ある数学者がそう定義しただけ？しかし、その定義を採択するには何らかの良き理由があるはずだ。
話題
About: 中学数学
この記事の目次
- 開始コンテキスト
- ターゲットコンテキスト
- オリエンテーション
- 本体
- 1: なぜ平面幾何学にて鏡像たちは合同とみなされているのか？
- 2: 鏡像たちを'合同'と呼ばないほうがより自然に思われる、'合同'が同形かつ同サイズであることを意味すると仮定すると
- 3: なぜ、"動かす"の代わりにマップ（写像）のことを考えるべきであるかのいくつかの理由たち
- 4: 2つの図形たちは合同である、もしも、あるアイソメトリー（等長写像）の下でそれらの内の1つが他方のイメージ（像）である場合、そしてその場合に限って
- 5: アイソメトリー（等長写像）は実のところトランスレーション（平行移動）、ローテーション（回転）、ミラーリングの任意のコンビネーションである
- 6: しかし、いずれにせよ、なぜアイソメトリー（等長写像）が'合同'の定義に用いられるのか？
- 7: 周囲空間内でのローテーション（回転）としての平面上または3次元空間内のミラーリング
開始コンテキスト
- 読者は、本サイトの背景を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、なぜ平面幾何学にて鏡像たちが合同とみなされているのかの理由たちを知る。
オリエンテーション
真実たちの導管になることによってヒューマニティーの庇護者になることについての記事があります。
本体
1: なぜ平面幾何学にて鏡像たちは合同とみなされているのか？
Special-Student-7-Rebutter
（2次元）平面幾何学において、2つの図形でその内の1つが他方の鏡像であるものは合同であるとみなされているようだ、少なくとも、日本の中学数学では。
Special-Student-7-Hypothesizer
日本の中学数学は、２つの図形でその内の1つを"動かして"他方に重なるようにできるものは合同である、と言っているようだ。
Special-Student-7-Rebutter
"動かす"は厳密には何を意味するのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
問題なのは、"動かす"が中学数学にて明示的に定義されていないことだ、中学生たち一般は堅牢な定義たちを理解するように期待されていないということを私は理解しているが。
Special-Student-7-Rebutter
しかし、"動かす"と言うのは無意味だ、もしも、その用語が正確に理解されなければ。
Special-Student-7-Hypothesizer
直感的に言えば、ある三角形が物理的物体のように想像され、それが空間内で動かされる: 普通の中学生たちは物体たちをテレポートできないから、彼らは物体を空間内で連続的に動かすことを想像するだろう、物体を変形させることなく。
Special-Student-7-Rebutter
そこに私は2つの問題たちを見る。
第1に、どのようにあなたは確実にできるのか、物体が意図しないうちに変形されていないことを、あなたが物体を動かしている間に？
Special-Student-7-Hypothesizer
えーと、物理的物体はとても硬くて、私がそれをただ動かしただけで意図せず変形されることは決してない、と想定されている。
Special-Student-7-Rebutter
"とても硬い"というのは正当な数学的概念なのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
"とても硬い"は、もしも、物体が木製かなにかであれば、物体は変形されないだろう、少なくとも大きくは、意図的に圧力が加えられることなく動かされることによって、という物理的想定だ。 ... それは洗練された数学的概念でないことを私は知っているが、それが'合同'のことを考える歴史的動機であったようだ。
Special-Student-7-Rebutter
第2に、"空間"は何を意味するのか、"空間内で動かされる"とあなたが言うとき？私たちはある平面について話しているので、"空間"は自然には当該平面と解されるべきだ、と私は考える。そうすると、ある図形は"動かして"その鏡像に重ねることはできない、当該図形を"当該空間"内で連続的に動かすことによって。
Special-Student-7-Hypothesizer
どうやら、日本の中学数学は当該図形を周囲3次元空間内で"動かす"ようだ。
Special-Student-7-Rebutter
彼らは周囲3次元空間を導入することはできないとは私は言わないが、それは賢明でないように思われる: 当該2次元空間に集中できたはずのものを、なぜ、彼らは追加の次元を導入することによって状況を複雑にしないといけないのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
彼らは無造作に周囲3次元空間を導入したようだ、3次元空間に馴染みがあるという理由によって。しかしながら、彼らは3次元空間幾何学のために周囲4次元空間を導入しなければならなくなるだろう、もしも、彼らがその戦略について首尾一貫するならば。
Special-Student-7-Rebutter
確かに、3次元図形たちは周囲4次元空間内で"動かされる"ことはできるか、それは直感的であるという目的に反しているように思われる: なぜ彼らは生徒たちに想像し難い4次元空間のことを考えさせなければならないのか、私たちは3次元空間のみに関心があるのに？
Special-Student-7-Hypothesizer
周囲空間を導入するというのは、平面幾何学に対してのみ自然な戦略であるようで、一般性を欠く戦略を運用するというのは賢明でないように思われる。
2: 鏡像たちを'合同'と呼ばないほうがより自然に思われる、'合同'が同形かつ同サイズであることを意味すると仮定すると
Special-Student-7-Hypothesizer
実のところ、'合同'は同形かつ同サイズであることを意味すると仮定すれば、鏡像たちを'同形'と呼ぶことは不自然だと思われる、そもそも。
Special-Student-7-Rebutter
その仮定には何らかの根拠があるのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
少なくともほとんどの一般（数学のでない）辞書たちは、'congruent（合同）'は同形かつ同サイズであることを意味すると言っている。
Special-Student-7-Rebutter
鏡像たちは同形ではない、私の語彙の中では。
Special-Student-7-Hypothesizer
もしも、鏡像たちを同形であると感じる人がいるとしたら、その理由は、その人は図形たちを周囲のより高次元な空間内で動かすことを想像したことであるように思われる。
Special-Student-7-Rebutter
しかし、ほとんどの人々は、3次元図形たちを周囲4次元空間内で動かすことを自然に想像しない、たぶん。
3: なぜ、"動かす"の代わりにマップ（写像）のことを考えるべきであるかのいくつかの理由たち
Special-Student-7-Hypothesizer
実のところ、"動かす"を導入するのは賢明でないように思われる、"動かす"は'連続的に動かす'として理解されるところ、それが自然であるとおり。
1つの理由は、ある図形は当該平面から周囲3次元空間の中へ取り出されなければならない、もしも、ミラーリングが一種の"動かす"であるとみなされて欲しいのであれば、ということ。
Special-Student-7-Rebutter
上記で議論されたとおり。
Special-Student-7-Hypothesizer
別の理由は、当該図形の連続的な動きの全体を考えなければならない、"動かす"という観念をもって考えるためには、私たちは元の図形と最終の図形のみに関心があるのに、ということ。
とすると、私たちは不要な中間を省かないのか？
Special-Student-7-Rebutter
もしも理由があるとしたら、それは、彼らは物理的物体を動かすという直感的な心象から開放されていないことだと思われる。
Special-Student-7-Hypothesizer
しかし、当該図形が動かされている最中に変形されないことを保証するためには、当該図形が各ポイントにおいて変形されていないことを保証しなければならず、すると、なぜ、私たちは、当該図形が最終ポイントにおいてのみ変形されていないことを保証しないのか？
Special-Student-7-Rebutter
正当な理由があるようには私は推測しない。
Special-Student-7-Hypothesizer
したがって、"動かす"の代わりに'マップ（写像）'のことを考えよう、ここで、'マップ（写像）'は、元図形の各ポイントを最終図形のあるポイントへマップ（写像）する、当該ポイントを空間内で連続的に動かす労を取ることなく、ことを意味する。
そのメリットたちは"動かす"を導入することの賢明でなさの逆である: 私たちは周囲空間を必要としないし、中間のことを考える必要もない。
任意のマップ（写像）は広く\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、ここで、\(S_1\)および\(S_2\)は何らかのセット（集合）たち、のように記され、\(S_1\)は'マップ（写像）のドメイン（定義域）と呼ばれ'、\(S_2\)は'マップ（写像）のコドメイン（余域）'と呼ばれる。マップ（写像）はドメイン（定義域）を本当にコドメイン（余域）全体へマップ（写像）する必要はなく、コドメイン（余域）の本当にマップ（写像）された部分は'マップ（写像）のレンジ（値域）'と呼ばれる; もしも、レンジ（値域）がコドメイン（余域）に等しい場合、マップ（写像）はサージェクション（全射）と呼ばれる。もしも、\(S_1\)の任意の異なった2要素たちが異なった要素たちへマップ（写像）されれば、マップ（写像）はインジェクション（単射）と呼ばれる。サージェクション（全射）かつインジェクション（単射）である任意のマップ（写像）はバイジェクション（全単射）と呼ばれる。
4: 2つの図形たちは合同である、もしも、あるアイソメトリー（等長写像）の下でそれらの内の1つが他方のイメージ（像）である場合、そしてその場合に限って
Special-Student-7-Hypothesizer
実のところ、数学的に言うと、2つの図形たちは合同である、もしも、あるアイソメトリー（等長写像）の下でそれらの内の1つが他方のイメージ（像）である場合、そしてその場合に限って、ここで、アイソメトリー（等長写像）は任意の2ポイントたちの距離を維持する任意のマップ（写像）である。
平面幾何学においては、2図形たちの集合たちを\(S'_1 \subseteq \mathbb{R}^2\)および\(S'_2 \subseteq \mathbb{R}^2\)と表わして、\(S'_1\)および\(S'_2\)は合同である、もしも、以下を満たすあるアイソメトリー（等長写像）\(f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\)、つまり、\(f (S'_1) = S'_2\)、がある場合、そしてその場合に限って。
Special-Student-7-Rebutter
鏡像たちはその定義によって合同なのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
はい、任意の2鏡像三角形たちの任意の対応する辺たちの長さたちは同じだ。
注意として、"任意の2ポイントたちの距離を維持する"は、2ポイントたち\(p_1, p_2\)間の距離を\(dist (p_1, p_2)\)と表わし、\(p_i\)のイメージ（像）を\(f (p_i)\)と表わすと、\(dist (f (p_1), f (p_2)) = dist (p_1, p_2)\)であることを意味する。 .
Special-Student-7-Rebutter
任意の角度は自動的に維持されるのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
はい。アイソメトリー（等長写像）の定義は長さたちについてのみ語っているが、任意の三角形\(ABC\)は\(A'B'C'\)へマップ（写像）され、角度\(\angle ABC\)は角度\(\angle A'B'C'\)に等しい、なぜなら、辺長\(CA\)は辺長\(C'A'\)に等しい、\(AB = A'B'\)および\(BC = B'C'\)に加えて。
5: アイソメトリー（等長写像）は実のところトランスレーション（平行移動）、ローテーション（回転）、ミラーリングの任意のコンビネーションである
Special-Student-7-Hypothesizer
任意のアイソメトリー（等長写像）は実のところトランスレーション（平行移動）、ローテーション（回転）、ミラーリングの任意のコンビネーションである。
Special-Student-7-Rebutter
えーと、それは明らかなことか？
Special-Student-7-Hypothesizer
私たちは厳密な証明は示さないが、それは直感的には明らかだ。
任意のトランスレーション（平行移動）は距離たちを維持する。
任意のローテーション（回転）は距離たちを維持する。
任意のミラーリングは距離たちを維持する。
任意のアイソメトリー（等長写像）はトランスレーション（平行移動）、ローテーション（回転）、ミラーリングの任意のコンビネーションでなければならない、なぜなら、ある三角形\(ABC\)が\(A'B'C'\)へ当該アイソメトリー（等長写像）によってマップ（写像）された時、\(A'B'C'\)は\(ABC\)と同形同サイズまたはそれの鏡像である（他の何であり得るのか、実のところ？）、そして、\(A'B'C'\)は\(ABC\)からトランスレーション（平行移動）、ローテーション（回転）、ミラーリングのあるコンビネーションによってマップ（写像）されたものでなければならない。
Special-Student-7-Rebutter
私たちは、もしも、\(A'B'C'\)が同形同サイズであれば、それはトランスレーション（平行移動）、ローテーション（回転）のあるコンビネーションでなければならない、そして、もしも、\(A'B'C'\)が鏡像であれば、それはトランスレーション（平行移動）、ローテーション（回転）、ミラーリングのあるコンビネーションでなければならない、と仮定している。
Special-Student-7-Hypothesizer
私たちはその仮定を厳密に証明はしなかったが、それは直感的には明らかに思われる。
6: しかし、いずれにせよ、なぜアイソメトリー（等長写像）が'合同'の定義に用いられるのか？
Special-Student-7-Rebutter
私はアイソメトリー（等長写像）を用いた'合同'の定義を理解するが、なぜ"アイソメトリー（等長写像）"なのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
それが、私たちが本記事を始めたポイントであった。"2つの図形たちは合同である、もしも、それらの内の1つが他方の、トランスレーション（平行移動）、ローテーション（回転）のあるコンビネーションの下でのイメージ（像）である場合、そしてその場合に限って。"という定義のほうがより自然でないのか？
ある人は言うかもしれない、それはある数学者（実のところ、ユークリッド、私の推測では）が単にアイソメトリー（等長写像）を用いたその定義を採択したに過ぎない、と、しかし、私が考えるには、そのメンタリティは良くない: 数学は、生徒たちが盲目的に不合理な定義を、単にある権威がその定義を行なったからという理由で受け入れなければならないという学問ではない; 私たちは、その定義を採択するに良き理由たちがあるか否かを問うことができるし、問うべきである。
Special-Student-7-Rebutter
何が、アイソメトリー（等長写像）を用いた'合同'の定義に対する良き理由たちなのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
平面幾何学における典型的な関心事たちは、ある線分の長さが別の線分の長さに等しい、ある角度が別の角度に等しいということであって、そうした関心事に取り組むのにはアイソメトリー（等長写像）で十分である。
私たちは、典型的にはある角度\(\angle ABC\)が別の角度\(\angle A'B'C'\)に等しいか否かに関心があり、実のところ、三角形\(A'B'C'\)が三角形\(ABC\)と同形同サイズであるか、その鏡像であるかは問題ではない。
Special-Student-7-Rebutter
それが問題であるケースたちも一部にあるかもしれないが、そうしたレアなケースたちにおいてのみ同形同サイズであることと鏡像であることを区別したほうがより経済的である。
Special-Student-7-Hypothesizer
それが、アイソメトリー（等長写像）を用いて定義されたコンセプトを私たちが持つ良き理由である。
Special-Student-7-Rebutter
しかし、"congruent（合同）"という単語がそのコンセプトを代表するのに適切であるのかという問題がある。
Special-Student-7-Hypothesizer
上記で議論されたとおり、'congruent（合同）'の一般的な意味が同形同サイズであると仮定すると、数学的"congruent（合同）"は一般的意味に反しているか、周囲スペース（空間）を導入することによってのみ一般的意味に沿うことになる。いずれにせよ、"congruent（合同）"の使用は誤解を招くものであるように私は感じる。
Special-Student-7-Rebutter
まとめると、2つの図形たちは、もしも、それらの内の1つが他方の、あるアイソメトリー（等長写像）の下の、イメージ（像）である場合、そしてその場合に限って合同であると言われ、そこでなぜアイソメトリー（等長写像）が用いられているかという理由は、アイソメトリー（等長写像）が、2線分長たちが等しいか否か、2角度たちが等しいか否かという私たちの典型的な関心事たちに沿っていることだ。"congruent（合同）"が望ましい単語であるが否かは問題であるが、鏡像は、周囲空間を導入することで、同形同サイズであるとみなすことはできる、そのような付加的空間を導入することが賢いか否かはまた別の問題であるが。
7: 周囲空間内でのローテーション（回転）としての平面上または3次元空間内のミラーリング
Special-Student-7-Hypothesizer
'合同'を定義するのに私たちは本当には周囲空間を必要としないのであるが、"2図形たちの内の1つを周囲空間の中で動かして他方の図形と一致させられる。"が合同の一つの見方であるようなので、いかに、任意のミラーリングが周囲空間内でのローテーション（回転）であるか、を見よう。
平面上のミラーリングは、容易に周囲3次元空間内のローテーション（回転）として想像できるだろう。
ある三角形\(ABC\)が、\(x-y\)平面の\(0 \lt x\)半分上にあり、\(ABC\)は\(y\)軸に関してミラーリングされ、\(A'B'C'\)が当該平面の\(x \lt 0\)半分上の鏡像であると仮定しよう。
想像できると思うが、\(ABC\)が\(y\)軸の周りに周囲3次元\(x-y-z\)空間内で\(\pi\)ローテーション（回転）されると、\(ABC\)は\(A'B'C'\)と一致する。
もっと詳細には、任意のポイント\((x, y, z)\)が\(y\)軸の周りに\(\theta\)ローテーション（回転）されると、イメージ（像）\(x', y', z'\)は、\(\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \theta & 0 & - sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ sin \theta & 0 & cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)、マトリックス（行列）表記によると。もしも、マトリックス（行列）表記に馴染みがない人がいたら、それが意味するのは、\(x' = cos \theta x - sin \theta z, y' = y, z' = sin \theta x + cos \theta z\)以外の何物でもない。
Special-Student-7-Rebutter
\(y\)は変更されない、当該ポイントを\(y\)軸の周りにローテーション（回転）させるとき。
Special-Student-7-Hypothesizer
\(z = 0\)、それが意味するのは、当該ポイントは\(x-y\)平面上にあるということ、で\(\theta = \pi\)の時、\(x' = - x, y' = y, z' = 0\)、それは実際にミラーリングである。
3次元空間内のミラーリングを周囲4次元空間内のローテーション（回転）として見よう。
\(x-y-z\)空間の\(0 \lt x\)半分内にある四面体\(ABCD\)があり、\(ABCD\)は\(y-z\)平面に関してミラーリングされ、鏡像\(A'B'C'D'\)が空間の\(x \lt 0\)半分内にいると仮定しよう。
Special-Student-7-Rebutter
平面上のミラーリングはある直線に関して行なわれたが、3次元空間内のミラーリングはある平面に関して行なわれる。
Special-Student-7-Hypothesizer
はい。実際、あなたが自分の顔を見るのに使う鏡は平面であって、直線ではないでしょう？
Special-Student-7-Rebutter
私は直線状の鏡を使ったことはない。
Special-Student-7-Hypothesizer
もっと一般的に、\(\mathbb{R}^n\)空間内のミラーリングはある\(n - 1\)次元超平面に関して行なわれる。実のところ、平面上の直線は\(1\)次元超平面である。
\(ABCD\)が周囲4次元\(x-y-z-w\)空間内の\(y-z\)平面の周りに\(\pi\)ローテーション（回転）される時、\(ABCD\)は\(A'B'C'D'\)と一致する。
Special-Student-7-Rebutter
どのように私は"\(y-z\)平面の周りに\(\pi\)ローテーション（回転）される"を想像できるのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
以下のように考えよう: \(x-y-z-w\)空間内の\(y\)軸の周りのローテーション（回転）たちは、\(x-z-w\)空間内の3次元ローテーション（回転）たちである。
Special-Student-7-Rebutter
ああ、\(y\)軸だけが固定されているから、それは\(x-z-w\)空間内でフリーである。
Special-Student-7-Hypothesizer
その\(x-z-w\)空間内の3次元ローテーション（回転）たちを\(z\)軸の周りのローテーション（回転）たちだけに限定しよう、それが、私たちが話しているものだ。
Special-Student-7-Rebutter
すると、それらは、\(y\)軸と\(z\)軸を固定したローテーション（回転）たちでなる。
Special-Student-7-Hypothesizer
そして、そうした任意のローテーション（回転）はある単一の角度\(\theta\)でパラメータ付けできる、それは、\(x-z-w\)空間内の\(z\)軸の周りの3次元ローテーション（回転）の角度である。
任意のポイント\((x, y, z, w)\)が\(\theta\)だけそのようにローテーション（回転）されると、イメージ（像）\(x', y', z', w'\)は、\(\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ w' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \theta & 0 & 0 & - sin \theta \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ sin \theta & 0 & 0 & cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix}\)、マトリックス（行列）表記によると。もしも、マトリックス（行列）表記に馴染みがない人がいたら、そえｒが意味するのは、\(x' = cos \theta x - sin \theta w, y' = y, z' = z, w' = sin \theta x + cos \theta w\)以外の何物でもない。
Special-Student-7-Rebutter
それでなければならない理由は、それは、\(y\)軸が既に固定された上での、\(x-z-w\)空間内の\(z\)軸の周りの3次元ローテーション（回転）であるから。
\(y\)および\(z\)が変更されないのは当然である。
Special-Student-7-Hypothesizer
\(w = 0\)、それが意味するのは、当該ポイントは\(x-y-z\)空間内にいるということ、で\(\theta = \pi\)である時、\(x' = - x, y' = y, z' = z, w' = 0\)、それは実際に当該ミラーリングである。
Special-Student-7-Rebutter
すると、ほとんどの人々は多分、容易には周囲4次元空間内のローテーション（回転）たちを想像できないだろうが、任意の3次元空間内の任意のミラーリングは実際に周囲4次元空間内のローテーションである。
Special-Student-7-Hypothesizer
周囲4次元空間内のローテーション（回転）を想像する1つの方法は、当該ローテーション（回転）の\(x-y-z, x-y-w, x-z-w, y-z-w\)空間たちへのプロジェクション（射影）たちのことを考えることだ。
例えば、\((x, y, z, w)\)の\(x-y-w\)空間の中へのプロジェクション（射影）は\((x, y, w)\)であり、\(B: (1, 0, 0, 0)\)および\(D: (1, 0, 1, 0)\)は同じ\((1, 0, 0)\)へマップ（写像）する; \((x, y, z, w)\)の\(y-z-w\)空間の中へのプロジェクション（射影）は\((y, z, w)\)であり、\(B: (1, 0, 0, 0), C: (4, 0, 0, 0), B': (-1, 0, 0, 0), C: (-4, 0, 0, 0)\)は同じ\((0, 0, 0)\)へマップ（写像）する。
Special-Student-7-Rebutter
私たちはプロジェクション（射影）たちを見た、それで、何？
Special-Student-7-Hypothesizer
えーと、1つ重要なことは、あなたがある3次元空間を見るとき、当該空間は空間全体ではなく1つのプロジェクション（射影）である、それが意味するのは、各ポイントは実際にはポイントではなくて、1パラメータを持ったポイントたちのセット（集合）であるということ、ということをあなたは意識するということ。
Special-Student-7-Rebutter
すると、私は、指を伸ばして当該プロジェクション（射影）内のあるポイントにタッチしようとする時、4次元空間内で当該ポイントを本当にはタッチしないかもしれない、なぜなら、私の指はポイントたちのセット（集合）の中の\(w = 0\)である1つをタッチしているが、当該ポイントは例えば\(w = 2\)にある、ということ、を意識しなければならない。
Special-Student-7-Hypothesizer
"当該ポイントにタッチしているはずだが、実際には当該ポイントにタッチしていない"は超自然的に思われるかもしれないが、そうではない: 当該ポイントは単に別の\(w\)にあるのだ。
Special-Student-7-Rebutter
分かった、...、だけどそれで何？
Special-Student-7-Hypothesizer
えーと、その先は、あなたの想像力の問題だ; 類似の話をすると、あなたは3次元物体も本当には見ることができない: あなたは2次元プロジェクション（射影）たちを見てあなたの脳が3次元物体の形を想像するのだ。
Special-Student-7-Rebutter
したがって、4次元物体についても同じであるはずだと。
Special-Student-7-Hypothesizer
あなたが4次元物体を想像し始めるのは練習の問題だと私は推測している。
