i,n_{1,2}+i)]\ast [(n_{2,1}+j,n_{2,2}+j)]=[((n_{1,1}+i)\ast (n_{2,1}+j)+(n_{1,2}+i)\ast (n_{2,2}+j),(n_{1,1}+i)\ast (n_{2,2}+j)+(n_{1,2}+i)\ast (n_{2,1}+j))]=[(n_{1,1}\ast n_{2,1}+i\ast n_{2,1}+j\ast n_{1,1}+i\ast j+n_{1,2}\ast n_{2,2}+i\ast n_{2,2}+j\ast n_{1,2}+i\ast j,n_{1,1}\ast n_{2,2}+i\ast n_{2,2}+j\ast n_{1,1}+i\ast j+n_{1,2}\ast n_{2,1}+i\ast n_{2,1}+j\ast n_{1,2}+i+j)]=[(n_{1,1}\ast n_{2,1}+n_{1,2}\ast n_{2,2},n_{1,1}\ast n_{2,2}+n_{1,2}\ast n_{2,1})]$。

Special-Student-7-Rebutter
交換律をチェックしよう。

Special-Student-7-Hypothesizer
'$[(n_{2,1},n_{2,2})]\ast [(n_{1,1},n_{1,2})]=[(n_{2,1}\ast n_{1,1}+n_{2,2}\ast n_{1,2},n_{2,1}\ast n_{1,2}+n_{2,2}\ast n_{1,1})]=[(n_{1,1}\ast n_{2,1}+n_{1,2}\ast n_{2,2},n_{1,1}\ast n_{2,2}+n_{1,2}\ast n_{2,1})]=[(n_{1,1},n_{1,2})]\ast [(n_{2,1},n_{2,2})]$'。

Special-Student-7-Rebutter
結合律をチェックしよう。

Special-Student-7-Hypothesizer
'$[(n_{1,1},n_{1,2})]\ast [(n_{2,1},n_{2,2})]\ast [(n_{3,1},n_{3,2})]=[(n_{1,1}\ast n_{2,1}+n_{1,2}\ast n_{2,2},n_{1,1}\ast n_{2,2}+n_{1,2}\ast n_{2,1})]\ast [(n_{3,1},n_{3,2})]=[((n_{1,1}\ast n_{2,1}+n_{1,2}\ast n_{2,2})\ast n_{3,1}+(n_{1,1}\ast n_{2,2}+n_{1,2}\ast n_{2,1})\ast n_{3,2},(n_{1,1}\ast n_{2,1}+n_{1,2}\ast n_{2,2})\ast n_{3,2}+(n_{1,1}\ast n_{2,2}+n_{1,2}\ast n_{2,1})\ast n_{3,1})]=[(n_{1,1}\ast (n_{2,1}\ast n_{3,1}+n_{2,2}\ast n_{3,2})+n_{1,2}\ast (n_{2,1}\ast n_{3,2}+n_{2,2}\ast n_{3,1}),n_{1,1}\ast (n_{2,1}\ast n_{3,2}+n_{2,2}\ast n_{3,1})+n_{1,2}\ast (n_{2,1}\ast n_{3,1}+n_{2,2}\ast n_{3,2}))]=[(n_{1,1},n_{1,2})]\ast [(n_{2,1}\ast n_{3,1}+n_{2,2}\ast n_{3,2},n_{2,1}\ast n_{3,2}+n_{2,2}\ast n_{3,1})]=[(n_{1,1},n_{1,2})]\ast ([(n_{2,1},n_{2,2})]\ast [(n_{3,1},n_{3,2})])$'。

Special-Student-7-Rebutter
分配律をチェックしよう。

Special-Student-7-Hypothesizer
'$[(n_{1,1},n_{1,2})]\ast ([(n_{2,1},n_{2,2})]+[(n_{3,1},n_{3,2})])=[(n_{1,1},n_{1,2})]\ast [(n_{2,1}+n_{3,1},n_{2,2}+n_{3,2})]=[(n_{1,1}\ast (n_{2,1}+n_{3,1})+n_{1,2}\ast (n_{2,2}+n_{3,2}),n_{1,1}\ast (n_{2,2}+n_{3,2})+n_{1,2}\ast (n_{2,1}+n_{3,1}))]=[(n_{1,1}\ast n_{2,1}+n_{1,2}\ast n_{2,2}+n_{1,1}\ast n_{3,1}+n_{1,2}\ast n_{3,2},n_{1,1}\ast n_{2,2}+n_{1,2}\ast n_{2,1}+n_{1,1}\ast n_{3,2}+n_{1,2}\ast n_{3,1})]=[(n_{1,1}\ast n_{2,1}+n_{1,2}\ast n_{2,2},n_{1,1}\ast n_{2,2}+n_{1,2}\ast n_{2,1})]+[(n_{1,1}\ast n_{3,1}+n_{1,2}\ast n_{3,2},n_{1,1}\ast n_{3,2}+n_{1,2}\ast n_{3,1})]=[(n_{1,1},n_{1,2})]\ast [(n_{2,1},n_{2,2})]+[(n_{1,1},n_{1,2})]\ast [(n_{3,1},n_{3,2})]$'。

'$(i_2+i_3)\ast i_1=i_2\ast i_1+i_3\ast i_1$'、ここで、$i_j$は任意の整数、は容易に証明できる、交換律を使って、'$(i_2+i_3)\ast i_1=i_1\ast (i_2+i_3)=i_1\ast i_2+i_1\ast i_3=i_2\ast i_1+i_3\ast i_1$'のように。

Special-Student-7-Rebutter
チェックするべきある重要なプロパティは、$[-n_1]=[-1]\ast [+n_1]$、ここで、$n_1$は任意の自然数。

Special-Student-7-Hypothesizer
$[-n_1]=[(0,n_1)]=[(0,1)]\ast [(n_1,0)]$。

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8: 整数たちの除法

Special-Student-7-Hypothesizer
注意すべきだが、私たちは整数たちだけのことを考えているので、'[-7] / [-3]'等のことは考えない。

Special-Student-7-Rebutter
'[-21] / [+7]'は何であるべきか？

Special-Student-7-Hypothesizer
私たちは、既に'[-3] * [+7] = [-21]'を得ている。

私たちは、'[-3] * [+7] / [+7] = [-3]'だと仮定する、それは、乗法と除法の逆性である。

すると、'[-3] * [+7] / [+7] = [-21] / [+7] = [-3]'。

Special-Student-7-Rebutter
'[-21] / [-7]'は何であるべきか？

Special-Student-7-Hypothesizer
'[+7] * [-3] / [-3] = [+7]'、乗法と除法の逆性によって、その一方で、私たちは既に'[+7] * [-3] = [-21]'を得ている、したがって、'[+7] * [-3] / [-3] = [-21] / [-3] = [+7]'。

Special-Student-7-Rebutter
'[+21] / [-3]'は何であるべきか？

Special-Student-7-Hypothesizer
私たちは既に'[-7] * [-3] = [+21]'を得ている、'[-7] * [-3] / [-3] = [+21] / [-3] = [-7]'、乗法と除法の逆性によって。

厳密な定義としては、'$[(n_{1,1},n_{1,2})]/[(n_{2,1},n_{2,2})]$'は、'$[((n_{1,1}-n_{1,2})/(n_{2,1}-n_{2,2}),0)]$'、'$n_{1,2}\le n_{1,1}$'および'$n_{2,2}<n_{2,1}$'である場合; '$[(0,(n_{1,1}-n_{1,2})/(n_{2,2}-n_{2,1}))]$'、'$n_{1,2}\le n_{1,1}$'および'$n_{2,1}<n_{2,2}$'である場合; '$[(0,(n_{1,2}-n_{1,1})/(n_{2,1}-n_{2,2}))]$'、'$n_{1,1}\le n_{1,2}$'および'$n_{2,2}<n_{2,1}$'である場合; '$[((n_{1,2}-n_{1,1})/(n_{2,2}-n_{2,1}),0)]$'、'$n_{1,1}\le n_{1,2}$'および'$n_{2,1}<n_{2,2}$'である場合。

Special-Student-7-Rebutter
除法の定義だけごちゃごちゃに見えないか？

Special-Student-7-Hypothesizer
場合分けして指定しなければならないことについて話しているのであれば、それは単に見かけの問題に過ぎないように思われる。

Special-Student-7-Rebutter
見かけはどうでもよいものなのか？

Special-Student-7-Hypothesizer
少なくとも、見かけは人を欺きがちだ。

Special-Student-7-Rebutter
いずれにせよ、チェックするべきある重要なプロパティは、$i_1/[-n_2]=[-1]\ast i_1/[+n_2]=[-1]\ast (i_1/[+n_2])$、ここで、$i_1$は任意の整数で$n_2$は任意の自然数、だ。

Special-Student-7-Hypothesizer
$i_1=[+n_1]$である場合、$i_1/[-n_2]=[(n_1,0)]/[(0,n_2)]=[(0,n_1/n_2)]=[-n_1]/[+n_2]=[-1]\ast [+n_1]/[+n_2]=[-1]\ast i_1/[+n_2]=[-1]\ast [(n_1/n_2,0)]=[-1]\ast ([(n_1,0)]/[(n_2,0)])=[-1]\ast (i_1/[+n_2])$; $i_1=[-n_1]$である場合、$i_1/[-n_2]=[(0,n_1)]/[(0,n_2)]=[(n_1/n_2,0)]=[+n_1]/[+n_2]=[-1]\ast [-n_1]/[+n_2]=[-1]\ast i_1/[+n_2]=[-1]\ast [(0,n_1/n_2)]=[-1]\ast ([(0,n_1)]/[(n_2,0)])=[-1]\ast (i_1/[+n_2])$。

Special-Student-7-Rebutter
交換律をチェックしよう。

Special-Student-7-Hypothesizer
その前に、$i_1/i_2/i_3=i_1/(i_2\ast i_3)$をチェックしよう、それは交換律のチェックを容易にする。

Special-Student-7-Rebutter
オーケー。

Special-Student-7-Hypothesizer
$i_j=[+n_j]$である場合、$i_1/i_2/i_3=[+n_1]/[+n_2]/[+n_3]=[(n_1,0)]/[(n_2,0)]/[(n_3,0)]=[(n_1/n_2,0)]/[(n_3,0)]=[(n_1/n_2/n_3,0)]=[(n_1/(n_2\ast n_3),0)]=[(n_1,0)]/[(n_2\ast n_3,0)]=[(n_1,0)]/([(n_2,0)]\ast [(n_3,0)])=[+n_1]/([+n_2]\ast [+n_3])=i_1/(i_2\ast i_3)$; $i_1=[-n_1],i_2=[+n_2],i_3=[+i_3]$である場合、$i_1/i_2/i_3=[-n_1]/[+n_2]/[+n_3]=[-1]\ast [+n_1]/[+n_2]/[+n_3]=[-1]\ast ([+n_1]/[+n_2])/[+n_3]$、それは上記プロパティによる、$i_1$を$[+n_1]$と取って、$=[-1]\ast ([+n_1]/[+n_2]/[+n_3])$、それは上記プロパティによる、$i_1$を$[+n_1]/[+n_2]$と取って、$=[-1]\ast ([+n_1]/([+n_2]\ast [+n_3]))=[-1]\ast [+n_1]/([n_2]\ast [n_3])$、それは上記プロパティによる、$i_1$を$[+n_1]$と取って、$=[-n_1]/([n_2]\ast [n_3])=i_1/(i_2\ast i_3)$; $i_2=[-n_2],i_3=[+n_3]$である場合、$i_1/i_2/i_3=i_1/[-n_2]/[+n_3]=[-1]\ast (i_1/[+n_2])/[+n_3]$、それは上記プロパティによる、$i_1$を$i_1$と取って、$=[-1]\ast (i_1/[+n_2]/[+n_3])$、それは上記プロパティによる、$i_1$を$i_1/[+n_2]$と取って、$=[-1]\ast (i_1/([+n_2]\ast [+n_3]))=[-1]\ast (i_1/[+(n_2\ast n_3)])=i_1/[-(n_2\ast n_3)]$、それは上記プロパティによる、$i_1$を$i_1$と取って、$=i_1/([-n_2]\ast [+n_3])=i_1/(i_2\ast i_3)$; $i_2=[+n_2],i_3=[-n_3]]$である場合、$i_1/i_2/i_3=i_1/[+n_2]/[-n_3]=[-1]\ast (i_1/[+n_2]/[+n_3])$、それは上記プロパティによる、$i_1$を$i_1/[+n_2]$と取って、$=[-1]\ast (i_1/([+n_2]\ast [+n_3]))=[-1]\ast (i_1/[+(n_2\ast n_3)])=i_1/[-(n_2\ast n_3)]$、それは上記プロパティによる、$i_1$を$i_1$と取って、$=i_1/([+n_2]\ast [-n_3])=i_1/(i_2\ast i_3)$; $i_2=[-n_2],i_3=[-n_3]$である場合、$i_1/i_2/i_3=i_1/[-n_2]/[-n_3]=[-1]\ast (i_1/[+n_2])/[-n_3]$、それは上記プロパティによる、$i_1$を$i_1$と取って、$=[-1]\ast [-1]\ast (i_1/[+n_2])/[+n_3]$、それは上記プロパティによる、$i_1$を$[-1]\ast (i_1/[+n_2])$と取って、$=i_1/[+n_2]/[+n_3]=i_1/([+n_2]\ast [+n_3])=i_1/([-n_2]\ast [-n_3])=i_1/(i_2\ast i_3)$。

今や、交換律の証明は: $i_1/i_2/i_3=i_1/(i_2\ast i_3)=i_1/(i_3\ast i_2)=i_1/i_3/i_2$、乗法の交換律ゆえに。

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9: 整数たちの順序

Special-Student-7-Rebutter
整数たちの順序はどうであるべきか？

Special-Student-7-Hypothesizer
それは、整数たちの差異たちとして解釈から自然にやってくる。

[+7]増加と[+3]増加との間でどちらがより大きな増加か？

Special-Student-7-Rebutter
それは、どちらのケースがより多く増加したかという問題であるはずだ。

Special-Student-7-Hypothesizer
それでは、'$[+3]<[+7]$'。

[+7]増加と[-3]増加との間でどちらがより大きな増加か？

Special-Student-7-Rebutter
[-3]のケースは全然増加しなかった。

Special-Student-7-Hypothesizer
'$[-3]<[+7]$'がよりリーズナブルだと私は思う。

[-3]増加と[-7]増加との間でどちらがより大きな増加か？

Special-Student-7-Rebutter
[-7]が増加からより遠い。

Special-Student-7-Hypothesizer
'$[-7]<[-3]$'がよりリーズナブルだと私は思う。

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参考資料

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