目次
| 1: 定義の一覧 |
| 本サイトにてこれまで議論された定義の一覧 |
| 2: ランクrのローカルにトリビアルなサージェクション（全射） |
| ランク\(r\)のローカルにトリビアルなサージェクション（全射）の定義 |
| 3: 命題の一覧 |
| 本サイトにてこれまで議論された命題の一覧 |
| 4: コネクション（接続）はベクトルカーブ上のセクション（断面）値のみに依存する |
| 任意のベクトルバンドルコネクション（ベクトル束接続）は任意のベクトルカーブ上のセクション（断面）値のみに依存するということの記述と証明 |
| 5: C^inftyベクトルバンドル（ベクトル束） |
| \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義 |
| 6: サージェクション（全射） |
| サージェクション（全射）の定義 |
| 7: インジェクション（単射） |
| インジェクション（単射）の定義 |
| 8: トポロジー |
| トポロジーの定義 |
| 9: オープンセット（開集合） |
| トポロジカルスペース（空間）のオープンサブセット（開部分集合）の定義 |
| 10: クローズドセット（閉集合） |
| トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義 |
| 11: ポイントの近傍 |
| トポロジカルスペース（空間）上のポイントのネイバーフッド（近傍）の定義 |
| 12: ユークリディアントポロジー |
| ユークリディアントポロジーの定義 |
| 13: ユークリディアントポロジカルスペース（空間） |
| ユークリディアントポロジカル空間の定義 |
| 14: R^nに対するスタンダードトポロジー |
| \(\mathbb{R}^n\)に対するスタンダードトポロジーの定義 |
| 15: ローカルにトポロジカルにユークリディアンなトポロジカルスペース（空間） |
| ローカルにトポロジカルにユークリディアンなトポロジカル空間の定義 |
| 16: トポロジカルスペース（空間） |
| トポロジカル空間の定義 |
| 17: トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底） |
| トポロジカル空間のベーシス（基底）の定義 |
| 18: セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間） |
| セカンド可算トポロジカル空間の定義 |
| 19: ハウスドルフトポロジカルスペース（空間） |
| ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 20: トポロジカルマニフォールド（多様体） |
| トポロジカルマニフォールド（多様体）の定義 |
| 21: C^inftyマニフォールド（多様体） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義 |
| 22: コンティヌアス（連続）、ノルム付きスペース（空間）間マップ（写像） |
| コンティニュアス（連続）、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）の定義 |
| 23: ノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数） |
| ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のデリバティブ（微分係数）の定義 |
| 24: \(C^1\)、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）はヤコビアンである |
| \(C^1\)、ユークリディアンノルム付き空間間マップのデリバティブ（微分係数）はヤコビアンであることの記述と証明 |
| 25: ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たちC^1マップ（写像）たちのコンポジション（合成）のデリバティブ（微分係数）に対するチェインルール（連鎖規則） |
| \(C^1\)、ユークリディアンノルム付き空間間マップの合成のデリバティブ（微分係数）のためのチェインルール（連鎖規則）の記述と証明 |
| 26: ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のための微積分の基本定理 |
| \(C^1\)、ユークリディアンノルム付き空間間マップのための微積分の基本定理の記述と証明 |
| 27: ユークリディアンノルム付きスペース（空間）ODEに対するローカル唯一解の存在 |
| ユークリディアンノルム付き空間常微分方程式に対するローカル唯一解の存在の記述と証明 |
| 28: なぜ、ユークリディアンノルム付きスペース（空間）ODEに対してローカル解の存在がグローバルな存在を保証しないか |
| なぜ、ユークリディアンノルム付き空間ODEに対してローカル解の存在がグローバル解の存在を保証しないかの記述 |
| 29: コントラクション（収斂）マッピングの法則 |
| 収斂マッピングの法則の定義と証明 |
| 30: メトリックスペース（計量付き空間） |
| メトリックスペース（計量付き空間）の定義 |
| 31: リーアルジェブラ（多元環） |
| リーアルジェブラ（多元環）の定義 |
| 32: ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環） |
| ジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）、\(\mathfrak{gl} (V)\)の定義 |
| 33: リアル（実）ノルム付きスペース（空間） |
| ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義 |
| 34: リアル（実）インナープロダクト（内積） |
| リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義 |
| 35: リアル（実）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式 |
| リアル（実）ノルム付きスペース（空間）に対するコーシーーシュワルツ不等式の記述/証明 |
| 36: リアル（実）インナープロダクト（内積）はリアル（実）ノルムを導出する |
| リアル（実）インナープロダクト（内積）はリアル（実）ノルムを導出することの記述/証明 |
| 37: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）のアイデンティティ（単位要素）におけるタンジェントベクトルたちスペース（空間）はジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同型写像）である |
| ジェネラルリニア（線形）グループ（群）の恒等変換元におけるタンジェントスペース（空間）とジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）との間にアイソモーフィズム（同型写像）があることの記述/証明 |
| 38: ベクトルのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数） |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数）の定義 |
| 39: リアル（実）ノルム |
| リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムの定義 |
| 40: メトリック（計量） |
| メトリック（計量）の定義 |
| 41: ポイントにおけるコンティヌアス（連続）マップ（写像） |
| トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）でポイントにおいてコンティニュアス（連続）なものの定義 |
| 42: コンティヌアス（連続）マップ（写像） |
| コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義 |
| 43: オープン（開）であることのローカル基準 |
| オープン（開）であることのローカル基準の記述/証明 |
| 44: トポロジカルパス |
| トポロジカルパスの定義 |
| 45: パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間） |
| パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 46: コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間） |
| コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 47: コネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）はパスコネクテッド（連結された）である |
| コネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）はパスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明 |
| 48: ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群） |
| ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義 |
| 49: リミット（極値）条件は等号付き条件で置き換えることが可能 |
| リミット（極値）条件は等号付き条件で置き換えることが可能であることの記述/証明 |
| 50: ノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）の残余はポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である、もしも ...、そしてそのデリバティブ（微分係数）は ... |
| ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のデリバティブ（微分係数）のレシデュー（残余）は第2引数のポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である、もしも、元のマップ（写像）が対応するポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である場合、そしてデリバティブ（微分係数）は第1引数ポイントにおける元のマップ（写像）デリバティブ（微分係数）のマイナスプラス対応するポイントにおける元のマップ（写像）デリバティブ（微分係数）、ことの記述/証明 |
| 51: ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のためのインバース（逆）定理 |
| ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のためのインバース（逆）定理の記述/証明 |
| 52: リーグループ（群）近傍で、その任意のポイントが中心と、左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）で接続できるものの存在 |
| リーグループ（群）近傍で、その任意のポイントが中心と、左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）で接続できるものの存在の記述/証明 |
| 53: コネクト（連結）されたリーグループ（群）上の2ポイントは、有限数左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）セグメントによって接続できる |
| コネクト（連結）されたリーグループ（群）上の2ポイントは、有限数左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）セグメントによって接続できることの記述/証明 |
| 54: コネクテッド（連結された）リーグループ（群）上のポイントは、エクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）の有限数積として表わすことができる |
| コネクテッド（連結された）リーグループ（群）上のポイントは、エクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）の有限数積として表わすことができることの記述/証明 |
| 55: リーグループ（群）上の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）はC^inftyである |
| リーグループ（群）上の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）は\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 56: ベクトルフィールド（場）は以下の場合、そしてその場合のみC^inftyである、つまり、任意のC^inftyファンクション（関数）に対するオペレーション結果がC^inftyである |
| ベクトルフィールド（場）は以下の場合、そしてその場合のみ\(C^\infty\)である、つまり、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対するオペレーション結果が\(C^\infty\)である、ことの記述/証明 |
| 57: ポイントにおけるC^kファンクション（関数）たちのジャーム（芽） |
| ポイントにおける\(C^k\)ファンクション（関数）たちのジャーム（芽）\(C^k_p (M)\)の定義 |
| 58: ポイントにおけるC^kファンクション（関数）たちのデライベイション（微分） |
| ポイントにおける\(C^k\)ファンクション（関数）たちのデライベイション（微分）の定義 |
| 59: タンジェント（接）ベクトル |
| タンジェント（接）ベクトルの定義 |
| 60: ディレクショナル（方向）デリバティブ（微分） |
| ディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の定義 |
| 61: C^1ファンクション（関数）たちのポイントにおけるデライベイション（微分）とディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の等価性 |
| \(C^1\)ファンクション（関数）たちのポイントにおけるデリベイション（微分）とディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の等価性の記述/証明 |
| 62: マップ（写像） |
| マップ（写像）の定義 |
| 63: ホメオモーフィズム（位相同形写像） |
| ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義 |
| 64: 互いにホメオモーフィック（位相同形）なトポロジカルスペース（空間）たちは等価なアトラス（座標近傍系）たちを持てる |
| 互いにホメオモーフィック（位相同形）なトポロジカルスペース（空間）たちは等価なアトラス（座標近傍系）たちを持てることの記述/証明 |
| 65: コドメイン（余域）全体のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体である |
| コドメイン（余域）全体のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であることの記述/証明 |
| 66: コドメイン（余域） マイナス セット（集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域） マイナス セット（集合）のプリイメージ（前像）である |
| コドメイン（余域） マイナス セット（集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域） マイナス セット（集合）のプリイメージ（前像）であるの記述/証明 |
| 67: クローズドセット（閉集合）のコンティヌアス（連続）マップ（写像）プリイメージ（前像）はクローズドセット（閉集合）である |
| クローズドサブセット（閉部分集合）のコンティヌアス（連続）マップ（写像）プリイメージ（前像）はクローズドサブセット（閉部分集合）であることの記述/証明 |
| 68: コンティヌアス（連続）ファンクション（関数）たちのマトリックス（行列）の非ゼロ デターミナント（行列式）たちのプリイメージ（前像）はオープンである |
| コンティヌアス（連続）ファンクション（関数）たちのマトリックス（行列）の非ゼロデターミナント（行列式）たちのプリイメージ（前像）はオープンであることの記述/証明 |
| 69: コンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）クオシィエント（商）からのインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である |
| コンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）クオシィエント（商）からのインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明 |
| 70: R^{d-k}のサブセット（部分集合）は、もしも、R^kとサブセット（部分集合）のプロダクト（積）がオープンであれば、オープンである |
| R^{d-k}のサブセット（部分集合）は、もしも、R^kとサブセット（部分集合）のプロダクト（積）がオープンであれば、オープンであることの記述/証明 |
| 71: オープンネイバーフッド（開近傍）上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）でより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上でファンクション（関数）に等しいものが存在する |
| 近傍上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、より小さな近傍上で一致する、マニフォールド（多様体）上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）が存在することの記述/証明 |
| 72: プロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）はコンポーネントマップ（写像）たちによるプリイメージ（前像）たちのプロダクトである |
| プロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）はコンポーネントマップ（写像）たちによるプリイメージ（前像）たちのプロダクトであることの記述/証明 |
| 73: コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）はコンティヌアス（連続）である |
| コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明 |
| 74: コンティヌアスマップ（写像）たちのいくつかの疑似プロダクトマップ（写像）はコンティヌアス（連続）である |
| コンティヌアスマップ（写像）たちのいくつかの疑似プロダクトマップ（写像）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明 |
| 75: セット（集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）イメージ（像）はセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）である |
| セット（集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）イメージ（像）はセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 76: セット（集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はセット（集合）たちのプリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）である |
| セット（集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はセット（集合）たちのプリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 77: セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）は必ずしもセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）ではない |
| セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）は必ずしもセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）ではないことの記述/証明 |
| 78: セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）である |
| セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明 |
| 79: ストラクチャー（構造） |
| ストラクチャー（構造）の定義 |
| 80: %ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像） |
| %ストラクチャー（構造）種類名%ホモモーフィズム（準同形写像）の定義 |
| 81: カテゴリー（圏） |
| カテゴリー（圏）の定義 |
| 82: モーフィズム（射） |
| モーフィズム（射）の定義 |
| 83: コバリアント（共変）ファンクター（関手） |
| コバリアント（共変）ファンクター（関手）の定義 |
| 84: コントラバリアント（反変）ファンクター（関手） |
| コントラバリアント（反変）ファンクター（関手）の定義 |
| 85: アーベリアングループ（アーベル群） |
| アーベリアングループ（アーベル群）の定義 |
| 86: モノイド |
| モノイドの定義 |
| 87: グループ（群） |
| グループ（群）の定義 |
| 88: モノイドアイデンティティ要素の唯一存在 |
| モノイドアイデンティティ要素の唯一存在の記述/証明 |
| 89: リング（環） |
| リング（環）の定義 |
| 90: リング（環）のアイディアル（イデアル） |
| リング（環）のアイディアル（イデアル）の定義 |
| 91: リング（環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環） |
| リング（環）のクウォシェント（商）リング（環）の定義 |
| 92: レフト（左）R-モジュール（加群） |
| レフト（左）R-モジュール（加群）の定義 |
| 93: ウェッジプロダクト（楔積） |
| ウェッジプロダクト（楔積）の定義 |
| 94: ウェッジプロダクト（楔積）の、テンソルアルジェブラ（テンソル代数）の要素たちのイクイバレンスクラス（同値類）とみたものは、当該テンソルプロダクト（テンソル積）構成体とどう関係しているか |
| ウェッジプロダクト（楔積）の、テンソルアルジェブラ（テンソル代数）の要素たちのイクイバレンスクラス（同値類）とみたものは、当該テンソルプロダクト（テンソル積）構成体とどう関係しているか、の記述 |
| 95: シンプレックス（単体）は同次元クローズドボール（閉球）にホメオモーフィック（位相同形）である |
| シンプレックス（単体）は同次元クローズドボール（閉球）にホメオモーフィック（位相同形）であることの記述/証明 |
| 96: コンパクトC^\inftyマニフォールド（多様体）に対して、ポイントのシーケンス（列）は、収束するサブシーケンス（部分列）を持つ |
| コンパクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、ポイントのシーケンス（列）は、収束するサブシーケンス（部分列）を持つことの記述/証明 |
| 97: コンパクトトポロジカルスペース（空間）から\mathbb{R}へのコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つ |
| コンパクトトポロジカルスペース（空間）から\(\mathbb{R}\)へのコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つことの記述/証明 |
| 98: クローズドセット（閉集合）たちのインターセクション（共通集合）または有限数ユニオン（和集合）はクローズド（閉）である |
| クローズドセット（閉集合）たちのインターセクション（共通集合）または有限数ユニオン（和集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明 |
| 99: サブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）である |
| サブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であることの記述/証明 |
| 100: サブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）である |
| サブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であることの記述/証明 |
| 101: サブスペース（部分空間）トポロジー |
| サブスペース（部分空間）トポロジーの定義 |
| 102: レギュラーサブマニフォールド（多様体）上のチャートはアダプティングチャートの拡張である |
| レギュラーサブマニフォールド（多様体）上のチャートはアダプティングチャートの拡張であることの記述/証明 |
| 103: レギュラーサブマニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）はベースC^\inftyマニフォールド（多様体）の、特定のコディメンジョン（余次元）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である |
| レギュラーサブマニフォールド（多様体）上のチャートはアダプティングチャートの拡張であるレギュラーサブマニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）はベース\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の、特定のコディメンジョン（余次元）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であることの記述/証明 |
| 104: C^\inftyマニフォールド（多様体）の2つのトランスバーサル（横断）レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）は特定コディメンジョン（余次元）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の2つのトランスバーサル（横断）レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）は特定コディメンジョン（余次元）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であることの記述/証明 |
| 105: オープン（開）トポロジカルサブスペース（空間）のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って |
| オープン（開）トポロジカルサブスペース（空間）のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってことの記述/証明 |
| 106: 非オープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合 |
| 非オープン（開）トポロジカルサブスペース（空間）のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合であることの記述/証明 |
| 107: ベーシス（基底）はトポロジーを決定する |
| ベーシス（基底）はトポロジーを決定することの記述/証明 |
| 108: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から同一-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）へのリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から同一-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）へのリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 109: ポイントのマップ（写像）イメージ（像）はサブセット（部分集合）上にある、もしも、ポイントがサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）上にある場合、そしてその場合に限って |
| ポイントのマップ（写像）イメージ（像）はサブセット（部分集合）上にある、もしも、ポイントがサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）上にある場合、そしてその場合に限ってであることの記述/証明 |
| 110: ポイントはサブセット（部分集合）のマップ（写像）イメージ（像）上にある、もしも、ポイントのプリイメージ（前像）がサブセット（部分集合）内に含まれている場合、しかし、その場合に限ってではない |
| ポイントはサブセット（部分集合）のマップ（写像）イメージ（像）上にある、もしも、ポイントのプリイメージ（前像）がサブセット（部分集合）内に含まれている場合、しかし、その場合に限ってではないことの記述/証明 |
| 111: プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）合成は引数セット（集合）内に含まれている |
| プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）合成は引数セット（集合）内に含まれていることの記述/証明 |
| 112: サブセット（部分集合）のマップ（写像）イメージ（像）はサブセット（部分集合）の中に含まれている、もしも、サブセット（部分集合）がサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）内に含まれている場合、そしてその場合に限って |
| サブセット（部分集合）のマップ（写像）イメージ（像）はサブセット（部分集合）の中に含まれている、もしも、サブセット（部分集合）がサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）内に含まれている場合、そしてその場合に限ってであることの記述/証明 |
| 113: ドメイン（定義域）制限されたマップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限されたドメイン（定義域）とのインターセクション（共通集合）である |
| ドメイン（定義域）制限されたマップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限されたドメイン（定義域）とのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明 |
| 114: アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）はオープンである、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のプロジェクション（射影）たちが条件を満たしてオープンである場合、そしてその場合に限って |
| アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）はオープンである、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のプロジェクション（射影）たちが条件を満たしてオープンである場合、そしてその場合に限ってという命題の記述/証明 |
| 115: ティーチェ拡張定理の逆 |
| ティーチェ拡張定理の逆の記述/証明 |
| 116: アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）についてのいくつかのプロパティたち、アタッチング元スペース（空間）へのサブセット（部分空間）からのインクルージョン（封入）がクローズド（閉）エンベディング（埋蔵）である時 |
| アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）についてのいくつかのプロパティたち、アタッチング元スペース（空間）へのサブセット（部分空間）からのインクルージョン（封入）がクローズド（閉）エンベディング（埋蔵）である時 |
| 117: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）のリニア（線形）レンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）のリニア（線形）レンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）であることの記述/証明 |
| 118: %カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像） |
| %カテゴリー名%アイソモーフィズム（同形写像）の定義 |
| 119: 有限次元ベクトルスペース（空間）からのリニアマップ（線形写像）に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）があって、それは、イメージ（像）へ'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルスペース（空間）からのリニアマップ（線形写像）に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）があって、それは、レンジ（値域）へ'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明 |
| 120: リーグループ（群）上で同一ベクトルを代表するカーブたちのC^\infty右アクションとしてのマニフォールド（多様体）上のカーブたちは同一ベクトルを代表する |
| リーグループ（群）上で同一ベクトルを代表するカーブたちの\(C^\infty\)右アクションとしてのマニフォールド（多様体）上のカーブたちは同一ベクトルを代表することの記述/証明 |
| 121: リーグループ（群）のC^\infty右アクションによって導出された、ベクトルたちのパラメータによるファミリーとカーブは、同一ベクトルを代表する、もしも、. . . |
| リーグループ（群）の\(C^\infty\)右アクションによって導出された、ベクトルたちのパラメータによるファミリーとカーブは、同一ベクトルを代表する、もしも、. . .ことの記述/証明 |
| 122: リニア（線形）バイジェクション（全単射）によって関連付けられる有限次元ベクトルスペース（空間）たちは同一次元のものである |
| リニア（線形）バイジェクション（全単射）によって関連付けられるファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルスペース（空間）たちは同一-ディメンショナル（次元）のものであることの記述/証明 |
| 123: 複素数たち間の絶対差は追加の複素数との絶対差たち間の差以上である |
| 複素数たち間の絶対差は追加の複素数との絶対差たち間の差以上であることの記述/証明 |
| 124: 集合たちのインターセクション（共通集合）のインジェクティブ（単射）マップ（写像）イメージ（像）は集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）である |
| 集合たちのインターセクション（共通集合）のインジェクティブ（単射）マップ（写像）イメージ（像）は集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明 |
| 125: 有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）の、コーディネイト（座標）スペース（空間）に基づいて定義されたトポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しない |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）トポロジーでコーディネート（座標）たちスペース（空間）に基づいた定義されたものは、ベーシス（基底）の選択に依存しないことの記述/証明 |
| 126: コーディネイト（座標）トポロジーたちを持つトポロジカルスペース（空間）たち間の'リアル（実）ベクトルスペース（空間）たち-リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）はホメオモーフィック（位相同形写像）である |
| コーディネイト（座標）トポロジーたちを持つトポロジカルスペース（空間）たち間の'リアル（実）ベクトルスペース（空間）たち-リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）はホメオモーフィック（位相同形写像）であることの記述/証明 |
| 127: ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間） |
| ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 128: サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包） |
| トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義 |
| 129: トポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、クローズドセット（閉集合）およびそれを包含オープンセット（開集合）に対して、クローズドセット（閉集合）を包含するオープンセット（開集合）（その〜）がある場合、そしてその場合に限って |
| トポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、クローズドセット（閉集合）およびそれを包含オープンセット（開集合）に対して、クローズドセット（閉集合）を包含するオープンセット（開集合）（その〜）がある場合、そしてその場合に限ってであることの記述および証明 |
| 130: マップ（写像）コンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものとコーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるものとの同値性 |
| マップ（写像）コンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものとコーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるものとの同値性の記述/証明 |
| 131: ユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされたユークリディアントポロジカルスペース（空間）はトポロジカルサブスペース（部分空間）である |
| ユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされたユークリディアントポロジカルスペース（空間）はトポロジカルサブスペース（部分空間）であることの記述/証明 |
| 132: トポロジカルサブスペース（部分空間）間マップ（写像）の、ポイントにおけるコンティヌアス（連続）性は、マップ（写像）の、スーパースペースたちのオープンセット（開集合）たちへの拡張のコンティヌアス（連続）性から帰結される |
| トポロジカルサブスペース（部分空間）間マップ（写像）の、ポイントにおけるコンティヌアス（連続）性は、マップ（写像）の、スーパースペースたちのオープンセット（開集合）たちへの拡張のコンティヌアス（連続）性から帰結されることの記述/証明 |
| 133: オープンセット（開集合）たちのコレクションがベーシス（基底）であるための基準 |
| オープンセット（開集合）たちのコレクションがベーシス（基底）であるための基準の記述/証明 |
| 134: ユークリディアンノルム付きC^\inftyマニフォールド（多様体）上のオープンセット（開集合）からユークリディアンノルム付きC^\inftyマニフォールド（多様体）へのC^1マップ（写像）はリプシッツ条件をローカルに満たす |
| ユークリディアンノルム付きC^\inftyマニフォールド（多様体）上のオープンセット（開集合）からユークリディアンノルム付きC^\inftyマニフォールド（多様体）へのC^1マップ（写像）はリプシッツ条件をローカルに満たすことの記述/証明 |
| 135: ハイパー長方形のエリア（面積）は、カバーする有限数ハイパー正方形たちのエリア（面積）で任意の精度で近似できる |
| ハイパー長方形のエリア（面積）は、カバーする有限数ハイパー正方形たちのエリア（面積）で任意の精度で近似できることの記述/証明 |
| 136: ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）上のエリア（面積）はハイパー正方形たちのみを使って測れる、ハイパー長方形たちの代わりに |
| ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）上のエリア（面積）はハイパー正方形たちのみを使って測れる、ハイパー長方形たちの代わりに、ことの記述/証明 |
| 137: メジャー（測度）0サブセット（部分集合）の、ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）から同次元またはより高次元ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）へのリプシッツ条件を満たすマップ（写像）イメージ（像）はメジャー（測度）0である |
| メジャー（測度）0サブセット（部分集合）の、ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）から同次元またはより高次元ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）へのリプシッツ条件を満たすマップ（写像）イメージ（像）はメジャー（測度）0であることの記述/証明 |
| 138: ユークリディアンノルム付きC^\inftyマニフォールド（多様体）上のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）であるものから同次元またはより高次元ユークリディアンノルム付きC^\inftyマニフォールド（多様体）へのポリノミアル（多項式）マップ（写像）下の、メジャー（測度）0サブセット（部分集合）のイメージ（像）はメジャー（測度）0である |
| ユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）であるものから同-ディメンショナル（次元）またはより高-ディメンショナル（次元）ユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）へのポリノミアル（多項式）マップ（写像）下の、メジャー（測度）0サブセット（部分集合）のイメージ（像）はメジャー（測度）0であることの記述/証明 |
| 139: メジャー（測度）0サブセット（部分集合）のオープンセット（開集合 コンプリメント（補集合）はデンス（密）である |
| メジャー（測度）0サブセット（部分集合）のオープンセット（開集合 コンプリメント（補集合）はデンス（密）であることの記述/証明 |
| 140: オープンセット（開集合）マイナスクローズドセット（閉集合）はオープン（開）である |
| オープンセット（開集合）マイナスクローズドセット（閉集合）はオープン（開）であることの記述/証明 |
| 141: トポロジカルスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）である |
| トポロジカルスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）であることの記述/証明 |
| 142: サブセット（部分集合）たちの差のクロージャー（閉包）は、必ずしもサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちの差ではない、しかし、被減サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）に包含されている |
| サブセット（部分集合）たちの差のクロージャー（閉包）は、必ずしもサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちの差ではない、しかし、被減サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）に包含されていることの記述/証明 |
| 143: コンパクトトポロジカルスペース（空間）は、無限数ポイントたちを持つサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）を持つ |
| コンパクトトポロジカルスペース（空間）は、無限数ポイントたちを持つサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）を持つことの記述/証明 |
| 144: コンパクトトポロジカルスペース（空間）のクローズド（閉）ディスクリート（離散）サブスペース（部分空間）は有限数ポイントたちのみを持つ |
| コンパクトトポロジカルスペース（空間）のクローズド（閉）ディスクリート（離散）サブスペース（部分空間）は有限数ポイントたちのみを持つことの記述/証明 |
| 145: 有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクト（連結）されたオープンセット（開集合）たちペア |
| 有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクト（連結）されたオープンセット（開集合）たちペアの定義 |
| 146: コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）のオープンセット（開集合）たちペアは有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）である |
| コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）のオープンセット（開集合）たちペアは有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明 |
| 147: コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）のオープンカバーの要素たちペアはカバー要素たちを介して有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）である |
| コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）のオープンカバーの要素たちペアはカバー要素たちを介して有限数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明 |
| 148: レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間） |
| レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 149: コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でいたる所でローカルにコンスタントであるマップ（写像）はグローバルにコンスタントである |
| コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でいたる所でローカルにコンスタントであるマップ（写像）はグローバルにコンスタントであることの記述/証明 |
| 150: レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントのネイバーフッド（近傍）はクローズド（閉）なネイバーフッド（近傍）を包含する |
| レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントのネイバーフッド（近傍）はクローズド（閉）なネイバーフッド（近傍）を包含することの記述/証明 |
| 151: アイデンティティ（恒等）マップ（写像）でドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）が別のトポロジーたちを持っているものはコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）がコドメイン（余域）より密である場合、そしてその場合に限って |
| アイデンティティ（恒等）マップ（写像）でドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）が別のトポロジーたちを持っているものはコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）がコドメイン（余域）より密である場合、そしてその場合に限ってであることの記述/証明 |
| 152: メトリックスペース（計量空間）に対して、2ポイントたちのサブセット（部分集合）からの距離たちの差はポイントたち間の距離に等しいかそれより小さい |
| メトリックスペース（計量空間）に対して、2ポイントたちのサブセット（部分集合）からの距離たちの差はポイントたち間の距離に等しいかそれより小さいことの記述/証明 |
| 153: ダイレクテッドセット（有向集合） |
| ダイレクテッドセット（有向集合）の定義 |
| 154: ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネット |
| ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットの定義 |
| 155: ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント） |
| ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義 |
| 156: メトリックスペース（計量空間）に対して、1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である |
| メトリックスペース（計量空間）に対して、1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明 |
| 157: ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得る |
| ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得ることの記述/証明 |
| 158: ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのアキュームレーションバリュー（集積値） |
| ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのアキュームレーションバリュー（集積値）の定義 |
| 159: ダイレクテッドセット（有向集合）たち間のファイナルマップ（写像） |
| ダイレクテッドセット（有向集合）たち間のファイナルマップ（写像）の定義 |
| 160: ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのサブネット |
| ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのサブネットの定義 |
| 161: ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのアキュームレーションバリュー（集積値）はサブネットのコンバージェンス（収束ポイント）である |
| ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのアキュームレーションバリュー（集積値）はサブネットのコンバージェンス（収束ポイント）であることの記述/証明 |
| 162: C^\inftyエンベディング（埋め込み） |
| \(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）の定義 |
| 163: コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み） |
| コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）の定義 |
| 164: オープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）である |
| オープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であることの記述/証明 |
| 165: クローズド（閉）トポロジカルサブスペース（部分空間）上のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）である |
| クローズド（閉）トポロジカルサブスペース（部分空間）上のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であることの記述/証明 |
| 166: トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）のオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）への、マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合 |
| トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）のオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）への、マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、ことの記述/証明 |
| 167: トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）の有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）への、マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合 |
| トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）の有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）への、マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、ことの記述/証明 |
| 168: もしも、トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である |
| もしも、トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、マップ（写像）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明 |
| 169: プリイメージ（前像）後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、引数セット（集合）がマップ（写像）イメージ（像）のサブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限って |
| プリイメージ（前像）後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、引数セット（集合）がマップ（写像）イメージ（像）のサブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限って、であることの記述/証明 |
| 170: サブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数セット（集合）イメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合 |
| サブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数セット（集合）イメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合、ことの記述/証明 |
| 171: サブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、それが引数セット（集合）に包含されている場合、そしてその場合に限って |
| サブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、それが引数セット（集合）に包含されている場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 172: コンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）である |
| コンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であることの記述/証明 |
| 173: クウォシェント（商）マップ（写像） |
| クウォシェント（商）マップ（写像）の定義 |
| 174: コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のユニバーサルプロパティ |
| コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のユニバーサルプロパティの記述/証明 |
| 175: クウォシェント（商）マップ（写像）のユニバーサルプロパティ |
| クウォシェント（商）マップ（写像）のユニバーサルプロパティの記述/証明 |
| 176: ポイントのイメージ（像）がサブセット（部分集合）のイメージ（像）上にあるとき、ポイントはサブセット（部分集合）上にある、もしも、マップ（写像）がサブセット（部分集合）のイメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合 |
| ポイントのイメージ（像）がサブセット（部分集合）のイメージ（像）上にあるとき、ポイントはサブセット（部分集合）上にある、もしも、マップ（写像）がサブセット（部分集合）のイメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合、ことの記述/証明 |
| 177: トポロジカルサム |
| トポロジカルサムの定義 |
| 178: トポロジカルスペース（空間）をマップ（写像）を介してトポロジカルスペース（空間）へアタッチして得られたアジャンクショントポロジカルスペース（空間） |
| トポロジカルスペース（空間）をマップ（写像）を介してトポロジカルスペース（空間）へアタッチして得られたアジャンクショントポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 179: セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジー |
| セット（集合）上の、マップ（写像）に関するクオシエント（商）トポロジーの定義 |
| 180: クオシエント（商）トポロジーはマップ（写像）をコンティヌアス（連続）にする唯一の最も密なトポロジーである |
| クオシエント（商）トポロジーはマップ（写像）をコンティヌアス（連続）にする唯一の最も密なトポロジーであることの記述/証明 |
| 181: クオシエントトポロジーのマップ（写像）はクオシエントマップ（写像）である |
| クオシエントトポロジーのマップ（写像）はクオシエントマップ（写像）であることの記述/証明 |
| 182: クオシエントトポロジースペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のクオシエントマップ（写像）下のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って |
| クオシエントトポロジースペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のクオシエントマップ（写像）下のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 183: ディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）である |
| ディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）であることの記述/証明 |
| 184: もしも、ディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちのユニオン（共通集合）がオープン（開）である場合、各サブセット（部分集合）は必ずしもオープン（開）だとは限らない |
| もしも、ディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちのユニオン（共通集合）がオープン（開）である場合、各サブセット（部分集合）は必ずしもオープン（開）だとは限らないことの記述/証明 |
| 185: もしも、ディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちのユニオン（共通集合）がクローズド（閉）である場合、各サブセット（部分集合）は必ずしもクローズド（閉）ではない |
| もしも、ディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちのユニオン（共通集合）がクローズド（閉）である場合、各サブセット（部分集合）は必ずしもクローズド（閉）ではないことの記述/証明 |
| 186: マップ（写像）たちコンポジション（合成）プリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）である |
| マップ（写像）たちコンポジション（合成）プリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であることの記述/証明 |
| 187: ディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）とオープンセット（開集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンセット（開集合）はディスジョイント（互いに素）である |
| ディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）とオープンセット（開集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンセット（開集合）はディスジョイント（互いに素）であることの記述/証明 |
| 188: サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）である |
| サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 189: クロージャー（閉包）のローカルキャラクタライゼーション: ポイントはサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、ポイントの各ネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限って |
| クロージャー（閉包）のローカルキャラクタライゼーション: ポイントはサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、その全てのネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限ってであることの記述/証明 |
| 190: サブセット（部分集合）はサブセット（部分集合）のマップ（写像）イメージ（像）のプリイメージ（前像）に包含される |
| サブセット（部分集合）はサブセット（部分集合）のマップ（写像）イメージ（像）のプリイメージ（前像）に包含されることの記述/証明 |
| 191: セット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）に包含されている |
| セット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）に包含されていることの記述/証明 |
| 192: 2つのメトリック（計量）たちで互いに条件を満たしているものたちは同一トポロジーを定義する |
| 2つのメトリック（計量）たちで互いに条件を満たしているものたちは同一トポロジーを定義することの記述/証明 |
| 193: アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）に対して、アタッチング先スペース（空間）からアジャンクション（付加）スペース（空間）へのカノニカルマップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である |
| アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）に対して、アタッチング先スペース（空間）からアジャンクション（付加）スペース（空間）へのカノニカルマップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明 |
| 194: サブセット（部分集合）たちのセット（集合）でセット（集合）全体と空集合を含むものはサブベーシス（基底）を構成する |
| サブセット（部分集合）たちのセット（集合）でセット（集合）全体と空集合を含むものはサブベーシス（基底）を構成することの記述/証明 |
| 195: 全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）たちのセット（集合）はトポロジーを決定する |
| 全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）たちのセット（集合）はトポロジーを決定することの記述/証明 |
| 196: オープンセット（開集合）はサブセット（部分集合）とインターセクトする（交わる）、もしも、それがサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とインターセクト（交わる）場合 |
| オープンセット（開集合）はサブセット（部分集合）とインターセクトする（交わる）、もしも、それがサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とインターセクト（交わる）場合、ことの記述/証明 |
| 197: コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネント |
| コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義 |
| 198: 2ポイントたちのトポロジカルコネクテッド（連結された）性 |
| 2ポイントたちのトポロジカルコネクテッド（連結された）性の定義 |
| 199: 2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド性 |
| 2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド（連結された）性の定義 |
| 200: 2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド性はイクイバレンスリレーション（等価関係）である |
| 2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド（連結された）性はイクイバレンスリレーション（等価関係）であることの記述/証明 |
| 201: パスコネクト（連結）されたトポロジカルコンポーネント |
| パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントの定義 |
| 202: コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできないコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならない |
| コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできないコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないことの記述/証明 |
| 203: 2ポイントたちのトポロジカルコネクテッド（連結された）性はイクイバレンス（同値）リレーション（関係）である |
| 2ポイントたちのトポロジカルコネクテッド（連結された）性はイクイバレンス（同値）リレーション（関係）であることの記述/証明 |
| 204: コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）を包含しコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）に包含されているサブスペース（部分空間）はコネクテッド（連結された）である |
| コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）を包含しコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）に包含されているサブスペース（部分空間）はコネクテッド（連結された）であることの記述/証明 |
| 205: コンティニュアス（連続）マップ（写像）のエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）である |
| コンティニュアス（連続）マップ（写像）のエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 206: 2ポイントたちはトポロジカルにパスコネクテッド（連結された）である、もしも2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限って |
| 2ポイントたちはトポロジカルにパスコネクテッド（連結された）である、もしも2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 207: トポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である2ポイントたちは、より大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である |
| トポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である2ポイントたちは、より大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明 |
| 208: パスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）パスコネクテッド（連結された）である、もしも、各サブスペース（部分空間）からポイントを抽出したサブスペース（部分空間）がパスコネクテッド（連結された）である場合 |
| パスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）パスコネクテッド（連結された）である、もしも、各サブスペース（部分空間）からポイントを抽出したサブスペース（部分空間）がパスコネクテッド（連結された）である場合、ことの記述/証明 |
| 209: パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできないパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならない |
| パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできないパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならないの記述/証明 |
| 210: ローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間） |
| ローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 211: ローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間） |
| ローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 212: コネクテッド（連結された）コンポーネントはローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）である |
| コネクテッド（連結された）コンポーネントはローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）であることの記述/証明 |
| 213: コネクテッド（連結された）コンポーネントはクローズド（閉）である |
| コネクテッド（連結された）コンポーネントはクローズド（閉）であることの記述/証明 |
| 214: トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちはそれと空集合だけである場合、そしてその場合に限って |
| トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちはそれと空集合だけである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 215: トポロジカルサブスペース（部分空間）上のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のクローズドセット（閉集合）であってそれのサブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）がサブセット（部分集合）であるものがある場合、そして、その場合に限って |
| トポロジカルサブスペース（部分空間）上のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のクローズドセット（閉集合）であってそれのサブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）がサブセット（部分集合）であるものがある場合、そして、その場合に限って、ことの記述/証明 |
| 216: トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのネストにおいて、サブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性はスーパースペース（空間）に依存しない |
| トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのネストにおいて、サブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性はスーパースペース（空間）に依存しないことの記述/証明 |
| 217: 2つのコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）である、もしも、サブスペース（部分空間）上のポイントの各ネイバーフッド（近傍）が他のサブスペース（部分空間）のポイントを包含する場合 |
| 2つのコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）である、もしも、サブスペース（部分空間）上のポイントの各ネイバーフッド（近傍）が他のサブスペース（部分空間）のポイントを包含する場合、ことの記述/証明 |
| 218: 有限数コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）である |
| 有限数コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）であることの記述/証明 |
| 219: パスコネクテッド（連結された）コンポーネントはローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）かつクローズド（閉）である |
| パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントはローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）かつクローズド（閉）であることの記述/証明 |
| 220: ポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底） |
| トポロジカルスペース（空間）上のポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の定義 |
| 221: ベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのセット（集合）はベクトルスペース（空間）を構成する |
| ベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのセット（集合）はベクトルスペース（空間）を構成することの記述/証明 |
| 222: 有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）のダブルデュアルはベクトルスペース（空間）へ 'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびそのダブルデュアルに対して、カノニカル（正典）な'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があることの記述/証明 |
| 223: 有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）のデュアルは同一次元ベクトルスペース（空間）を構成する |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルスペース（空間）のデュアルは同一-ディメンショナル（次元）ベクトルスペース（空間）を構成することの記述/証明 |
| 224: トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのネストにおいて、サブスペース（部分空間）上のサブセット（部分集合）のオープン（開）性はスーパースペース（空間）に依存しない |
| トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのネストにおいて、サブスペース（部分空間）上のサブセット（部分集合）のオープン（開）性はスーパースペース（空間）に依存しないことの記述/証明 |
| 225: コンプリメントが有限であるオープンセット（開集合）たちと空集合を合わせたものはトポロジーである |
| コンプリメントが有限であるオープンセット（開集合）たちと空集合を合わせたものはトポロジーであることの記述/証明 |
| 226: セット（集合）プラス要素としてのセット（集合）に対して、オープンセット（開集合）たちを、セット（集合）のサブセット（部分集合）たちとコンプリメントが有限であるサブセット（部分集合）たちとしたもの、はトポロジーである |
| セット（集合）プラス要素としてのセット（集合）に対して、オープンセット（開集合）たちを、セット（集合）のサブセット（部分集合）たちとコンプリメントが有限であるサブセット（部分集合）たちとしたもの、はトポロジーであることの記述/証明 |
| 227: ステレオグラフィックプロジェクションはホメオモーフィズム（位相同形写像）である |
| ステレオグラフィックプロジェクションはホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明 |
| 228: 各ポイントの周りのサブセット（部分集合）たちのセット（集合）で諸条件を満たすものは、各セット（集合）がネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）になるユニークなトポロジーを生成する |
| 各ポイントの周りのサブセット（部分集合）たちのセット（集合）で諸条件を満たすものは、各セット（集合）がネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）になるユニークなトポロジーを生成することの記述/証明 |
| 229: ユークリディアントポロジカルスペース（空間）上のオープンセット（開集合）はラショナル（有理）ポイントを持つ |
| ユークリディアントポロジカルスペース（空間）上のオープンセット（開集合）は有理ポイントを持つことの記述/証明 |
| 230: ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、ラショナル（有理）中心とラショナル（有理）半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）はベーシス（基底）である |
| ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、有理中心と有理半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）はベーシス（基底）であることの記述/証明 |
| 231: ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はセカンドカウンタブル（可算）である |
| ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はセカンドカウンタブル（可算）であることの記述/証明 |
| 232: セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）はセカンドカウンタブル（可算）である |
| セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）はセカンドカウンタブル（可算）であることの記述/証明 |
| 233: バイジェクション（全単射）に対して、マップ（写像）のインバース（逆）の下でのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）はマップ（写像）の下でのサブセット（部分集合）のイメージ（像）である |
| バイジェクション（全単射）に対して、マップ（写像）のインバース（逆）の下でのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）はマップ（写像）の下でのサブセット（部分集合）のイメージ（像）であることの記述/証明 |
| 234: トポロジカルスペース（空間）たち間インジェクティブ（単射）クローズド（閉）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）をレンジ（値域）に制限したマップ（写像）のインバース（逆）はコンティニュアス（連続）である |
| トポロジカルスペース（空間）たち間インジェクティブ（単射）クローズド（閉）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）をレンジ（値域）に制限したマップ（写像）のインバース（逆）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 235: ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジー |
| ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーの定義 |
| 236: ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）に対して、構成要素トポロジカルスペース（空間）からディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）へのインクルージョン（封入）はコンティニュアス（連続）である |
| ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）に対して、構成要素トポロジカルスペース（空間）からディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）へのインクルージョン（封入）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 237: プロダクトトポロジー |
| プロダクトトポロジーの定義 |
| 238: クローズドセット（閉集合）たちのプロダクトはプロダクトトポロジーにおいてクローズド（閉）である |
| クローズドセット（閉集合）たちのプロダクトはプロダクトトポロジーにおいてクローズド（閉）であることの記述/証明 |
| 239: クローズドセット（閉集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）はディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーにおいてクローズド（閉）である |
| クローズドセット（閉集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）はディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーにおいてクローズド（閉）であることの記述/証明 |
| 240: 2次元より高いかもしれないマトリックスをインデックスたちペアについてシンメトリック（対称）なパートとアンチシンメトリック（反対称）なパートに分割することについてのいくつかの事実たち |
| 2次元より高いかもしれないマトリックス（行列）をインデックスたちペアについてシンメトリック（対称）なパートとアンチシンメトリック（反対称）なパートに分割することについてのいくつかの事実たちの記述/証明 |
| 241: コンプリメント（補集合）たちのディスジョイント（互いに素）ユニオン（和集合）はセット（集合）全体たちのディスジョイント（互いに素）ユニオン（和集合）マイナスサブセット（部分集合）たちのディスジョイント（互いに素）ユニオン（和集合）である |
| コンプリメント（補集合）たちのディスジョイント（互いに素）ユニオン（和集合）はセット（集合）全体たちのディスジョイント（互いに素）ユニオン（和集合）マイナスサブセット（部分集合）たちのディスジョイント（互いに素）ユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 242: 任意のコンプリメント（補集合）たちのプロダクトは、セット（集合）全体たちのプロダクトマイナス、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）である |
| 任意のコンプリメント（補集合）たちのプロダクトは、セット（集合）全体たちのプロダクトマイナス、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 243: サブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分はサブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）に包含されている |
| サブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分はサブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）に包含されていることの記述/証明 |
| 244: サブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分はサブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）である、もしも、マップ（写像）がインジェクティブ（単射）である場合 |
| サブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分はサブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）である、もしも、マップ（写像）がインジェクティブ（単射）である場合、ことの記述/証明 |
| 245: クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）サブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合 |
| クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）サブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、ことの記述/証明 |
| 246: サブセット（部分集合）たちのプロダクトのコンプリメント（補集合）は、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）である |
| サブセット（部分集合）たちのプロダクトのコンプリメント（補集合）は、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 247: クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のマップ（写像）によるクウォシェント（商）スペース（空間）からコドメイン（余域）へのインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である |
| クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のマップ（写像）によるクウォシェント（商）スペース（空間）からコドメイン（余域）へのインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 248: リアル（実）クローズド（閉）インターバル（区間）たち間マップ（写像）およびマップ（写像）のグラフをトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものに対して、値が独立変数より大きいか小さいかであるというサブセット（部分集合）はオープン（開）である |
| リアル（実）クローズド（閉）インターバル（区間）たち間マップ（写像）およびマップ（写像）のグラフをトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものに対して、値が独立変数より大きいか小さいかであるというサブセット（部分集合）はオープン（開）であることの記述/証明 |
| 249: アーベリアン加法グループ（群）のサブグループ（群）はグループ（群）のリトラクトである、もしも、別のサブグループ（群）がありグループがサブグループ（群）たちの和である場合、そしてその場合に限って |
| アーベリアン加法グループ（群）のサブグループ（群）はグループ（群）のリトラクトである、もしも、別のサブグループ（群）がありグループがサブグループ（群）たちの和である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 250: 全てのセット（集合）たちを包含するセット（集合）はない |
| 全てのセット（集合）たちを包含するセット（集合）はないことの記述/証明 |
| 251: 1つの非0カーディナリティを持つセット（集合）たちのコレクションはセット（集合）ではない |
| 1つの非0カーディナリティを持つセット（集合）たちのコレクションはセット（集合）ではないことの記述/証明 |
| 252: セット（集合）たちのプロダクトたちは'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）である |
| セット（集合）たちのプロダクトたちは'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）であることの記述/証明 |
| 253: セット（集合）たちのカーディナリティたちの積たちはアソシアティブ（結合的）である |
| セット（集合）たちのカーディナリティたちの積たちはアソシアティブ（結合的）であることの記述/証明 |
| 254: セット（集合）のカーディナリティ（濃度）の自然数乗はカーディナリティ（濃度）のその回数分の積である |
| セット（集合）のカーディナリティ（濃度）の自然数乗はカーディナリティ（濃度）のその回数分の積であることの記述/証明 |
| 255: セット（集合）の複数回分の積のカーディナリティ（濃度）はセット（集合）のカーディナリティ（濃度）のその回数分の積である |
| セット（集合）の複数回分の積のカーディナリティ（濃度）はセット（集合）のカーディナリティ（濃度）のその回数分の積であることの記述/証明 |
| 256: 自然数からカウンタブル（可算）セット（集合）へのファンクション（関数）たちセット（集合）はカウンタブル（可算）である |
| 自然数からカウンタブル（可算）セット（集合）へのファンクション（関数）たちセット（集合）はカウンタブル（可算）であることの記述/証明 |
| 257: 部分的オーダリング（順序）を持ち最小要素を持たない空でないセット（集合）に対して、自然数たちセット（集合）からセット（集合）へのファンクション（関数）で、数のイメージ（像）は次の数のイメージ（像）より大きいというものがある |
| 部分的オーダリング（順序）を持ち最小要素を持たない空でないセット（集合）に対して、自然数たちセット（集合）からセット（集合）へのファンクション（関数）で、数のイメージ（像）は次の数のイメージ（像）より大きいというものがあることの記述/証明 |
| 258: セット（集合）の部分はサブセット（部分集合）である、もしも、セット（集合）の各要素が部分の中にあるか外にあるかを決定するフォーミュラがある場合 |
| セット（集合）の部分はサブセット（部分集合）である、もしも、セット（集合）の各要素が部分の中にあるか外にあるかを決定するフォーミュラがある場合、ことの記述/証明 |
| 259: セット（集合）の各要素をセット（集合）の中にユニークにマップするフォーミュラはファンクション（関数）を構成する |
| セット（集合）の各要素をセット（集合）の中にユニークにマップするフォーミュラはファンクション（関数）を構成することの記述/証明 |
| 260: 累乗たちの順序 |
| 累乗たちの順序の記述/証明 |
| 261: 2つのセット（集合）たちに対して、セット（集合）間のリレーション（関係）たちのコレクションはセット（集合）である |
| 2つのセット（集合）たちに対して、セット（集合）間のリレーション（関係）たちのコレクションはセット（集合）であることの記述/証明 |
| 262: セット（集合）たちの有限プロダクトはセット（集合）である |
| セット（集合）たちの有限プロダクトはセット（集合）であることの記述/証明 |
| 263: 2つのセット（集合）たちに対して、セット（集合）たち間のファンクション（関数）たちのコレクションはセット（集合）である |
| 2つのセット（集合）たちに対して、セット（集合）たち間のファンクション（関数）たちのコレクションはセット（集合）であることの記述/証明 |
| 264: トランスファイナイト（超限）リカージョン（反復）定理に対して、フォーミュラの部分的指定で十分であるいくつかの条件 |
| トランスファイナイト（超限）リカージョン（反復）定理に対して、フォーミュラの部分的指定で十分であるいくつかの条件の記述/証明 |
| 265: トポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、それらはC^\inftyマニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、ポイントおよびポイントイメージ（像）の周りにマニフォールド（多様体）たちのチャートたちおよびチャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのリストリクテッド（制限された）コーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合 |
| トポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、スーパー\(C^\infty\)マニフォールドたち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へチャートオープンセット（開集合）上で制限されるもののチャートたちマップ（写像）がコンティニュアス（連続）である場合、ことの記述/証明 |
| 266: パーシャルオーダリング（部分的順序）のインバース（逆）はパーシャルオーダリング（部分的順序）である |
| パーシャルオーダリング（部分的順序）のインバース（逆）はパーシャルオーダリング（部分的順序）であることの記述/証明 |
| 267: セット（集合）の、オーダリング（順序）のインバース（逆）に関する最小要素はセット（関数）の、元のオーダリング（順序）に関する最大要素である |
| セット（集合）の、オーダリング（順序）のインバース（逆）に関する最小要素はセット（関数）の、元のオーダリング（順序）に関する最大要素であることの記述/証明 |
| 268: セット（集合）の、オーダリング（順序）のインバース（逆）に関する最大要素はセット（関数）の、元のオーダリング（順序）に関する最小要素である |
| セット（集合）の、オーダリング（順序）のインバース（逆）に関する最大要素はセット（関数）の、元のオーダリング（順序）に関する最小要素であることの記述/証明 |
| 269: クローズド（閉）バイジェクション（全単射）のインバース（逆）はコンティニュアス（連続）である |
| クローズド（閉）バイジェクション（全単射）のインバース（逆）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 270: トポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、クローズドセット（閉集合）たちのコレクションで任意の有限数メンバーたちのインターセクション（共通集合）が空でないどんなものに対しても、コレクションのインターセクション（共通集合）が空でない場合、そしてその場合に限って |
| トポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、クローズドセット（閉集合）たちのコレクションで任意の有限数メンバーたちのインターセクション（共通集合）が空でないどんなものに対しても、コレクションのインターセクション（共通集合）が空でない場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 271: トポロジカルスペース（空間）たちの有限プロダクトはトポロジカルスペース（空間）たちの逐次プロダクトたちに等しい |
| トポロジカルスペース（空間）たちの有限プロダクトはトポロジカルスペース（空間）たちの逐次プロダクトたちに等しいことの記述/証明 |
| 272: コンパクトトポロジカルスペース（空間）たちの有限プロダクトはコンパクトである |
| コンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはコンパクトであることの記述 |
| 273: メンバーシップによるパーシャルオーダリング（部分的順序）を持つトランジティブセット（推移的集合）に対して、要素はそれへのイニシャルセグメントである |
| メンバーシップによるパーシャルオーダリング（部分的順序）を持つトランジティブセット（推移的集合）に対して、要素はそれへのイニシャルセグメントであることの記述/証明 |
| 274: オーディナル（順序）数はグラウンデッドであり、そのランクはそれ自身である |
| オーディナル（順序）数はグラウンデッドであり、そのランクはそれ自身であることの記述/証明 |
| 275: サブセット（部分集合）のトランジティブ（推移的）クロージャー（閉包） |
| サブセット（部分集合）のトランジティブ（推移的）クロージャー（閉包）の定義 |
| 276: サブセット（部分集合）のトランジティブ（推移的）クロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）を包含するトランジティブ（推移的）セット（集合）である |
| サブセット（部分集合）のトランジティブ（推移的）クロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）を包含するトランジティブ（推移的）セット（集合）であることの記述/証明 |
| 277: プロダクトトポロジカルスペース（空間）へのネットはポイントへ収束する、もしも、ネット後の各プロジェクションがポイントのコンポーネントへ収束する場合、そしてその場合に限って |
| プロダクトトポロジカルスペース（空間）へのネットはポイントへ収束する、もしも、ネット後の各プロジェクションがポイントのコンポーネントへ収束する場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 278: プロダクトトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、それがクローズドサブセット（部分集合）たちでその内の有限個のみがスペース（空間）全体でないもののプロダクトたちの有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って |
| プロダクトトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、それがクローズドサブセット（部分集合）たちでその内の有限個のみがスペース（空間）全体でないもののプロダクトたちの有限ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 279: コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）である |
| コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）であることの記述/証明 |
| 280: どのセット（集合）も自分自身をメンバーとして持たない |
| どのセット（集合）も自分自身をメンバーとして持たないことの記述/証明 |
| 281: どの2セット（集合）たちもお互いをメンバーとして持つことはない |
| どの2セット（集合）たちもお互いをメンバーとして持つことはないことの記述/証明 |
| 282: パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはパスコネクト（連結）されている |
| パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはパスコネクト（連結）されていることの記述/証明 |
| 283: トポロジカルスペース（空間）上のシーケンスに対して、ポイントの周りに、シーケンスの有限数ポイントたちのみを包含するオープンセット（開集合）がある、もしも、どのサブシーケンスもポイントに収束しない場合 |
| トポロジカルスペース（空間）上のシーケンスに対して、ポイントの周りに、シーケンスの有限数ポイントたちのみを包含するオープンセット（開集合）がある、もしも、どのサブシーケンスもポイントに収束しない場合、ことの記述/証明 |
| 284: パワーセット（集合）公理とサブセット（部分集合）公理の間の関係 |
| パワーセット（集合）公理とサブセット（部分集合）公理の間の関係の記述 |
| 285: ZFCセット（集合）理論のための妥当なフォーミュラたちのいくつかのパーツたち |
| ZFCセット（集合）理論のための妥当なフォーミュラたちのいくつかのパーツたちの記述/証明 |
| 286: トポロジカルスペース（空間）からメトリックスペース（計量空間）へのマップ（写像）に対して、クローズドセット（閉集合）のイメージ（像）はドメイン（定義域）のイメージ（像）上でクローズド（閉）である、もしも、クローズドセット（閉集合）上の任意のシーケンスでシーケンスのイメージ（像）がドメイン（定義域）のイメージ（像）上で収束するものに対して、収束ポイントがクローズドセット（閉集合）のイメージ（像）上にいる場合 |
| トポロジカルスペース（空間）からメトリックスペース（計量空間）へのマップ（写像）に対して、クローズドセット（閉集合）のイメージ（像）はドメイン（定義域）のイメージ（像）上でクローズド（閉）である、もしも、クローズドセット（閉集合）上の任意のシーケンスでシーケンスのイメージ（像）がドメイン（定義域）のイメージ（像）上で収束するものに対して、収束ポイントがクローズドセット（閉集合）のイメージ（像）上にいる場合、ことの記述/証明 |
| 287: オーディナル数たちのアンバウンデッドな（範囲限定されていない）コレクションはセット（集合）ではない |
| オーディナル（順序）数たちのアンバウンデッドな（範囲限定されていない）コレクションはセット（集合）ではないことの記述/証明 |
| 288: オーディナル数たちコレクションからオーディナル数たちコレクションの中へのインジェクティブ（単射）モノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションおよびドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）のイメージ（像）に対して、イメージ（像）のユニオン（和集合）はレンジ（余域）の中にいる |
| オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのインジェクティブ（単射）モノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションおよびドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）のイメージ（像）に対して、イメージ（像）のユニオン（和集合）はレンジ（余域）の中にいることの記述/証明 |
| 289: クローズドセット（閉集合）マイナスオープンセット（開集合）はクローズド（閉）である |
| クローズドセット（閉集合）マイナスオープンセット（開集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明 |
| 290: トポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい |
| トポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しいことの記述/証明 |
| 291: インバース（逆）リーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）はリーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）のインバース（逆）である |
| インバース（逆）リーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）はリーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）のインバース（逆）であることの記述/証明 |
| 292: オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）オペレーションに対して、値は引数に等しいか引数を包含する |
| オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）オペレーションに対して、値は引数に等しいか引数を包含することの記述/証明 |
| 293: ヴェブレン固定されたポイント定理の証明における固定されたポイントは、条件を満たす最小のものである |
| ヴェブレン固定されたポイント定理の証明における固定されたポイントは、条件を満たす最小のものであることの記述/証明 |
| 294: オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションの導出されたオペレーションはモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）である |
| オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションの導出されたオペレーションはモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 295: トポロジカルスペース（空間）に対して、サブスペース（部分空間）のコンパクトサブスペース（部分空間）はベーススペース（空間）上でコンパクトである |
| トポロジカルスペース（空間）に対して、サブスペース（部分空間）のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであることの記述/証明 |
| 296: トポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）は必ずしもコンパクトではない |
| トポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）は必ずしもコンパクトではないことの記述/証明 |
| 297: シリンダー（円柱）のクオシエント（商）でアンチポーダル（対心）ポイントたちを同定したものはメビウスバンド（帯）とホメオモーフィック（位相同形写像）である |
| シリンダー（円柱）のクオシエント（商）でアンチポーダル（対心）ポイントたちを同定したものはメビウスバンド（帯）とホメオモーフィック（位相同形写像）であることの記述/証明 |
| 298: トポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は必ずしもサブスペース（部分空間）上でコンパクトではない |
| トポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は必ずしもサブスペース（部分空間）上でコンパクトではないことの記述/証明 |
| 299: ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントの周りに、オープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトであるものがある |
| ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントの周りにオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトであるものがあることの記述/証明 |
| 300: トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）の中に包含されている |
| トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）の中に包含されていることの記述/証明 |
| 301: トポロジカルスペース（空間）およびサブスペース（部分空間）上のポイントに対して、ポイントのベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）である |
| トポロジカルスペース（空間）およびサブスペース（部分空間）上のポイントに対して、ポイントのベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）であることの記述/証明 |
| 302: トポロジカルスペース（空間）に対して、サブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）上でコンパクトであるものはサブスペース（部分空間）でコンパクトである |
| トポロジカルスペース（空間）に対して、サブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）上でコンパクトであるものはサブスペース（部分空間）でコンパクトであることの記述/証明 |
| 303: ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はローカルにコンパクトである |
| ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はローカルにコンパクトであることの記述/証明 |
| 304: ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のオープンサブスペース（開部分空間）はローカルにコンパクトである |
| ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のオープンサブスペース（開部分空間）はローカルにコンパクトであることの記述/証明 |
| 305: トポロジカルサブスペース（部分空間）はローカルにクローズド（閉）である、もしも、それがベーススペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）である場合、そして、その場合に限って |
| トポロジカルサブスペース（部分空間）はローカルにクローズド（閉）である、もしも、それがベーススペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）である場合、そして、その場合に限って、ことの記述/証明 |
| 306: ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である |
| ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明 |
| 307: ウェルオーダードセット（整列集合） |
| ウェルオーダードセット（整列集合）の定義 |
| 308: セット（集合）内のチェイン（鎖） |
| セット（集合）内のチェイン（鎖）の定義 |
| 309: パーシャリーオーダードセット（半順序集合） |
| パーシャリーオーダードセット（半順序集合）の定義 |
| 310: リニアリーオーダードセット（線形順序集合） |
| リニアリーオーダードセット（線形順序集合）の定義 |
| 311: セット（集合）のマキシマル（最大）要素 |
| セット（集合）のマキシマル（最大）要素の定義 |
| 312: ウェルオーダード（整列集合）サブセット（部分集合）にインクルージョン（包含）オーダリング（順序）を付けたものはベースセット（集合）内のチェイン（鎖）である |
| ウェルオーダード（整列集合）サブセット（部分集合）にインクルージョン（包含）オーダリング（順序）を付けたものはベースセット（集合）内のチェイン（鎖）であることの記述/証明 |
| 313: ハウスドルフマキシマル（最大）プリンシプル（律）: パーシャリーオーダードセット（半順序集合）内のチェイン（鎖）はマキシマル（最大）チェイン（鎖）に包含されている |
| ハウスドルフマキシマル（最大）プリンシプル（律）: パーシャリーオーダードセット（半順序集合）内のチェイン（鎖）はマキシマル（最大）チェイン（鎖）に包含されていることの記述/証明 |
| 314: トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）である |
| トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であることの記述/証明 |
| 315: トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なオープンカバー（開被覆）に対して、オープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はオープンセット（開集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）である |
| トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なオープンカバー（開被覆）に対して、オープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はオープンセット（開集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 316: 有限個サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）である |
| 有限個サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 317: トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なカバーに対して、コンパクトなサブセット（部分集合）はカバーの有限数要素たちのみとインターセクトする |
| トポロジカルスペース（空間）のローカルに有限なカバーに対して、コンパクトなサブセット（部分集合）はカバーの有限数要素たちのみとインターセクトすることの記述/証明 |
| 318: パラコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのトポロジカルサムはパラコンパクトである |
| パラコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのトポロジカルサムはパラコンパクトであることの記述/証明 |
| 319: オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションに対して、リミットオーディナル（順序）数のイメージ（像）はリミットオーディナル（順序）数である |
| オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションに対して、リミットオーディナル（順序）数のイメージ（像）はリミットオーディナル（順序）数であることの記述/証明 |
| 320: オーディナル（順序）数はリミットオーディナル（順序）数である、もしも、それが非ゼロでその全メンバーたちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って |
| オーディナル（順序）数はリミットオーディナル（順序）数である、もしも、それが非ゼロでその全メンバーたちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 321: モノトーン（単調）オーディナル（順序）数たちオペレーションに対して、2つのドメイン（定義域）要素たちはメンバーシップリレーション（関係）にある、もしも、対応するイメージ（像）たちが同じリレーション（関係）にある場合 |
| モノトーン（単調）オーディナル（順序）数たちオペレーションに対して、2つのドメイン（定義域）要素たちはメンバーシップリレーション（関係）にある、もしも、対応するイメージ（像）たちが同じリレーション（関係）にある場合、ことの記述/証明 |
| 322: ウェルオーダード（整列）ストラクチャーおよびそのサブストラクチャーに対して、サブストラクチャーのオーディナル（順序）数はベースストラクチャーのオーディナル（順序）数のメンバーであるかオーディナル（順序）数である |
| ウェルオーダード（整列）ストラクチャーおよびそのサブストラクチャーに対して、サブストラクチャーのオーディナル（順序）数はベースストラクチャーのオーディナル（順序）数のメンバーであるかオーディナル（順序）数であることの記述/証明 |
| 323: ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はパラコンパクトである、もしも、スペース（空間）はオープン（開）\sigmaコンパクトサブスペース（部分空間）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って |
| ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はパラコンパクトである、もしも、スペース（空間）はオープン（開）\(\sigma\)コンパクトサブスペース（部分空間）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 324: オーディナル（順序）数たちの降順シーケンス（列）は有限である |
| オーディナル（順序）数たちの降順シーケンス（列）は有限であることの記述/証明 |
| 325: トランシティブ（推移的）リレーション（関係）たちのセット（集合）のインターセクション（共通集合）はトランシティブ（推移的）である |
| トランシティブ（推移的）リレーション（関係）たちのセット（集合）のインターセクション（共通集合）はトランシティブ（推移的）であることの記述/証明 |
| 326: カントールノーマルフォーム（正規形）はユニークである |
| カントールノーマルフォーム（正規形）はユニークであることの記述/証明 |
| 327: プロジェクティブ（射影）ハイパープレーン（超平面）はハウスドルフである |
| プロジェクティブ（射影）ハイパープレーン（超平面）はハウスドルフであることの記述/証明 |
| 328: ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である |
| ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であることの記述/証明 |
| 329: レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである |
| レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであることの記述/証明 |
| 330: トポロジカルスペース（空間）の中へのサブスペース（部分空間）からのインクルージョン（封入）はコンティニュアス（連続）である |
| トポロジカルスペース（空間）の中へのサブスペース（部分空間）からのインクルージョン（封入）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 331: トポロジカルスペース（空間）間のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の各クローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って |
| トポロジカルスペース（空間）間のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の各クローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 332: トポロジカルスペース（空間）の中へのクローズドサブスペース（閉部分空間）からのインクルージョン（封入）はクローズド（閉）コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である |
| トポロジカルスペース（空間）の中へのクローズドサブスペース（閉部分空間）からのインクルージョン（封入）はクローズド（閉）コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明 |
| 333: マッピングシリンダー（円柱）からトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、アジャンクション（付加）アタッチング元スペース（空間）からとアジャンクション（付加）アタッチング先スペース（空間）からのインデュースト（導出された）マップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って |
| マッピングシリンダー（円柱）からトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、アジャンクション（付加）アタッチング元スペース（空間）からとアジャンクション（付加）アタッチング先スペース（空間）からのインデュースト（導出された）マップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 334: トポロジカルグループ（群）のサブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はサブグループ（部分群）である |
| トポロジカルグループ（群）のサブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はサブグループ（部分群）であることの記述/証明 |
| 335: ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間のリニア（線形）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である |
| ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 336: トポロジカルサブグループ（部分群）のノーマル（正規）サブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はノーマル（正規）サブグループ（部分群）である |
| トポロジカルサブグループ（部分群）のノーマル（正規）サブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はノーマル（正規）サブグループ（部分群）であることの記述/証明 |
| 337: サブグループ（部分群）に関するコセット（剰余類）マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）のイメージ（像）のプリイメージ（前像）はサブグループにサブセット（部分集合）を掛けたものである |
| サブグループ（部分群）に関するコセット（剰余類）マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）のイメージ（像）のプリイメージ（前像）はサブグループにサブセット（部分集合）を掛けたものであることの記述/証明 |
| 338: サブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の要素によるコセット（剰余類）はコセット（剰余類）に等しい、もしも、要素が後者コセット（剰余類）のメンバーである場合、そしてその場合に限って |
| サブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の要素によるコセット（剰余類）はコセット（剰余類）に等しい、もしも、要素が後者コセット（剰余類）のメンバーである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 339: ノーマル（正規）サブグループ（部分群）に関して、コセット（剰余類）たちのセット（集合）はグループ（群）を形成する |
| ノーマル（正規）サブグループ（部分群）に関して、コセット（剰余類）たちのセット（集合）はグループ（群）を形成することの記述/証明 |
| 340: グループ（群）、シンメトリックサブセット（対称的部分集合）、グループ（群）の要素、サブセット（部分集合）に対して、要素にシンメトリックサブセット（対称的部分集合）を右または左から掛けたものとシンメトリックサブセット（対称的部分集合）にサブセット（部分集合）を右または左から掛けたものはディスジョイント（互いに素）である、もしも、要素にシンメトリックサブセット（対称的部分集合）を左および右から掛けたものとサブセット（部分集合）がディスジョイント（互いに素）である場合 |
| グループ（群）、シンメトリックサブセット（対称的部分集合）、グループ（群）の要素、サブセット（部分集合）に対して、要素にシンメトリックサブセット（対称的部分集合）を右または左から掛けたものとシンメトリックサブセット（対称的部分集合）にサブセット（部分集合）を右または左から掛けたものはディスジョイント（互いに素）である、もしも、要素にシンメトリックサブセット（対称的部分集合）を左および右から掛けたものとサブセット（部分集合）がディスジョイント（互いに素）である場合、ことの記述/証明 |
| 341: 同一サイズブロックたちから出来ているマトリックス（行列）のマルチプリカブル（積を取ることができる）同一サイズブロックたちから出来ているマトリックス（行列）によるマルチプリケーション（積）はブロックたち毎である |
| 同一サイズブロックたちから出来ているマトリックス（行列）のマルチプリカブル（積を取ることができる）同一サイズブロックたちから出来ているマトリックス（行列）によるマルチプリケーション（積）はブロックたち毎であることの記述/証明 |
| 342: n x nクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）は対応する2n x 2nコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である |
| n x nクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）は対応する2n x 2nコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明 |
| 343: n次元クォータニオン（4元数）ジェネラルリニア（線形）グループ（群）は、非ゼロデターミナント（行列式）対応する2n x 2nコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であり、後者によって代表することができる |
| n次元クォータニオン（4元数）ジェネラルリニア（線形）グループ（群）は、非ゼロデターミナント（行列式）対応する2n x 2nコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であり、後者によって代表することができることの記述/証明 |
| 344: トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、クウォシェント（商）スペース（空間）およびクウォシェント（商）スペース（空間）の各要素がコネクテッド（連結された）である場合 |
| トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、クウォシェント（商）スペース（空間）およびクウォシェント（商）スペース（空間）の各要素がコネクテッド（連結された）である場合、ことの記述/証明 |
| 345: 2 x 2スペシャル（特殊）オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）は角度のサインおよびコサインで表現できる |
| 2 x 2スペシャル（特殊）オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）は角度のサインおよびコサインで表現できることの記述/証明 |
| 346: 2 x 2スペシャル（特殊）ユニタリマトリックス（行列）は角度のサインおよびコサインおよび2つの角度たちのイマジナリー（虚数）エクスポーネンシャル（指数関数）たちで表わすことができる |
| 2 x 2スペシャル（特殊）ユニタリマトリックス（行列）は角度のサインおよびコサインおよび2つの角度たちのイマジナリー（虚数）エクスポーネンシャル（指数関数）たちで表わすことができることの記述/証明 |
| 347: コンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）からコンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）の上への非ゼロマルチプリカティブ（乗法）トランスレーション（移動）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である |
| コンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）からコンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）の上への非ゼロマルチプリカティブ（乗法）トランスレーション（移動）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明 |
| 348: コンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）からコンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）の上へのコンジュゲーション（共役）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である |
| コンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）からコンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）の上へのコンジュゲーション（共役）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明 |
| 349: コンパクトトポロジカルスペース（空間）のクウォシェント（商）スペース（空間）はコンパクトである |
| コンパクトトポロジカルスペース（空間）のクウォシェント（商）スペース（空間）はコンパクトであることの記述/証明 |
| 350: nスフィア（球）はパスコネクテッドである |
| n-スフィア（球）はパスコネクテッドであることの記述/証明 |
| 351: トポロジカルスペース（空間）のオープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）たちの有限インターセクション（共通集合）はオープン（開）デンス（密）である |
| トポロジカルスペース（空間）のオープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）たちの有限インターセクション（共通集合）はオープン（開）デンス（密）であることの記述/証明 |
| 352: デデキントカット（切断）のマイナスデデキントカット（切断）は本当にデデキントカット（切断）である |
| デデキントカット（切断）のマイナスデデキントカット（切断）は本当にデデキントカット（切断）であることの記述/証明 |
| 353: ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントの周りのネイバーフッド（近傍）内にオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトでネイバーフッド（近傍）に包含されているものがある |
| ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントの周りのネイバーフッド（近傍）内にオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトでネイバーフッド（近傍）に包含されているものがあることの記述/証明 |
| 354: 空インテリア特にノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はデンス（密）である |
| 空インテリア特にノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はデンス（密）であることの記述/証明 |
| 355: オープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はノーホエアデンス（どこでも密でない）である |
| オープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はノーホエアデンス（どこでも密でない）であることの記述/証明 |
| 356: メトリックスペース（計量付き空間）に対して、2つのオープンボール（開球）たちの中のポイントたちの間のディスタンス（距離）は、中心たちの間のディスタンス（距離）マイナス半径たちの合計より大きく中心たちの間のディスタンス（距離）プラス半径たちの合計より小さい |
| メトリックスペース（計量付き空間）に対して、2つのオープンボール（開球）たちの中のポイントたちの間のディスタンス（距離）は、中心たちの間のディスタンス（距離）マイナス半径たちの合計より大きく中心たちの間のディスタンス（距離）プラス半径たちの合計より小さいことの記述/証明 |
| 357: トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）マイナスサブセット（部分集合）は空のインテリア（内部）を持っている |
| トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）マイナスサブセット（部分集合）は空のインテリア（内部）を持っていることの記述/証明 |
| 358: ファースト（第1）カテゴリーサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）はファースト（第1）カテゴリーのものである |
| ファースト（第1）カテゴリーサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）はファースト（第1）カテゴリーのものであることの記述/証明 |
| 359: レシデュアル（残余）サブセット（部分集合）のスーパーセット（集合）はレシデュアル（残余）である |
| レシデュアル（残余）サブセット（部分集合）のスーパーセット（集合）はレシデュアル（残余）であることの記述/証明 |
| 360: レギュラーサブマニフォールド（多様体）上のC^\inftyベクトルたちフィールド（場）はスーパーマニフォールド（多様体）上のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）としてC^\inftyである |
| レギュラーサブマニフォールド（多様体）上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）はスーパーマニフォールド（多様体）上のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）として\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 361: トポロジカルスペース（空間）のノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）ユニオン（和集合）は空のインテリア（内部）を持つ |
| トポロジカルスペース（空間）のノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）ユニオン（和集合）は空のインテリア（内部）を持つことの記述/証明 |
| 362: 2つのデデキントカットたちの間にラショナル（有理）およびイラショナル（無理）デデキントカットたちがある |
| 2つのデデキントカットたちの間にラショナル（有理）およびイラショナル（無理）デデキントカットたちがあることの記述/証明 |
| 363: 2つのC^\inftyマニフォールド（多様体）たちのプロダクトに対して、構成員たちの内の1つがレギュラーサブマニフォールド（多様体）で置き換えられたプロダクトはレギュラーサブマニフォールド（多様体）である |
| 2つの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのプロダクトに対して、構成員たちの内の1つがレギュラーサブマニフォールド（多様体）で置き換えられたプロダクトはレギュラーサブマニフォールド（多様体）であることの記述/証明 |
| 364: セット（集合）たちのプロダクトたちのインターセクション（共通集合）はセット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトである |
| セット（集合）たちのプロダクトたちのインターセクション（共通集合）はセット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであることの記述/証明 |
| 365: C^\infty Vectors Field Is Uniquely Defined by Its C^\infty Metric Value Functions with All C^\infty Vectors Fields |
| \(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）はその、全\(C^\infty\)ベクトルたちフィールドたちとの\(C^\infty\)メトリック（計量）値ファンクション（関数）たちによってユニークに定義されることの記述/証明 |
| 366: C^\inftyマニフォールド（多様体）たち間C^\inftyマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、レギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）およびレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はC^\inftyである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、マップ（写像）の、エンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）およびエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、コドメイン（余域）上のリストリクション（制限）は\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 367: C^\inftyマニフォールド（多様体）、そのレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、スーパーマニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）はC^\inftyマニフォールド（多様体）であり、オープンサブセット（開部分集合）とレギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）はオープンサブセット（開部分集合）マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、そのレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、スーパーマニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）であり、オープンサブセット（開部分集合）とレギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）はオープンサブセット（開部分集合）マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であることの記述/証明 |
| 368: C^\inftyベクトルたちバンドル（束）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ベーススペース（底空間）についてのリストリクション（制限）はC^\inftyベクトルたちバンドル（束）である |
| \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ベーススペース（底空間）についてのリストリクション（制限）は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）であることの記述/証明 |
| 369: C^\inftyマニフォールド（多様体）上のC^\inftyファンクション（関数）はレギュラーサブマニフォールド（多様体）上でC^\inftyである |
| C^\inftyマニフォールド（多様体）上のC^\inftyファンクション（関数）はレギュラーサブマニフォールド（多様体）上でC^\inftyであることの記述/証明 |
| 370: ユークリディアンC^\inftyマニフォールド（多様体）、そのレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、レギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）はC^\inftyである、もしも、スタンダード（標準）チャートに関するそのコンポーネントたちがレギュラーサブマニフォールド（多様体）上でC^\inftyである場合、そしてその場合に限って |
| ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、そのレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、レギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、スタンダード（標準）チャートに関するそのコンポーネントたちがレギュラーサブマニフォールド（多様体）上で\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 371: C^\inftyマップ（写像）のオープン（開）ドメイン（定義域）およびオープン（開）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はC^\inftyである |
| \(C^\infty\)マップ（写像）のオープン（開）ドメイン（定義域）およびオープン（開）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 372: ファンクショナルに（関数により）ストラクチャード（構造化された）トポロジカルスペース（空間）たちカテゴリーモーフィズム（射）たちはモーフィズム（射）たちである |
| ファンクショナルに（関数により）ストラクチャード（構造化された）トポロジカルスペース（空間）たちカテゴリーモーフィズム（射）たちはモーフィズム（射）たちであることの記述/証明 |
| 373: コンティニュアス（連続）トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）コドメイン（余域）上のインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）である |
| コンティニュアス（連続）トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）コドメイン（余域）上のインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）であることの記述/証明 |
| 374: トポロジカルサブスペース（部分空間）上のインクルージョン（封入）によるインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）である |
| トポロジカルサブスペース（部分空間）上のインクルージョン（封入）によるインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）であることの記述/証明 |
| 375: ファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントたちシーケンス（列）およびサブセット（部分集合）についてのいくつかの事実 |
| ファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントたちシーケンス（列）およびサブセット（部分集合）についてのいくつかの事実の記述/証明 |
| 376: サブスペース（部分空間）トポロジーの特性プロパティ |
| サブスペース（部分空間）トポロジーの特性プロパティの記述/証明 |
| 377: プロダクトトポロジーの特性プロパティ |
| プロダクトトポロジーの特性プロパティの記述/証明 |
| 378: ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）の特性プロパティ |
| ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）の特性プロパティの記述/証明 |
| 379: トポロジカルスペース（空間）間のコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）はそのプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合クローズド（閉）である場合 |
| トポロジカルスペース（空間）間のコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）はそのプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合クローズド（閉）である場合、ことの記述/証明 |
| 380: クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、オープン（開）またはクローズド（閉）サチュレイテッド（飽和した）ドメイン（定義域）についておよびリストリクテッド（制限された）イメージ（像）コドメイン（余域）についてのそのリストリクション（制限）はクウォシェント（商）マップ（写像）である |
| クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、オープン（開）またはクローズド（閉）サチュレイテッド（飽和した）ドメイン（定義域）についておよびリストリクテッド（制限された）イメージ（像）コドメイン（余域）についてのそのリストリクション（制限）はクウォシェント（商）マップ（写像）であることの記述/証明 |
| 381: カテゴリーたちイクイバレンス（同値）はイクイバレンスリレーション（同値関係）である |
| カテゴリーたちイクイバレンス（同値）はイクイバレンスリレーション（同値関係）であることの記述/証明 |
| 382: サージェクション（全射）下のプリイメージ（前像）はサージェクション（全射）に関してサチュレイテッド（飽和した）である |
| サージェクション（全射）下のプリイメージ（前像）はサージェクション（全射）に関してサチュレイテッド（飽和した）であることの記述/証明 |
| 383: ダイコトミカリー（2分割的に）ディスジョイント（互いに素）なセット（集合）たちのセット（集合） |
| ダイコトミカリー（2分割的に）ディスジョイント（互いに素）なセット（集合）たちのセット（集合）の定義 |
| 384: セット（集合）たちのセット（集合）に対して、ダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）は必ずしもペアワイズ（ペア毎）非ディスジョイント（互いに素）を意味しない |
| セット（集合）たちのセット（集合）に対して、ダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）は必ずしもペアワイズ（ペア毎）非ディスジョイント（互いに素）を意味しないことの記述/証明 |
| 385: ダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）リアル（実）インターバル（区間）たちセット（集合）のユニオン（和集合）はリアル（実）インターバル（区間）である |
| ダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）リアル（実）インターバル（区間）たちセット（集合）のユニオン（和集合）はリアル（実）インターバル（区間）であることの記述/証明 |
| 386: 1ディメンジョナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たちはインターバル（区間）たちである |
| 1ディメンジョナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たちはインターバル（区間）たちであることの記述/証明 |
| 387: トポロジカルスペース（空間）に対して、スペース（空間）のオープン（開）でクローズド（閉）なサブセット（部分集合）はスペース（空間）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちのユニオン（和集合）である |
| トポロジカルスペース（空間）に対して、スペース（空間）のオープン（開）でクローズド（閉）なサブセット（部分集合）はスペース（空間）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちのユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 388: ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）および2つのディスジョイント（互いに素な）コンパクトサブセット（部分集合）たちに対して、ディスジョイント（互いに素な）オープン（開）サブセット（部分集合）たちでそれらの各々がコンパクトサブセット（部分集合）を包含するものがある |
| ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）および2つのディスジョイント（互いに素な）コンパクトサブセット（部分集合）たちに対して、ディスジョイント（互いに素な）オープン（開）サブセット（部分集合）たちでそれらの各々がコンパクトサブセット（部分集合）を包含するものがあることの記述/証明 |
| 389: セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、オープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つ |
| セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、オープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つことの記述/証明 |
| 390: トポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）が\omegaアキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って |
| トポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）が\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 391: トポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、それがシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである場合 |
| トポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、それがシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである場合、ことの記述/証明 |
| 392: ファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、それがカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合 |
| ファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、それがカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、ことの記述/証明 |
| 393: コンパクトトポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）はプロパーである |
| コンパクトトポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）はプロパーであることの記述/証明 |
| 394: サブセット（部分集合）のマップ（写像）の後のプリイメージ（前像）コンポジション（合成）は引数セット（集合）を包含している |
| サブセット（部分集合）のマップ（写像）の後のプリイメージ（前像）コンポジション（合成）は引数セット（集合）を包含していることの記述/証明 |
| 395: トポロジカルスペース（空間）たち間のクローズド（閉）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンパクトファイバーたちをを持っているものはプロパーである |
| トポロジカルスペース（空間）たち間のクローズド（閉）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンパクトファイバーたちをを持っているものはプロパーであることの記述/証明 |
| 396: トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）でクローズド（閉）レンジ（値域）を持つものはプロパーである |
| トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）でクローズド（閉）レンジ（値域）を持つものはプロパーであることの記述/証明 |
| 397: トポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンティニュアス（連続）左インバース（逆）を持つものはプロパーである |
| トポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンティニュアス（連続）左インバース（逆）を持つものはプロパーであることの記述/証明 |
| 398: トポロジカルスペース（空間）間プロパーマップ（写像）のサチュレイテッド（飽和した）ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）およびレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はプロパーである |
| トポロジカルスペース（空間）間プロパーマップ（写像）のサチュレイテッド（飽和した）ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）およびレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はプロパーであることの記述/証明 |
| 399: 'インディペンデントバリアブル（独立変数）'-バリュー（値）ペアたちデータに対して、オリジン（原点）を通過する近似ライン（直線）でバリュー（値）差異スクウェア（2乗）たち計最小を持つものを選ぶことはバリュー（値）たちベクトルをインディペンデントバリアブル（独立変数）たちベクトルライン（直線）へプロジェクト（射影）することに等しい |
| 'インディペンデントバリアブル（独立変数）'-バリュー（値）ペアたちデータに対して、オリジン（原点）を通過する近似ライン（直線）でバリュー（値）差異スクウェア（2乗）たち計最小を持つものを選ぶことはバリュー（値）たちベクトルをインディペンデントバリアブル（独立変数）たちベクトルライン（直線）へプロジェクト（射影）することに等しいことの記述/証明 |
| 400: コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、クローズド（閉）サブスペース（部分空間）はコンプリート（完備）である |
| コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、クローズド（閉）サブスペース（部分空間）はコンプリート（完備）であることの記述/証明 |
| 401: T_1トポロジカルスペース（空間）上にて、ポイントはサブセット（部分集合）の\omegaアキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、それがサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って |
| \(T_1\)トポロジカルスペース（空間）上にて、ポイントはサブセット（部分集合）の\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、それがサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 402: メトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）は\omegaアキューミュレーションポイント（集積点）を持つ場合、そしてその場合に限って |
| メトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）は\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持つ場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 403: C^\inftyベクトルたちバンドル（束）に対して、グローバルコネクション（接続）を構築することができる、オープンカバー（開被覆）上方のローカルコネクション（接続）たちを使い、オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイトな（従属する）ユニティのパーティションを使って |
| \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、グローバルコネクション（接続）を構築することができる、オープンカバー（開被覆）上方のローカルコネクション（接続）たちを使い、オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイトな（従属する）ユニティのパーティションを使って、ことの記述/証明 |
| 404: リーマニアンバンドル（束）はコンパチブル（互換）コネクション（接続）を持つ |
| リーマニアンバンドル（束）はコンパチブル（互換）コネクション（接続）を持つことの記述/証明 |
| 405: C^\inftyマニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアンC^\inftyマニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）の上へのマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）の上へのマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 406: %フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間） |
| %フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義 |
| 407: \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）がある |
| ベクトルたちバンドル（束）に対して、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の任意のポイントにより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があることの記述/証明 |
| 408: \(C^\infty\)ベクトルバンドル（束）に対して、チャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）がある |
| ベクトルたちバンドル（束）に対して、チャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があることの記述/証明 |
| 409: \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、チャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）する |
| ベクトルたちバンドル（束）に対して、チャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションは自然なチャートマップ（写像）をインデュース（誘導）することの記述/証明 |
| 410: \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、そこ上方の\(C^\infty\)フレームに関する係数たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って |
| ベクトルたちバンドル（束）に対して、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、そこの上方の\(C^\infty\)フレームに関するコエフィシェント（係数）たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 411: %ストラクチャー（構造）種類名%エンドモーフィズム（自己準同形写像） |
| %ストラクチャー（構造）種類名%エンドモーフィズム（自己準同形写像）の定義 |
| 412: \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、ベーススペース（空間）上のチャートオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）ではない（多分） |
| ベクトルたちバンドル（束）に対して、ベーススペース（空間）上のチャートオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）ではない（多分）ことの記述/証明 |
| 413: \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、\(C^\infty\)フレームはトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在する |
| ベクトルたちバンドル（束）に対して、\(C^\infty\)フレームはトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在することの記述/証明 |
| 414: ホモトピックマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちはホモトピックである |
| ホモトピックマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちはホモトピックであることの記述/証明 |
| 415: コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はマップ（写像）たちにインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコンポジション（合成）である |
| コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はマップ（写像）たちにインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコンポジション（合成）であることの記述/証明 |
| 416: ホメオモーフィズム（位相同形写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| ホメオモーフィズム（位相同形写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 417: グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対するファンダメンタル（基本的）定理 |
| グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対するファンダメンタル（基本的）定理の記述/証明 |
| 418: ファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）上のファンダメンタルグループ（群）から構成要素トポロジカルスペース（空間）ファンダメンタルグループ（群）たちのプロダクトの中へのカノニカル（自然な）マップ（写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| ファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）上のファンダメンタルグループ（群）から構成要素トポロジカルスペース（空間）ファンダメンタルグループ（群）たちのプロダクトの中へのカノニカル（自然な）マップ（写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 419: ホモトピーイクイバレンス（等値写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| ホモトピーイクイバレンス（等値写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 420: コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からの以下を満たす2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれらがポイントにおいて一致すれば、それらはネイバーフッド（近傍）上で一致し、もしもそれらがポイントにおいて不一致であれば、それらはネイバーフッド（近傍）上で不一致である、は全体として一致するか全体として不一致である |
| コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からの以下を満たす2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれらがポイントにおいて一致すれば、それらはネイバーフッド（近傍）上で一致し、もしもそれらがポイントにおいて不一致であれば、それらはネイバーフッド（近傍）上で不一致である、は全体として一致するか全体として不一致であることの記述/証明 |
| 421: トポロジカルスペース（空間）上の2つのパスコネクテッド（連結された）ポイントたちに対して、ファンダメンタルグループ（群）たち間'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）でパスクラスたちグルーポイド内にて左からインバース（逆）パスクラスを掛け右からパスクラスを掛けるものがある |
| トポロジカルスペース（空間）上の2つのパスコネクテッド（連結された）ポイントたちに対して、ファンダメンタルグループ（群）たち間'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）でパスクラスたちグルーポイド内にて左からインバース（逆）パスクラスを掛け右からパスクラスを掛けるものがあることの記述/証明 |
| 422: 2つのホモトピックマップ（写像）たち、ドメイン（定義域）上のポイント、マップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第2のホモモーフィズム（準同形写像）は、ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコドメイン（余域）間カノニカル（自然な）'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を第1ホモモーフィズム（準同形写像）の後に作用させるコンポジション（合成）である |
| 2つのホモトピックマップ（写像）たち、ドメイン（定義域）上のポイント、マップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第2のホモモーフィズム（準同形写像）は、ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコドメイン（余域）間カノニカル（自然な）'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を第1ホモモーフィズム（準同形写像）の後に作用させるコンポジション（合成）であることの記述/証明 |
| 423: ファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、ネイバーフッド（近傍）たちのプロダクトはネイバーフッド（近傍）である |
| ファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、ネイバーフッド（近傍）たちのプロダクトはネイバーフッド（近傍）であることの記述/証明 |
| 424: ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはローカルにコンパクトである |
| ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはローカルにコンパクトであることの記述/証明 |
| 425: プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）のプロジェクション（射影）はコンパクトである |
| プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）のプロジェクション（射影）はコンパクトであることの記述/証明 |
| 426: ユークリディアンベクトルたちスペース（空間） |
| ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義 |
| 427: ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンノルム |
| ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンノルムの定義 |
| 428: ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間） |
| ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義 |
| 429: ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちでポイントで不一致であるものはポイントのネイバーフッド（近傍）で不一致である |
| ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちでポイントで不一致であるものはポイントのネイバーフッド（近傍）で不一致であることの記述/証明 |
| 430: コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への以下を満たす2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれらがポイントにおいて一致すれば、それらはネイバーフッド（近傍）で一致する、は全体として一致するか全体として不一致である |
| コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への以下を満たす2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれらがポイントにおいて一致すれば、それらはネイバーフッド（近傍）で一致する、は全体として一致するか全体として不一致であることの記述/証明 |
| 431: コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間） |
| コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の定義 |
| 432: トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のインテリア（内部） |
| トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のインテリア（内部）の定義 |
| 433: バイジェクション（全単射） |
| バイジェクション（全単射）の定義 |
| 434: インデックス付けられたサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）マイナス同じインデックスたちセット（集合）でインデックス付けられたサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は各インデックスに対するサブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）に包含されている |
| インデックス付けられたサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）マイナス同じインデックスたちセット（集合）でインデックス付けられたサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は各インデックスに対するサブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）に包含されていることの記述/証明 |
| 435: サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）は第2サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）マイナス第1サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）である |
| サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）は第2サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）マイナス第1サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）であることの記述/証明 |
| 436: プロダクトセット（集合） |
| プロダクトセット（集合）の定義 |
| 437: メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点） |
| メトリックスペース（計量付き空間）上のシーケンス（列）のコンバージェンス（収束点）の定義 |
| 438: メトリックスペース（計量付き空間）上のコーシーシーケンス（列） |
| メトリックスペース（計量付き空間）上のコーシーシーケンス（列）の定義 |
| 439: ドメイン（定義域）のパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のコンティニュアス（連続）イメージ（像）はコドメイン（余域）上でパスコネクテッド（連結された）である |
| ドメイン（定義域）のパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のコンティニュアス（連続）イメージ（像）はコドメイン（余域）上でパスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明 |
| 440: nディメンジョナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）内のローテーション（回転）は(n - 2)ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）アクシス（軸）に沿った同一の2ディメンジョナル（次元）ローテーション（回転）たちである |
| \(n\)ディメンジョナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）内のローテーション（回転）は\((n - 2)\)ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）アクシス（軸）に沿った同一の\(2\)ディメンジョナル（次元）ローテーション（回転）たちであることの記述/証明 |
| 441: トポロジカルスペース（空間）のデンス（密）サブセット（部分集合） |
| トポロジカルスペース（空間）のデンス（密）サブセット（部分集合）の定義 |
| 442: トポロジカルスペース（空間）のノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合） |
| トポロジカルスペース（空間）のノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）の定義 |
| 443: セパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間） |
| セパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 444: バナッハスペース（空間） |
| バナッハスペース（空間）の定義 |
| 445: カバリングマップ（写像）に対して、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からのコンティニュアス（連続）マップ（写像）の2つのリフトたちは全体として一致するか全体として不一致であるかである |
| カバリングマップ（写像）に対して、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からのコンティニュアス（連続）マップ（写像）の2つのリフトたちは全体として一致するか全体として不一致であるかであることの記述/証明 |
| 446: リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量） |
| リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義 |
| 447: グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群） |
| グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）の定義 |
| 448: ポリッシュスペース（空間） |
| ポリッシュスペース（空間）の定義 |
| 449: リストリクテッド（制限された）タンジェントベクトルたちバンドル（束）上のベクトルたちフィールド（場）はC^\inftyである、もしも、スーパーマニフォールド（多様体）上の任意のC^\inftyファンクション（関数）へのオペレーション結果がレギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上でC^\inftyである場合、そしてその場合に限って |
| リストリクテッド（制限された）タンジェントベクトルたちバンドル（束）上のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、スーパーマニフォールド（多様体）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果がレギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上で\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述/証明 |
| 450: カバリングマップ（写像）に対して、クローズド（閉）リアル（実）インターバル（区間）たちのファイナイト（有限）プロダクトからのコンティニュアス（連続）マップ（写像）のユニークなリフトが各初期値に対してある |
| カバリングマップ（写像）に対して、クローズド（閉）リアル（実）インターバル（区間）たちのファイナイト（有限）プロダクトからのコンティニュアス（連続）マップ（写像）のユニークなリフトが各初期値に対してあることの記述/証明 |
| 451: トポロジカルマニフォールド（多様体）上のチャート |
| トポロジカルマニフォールド（多様体）上のチャートの定義 |
| 452: C^\inftyマニフォールド（多様体）上のチャート |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のチャートの定義 |
| 453: ポイントにおいてC^\inftyなマップ（写像）に対して、任意のチャートたちによるコーディネート（座標）たちファンクション（関数）はポイントイメージ（像）においてC^\inftyである |
| ポイントにおいて\(C^\infty\)なマップ（写像）に対して、任意のチャートたちによるコーディネート（座標）たちファンクション（関数）はポイントイメージ（像）において\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 454: カバリングマップ（写像）に対して、パスのユニークなリフトが、パスドメイン（定義域）上のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してある |
| カバリングマップ（写像）に対して、パスのユニークなリフトが、パスドメイン（定義域）上のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあることの記述/証明 |
| 455: パスホモトピックパスたちのリフトたちで同一ポイントから開始するものたちはパスホモトピックである |
| パスホモトピックパスたちのリフトたちで同一ポイントから開始するものたちはパスホモトピックであることの記述/証明 |
| 456: トポロジカルマニフォールド（多様体）に対するマキシマル（最大）アトラス |
| トポロジカルマニフォールド（多様体）に対するマキシマル（最大）アトラスの定義 |
| 457: ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体） |
| ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義 |
| 458: カバリングマップ（写像）に対して、パスのリバース（反転）のリフトはパスのリフトのリバース（反転）である |
| カバリングマップ（写像）に対して、パスのリバース（反転）のリフトはパスのリフトのリバース（反転）であることの記述/証明 |
| 459: カバリングマップ（写像）に対して、パスたちのプロダクト（積）のリフトはパスたちのリフトたちのプロダクト（積）である |
| カバリングマップ（写像）に対して、パスたちのプロダクト（積）のリフトはパスたちのリフトたちのプロダクト（積）であることの記述/証明 |
| 460: カバリングマップ（写像）に対して、パスコネクテッド（連結された）ローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からのコンティニュアス（連続）マップ（写像）のリフトが存在するための条件 |
| カバリングマップ（写像）に対して、パスコネクテッド（連結された）ローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からのコンティニュアス（連続）マップ（写像）のリフトが存在するための条件の記述/証明 |
| 461: ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックスノルム |
| ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックスノルムの定義 |
| 462: フロベニウスマトリックス（行列）ノルム |
| フロベニウスマトリックス（行列）ノルムの定義 |
| 463: 別々のコネクテッド（連結された）コンポーネントたち上の2ポイントたちはパスコネクテッド（連結された）でない |
| 別々のコネクテッド（連結された）コンポーネントたち上の2ポイントたちはパスコネクテッド（連結された）でないことの記述/証明 |
| 464: \(C^\infty\)カーブに沿ったベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って |
| \(C^\infty\)カーブに沿ったベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 465: \(C^\infty\)カーブに沿ったベロシティーベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である |
| \(C^\infty\)カーブに沿ったベロシティーベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 466: カバリングマップ（写像） |
| カバリングマップ（写像）の定義 |
| 467: ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む |
| ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)を\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義 |
| 468: ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む\(k\) |
| ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義 |
| 469: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)なもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む、の定義 |
| 470: バウンダリー（境界）付きの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの任意のサブセット（部分集合）たちの間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の\(C^k\)マップ（写像）、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、の定義 |
| 471: ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたちに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)である |
| ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたちに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であることの記述/証明 |
| 472: ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、ポイントを包含するドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいて\(C^k\)である |
| ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、ポイントを包含するドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいて\(C^k\)であることの記述/証明 |
| 473: ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）に対して、マップ（写像）はポイントにおいて\(C^k\)である、もしも、ポイントのサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）がポイントにおいて\(C^k\)である場合 |
| ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）に対して、マップ（写像）はポイントにおいて\(C^k\)である、もしも、ポイントのサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）がポイントにおいて\(C^k\)である場合、ことの記述/証明 |
| 474: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、ドメイン（定義域）チャートとコドメイン（余域）チャートの任意の可能なペアは定義の条件を満たす |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、ドメイン（定義域）チャートとコドメイン（余域）チャートの任意の可能なペアは定義の条件を満たすことの記述/証明 |
| 475: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたちに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたちに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)であることの記述/証明 |
| 476: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、ポイントを包含するドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいて\(C^k\)である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、ポイントを包含するドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいて\(C^k\)であることの記述/証明 |
| 477: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）に対して、マップ（写像）はポイントにおいて\(C^k\)である、もしも、ポイントのサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）がポイントにおいて\(C^k\)である場合 |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）に対して、マップ（写像）はポイントにおいて\(C^k\)である、もしも、ポイントのサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）がポイントにおいて\(C^k\)である場合、ことの記述/証明 |
| 478: クローズドインターバル（閉区間）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のバウンダリー（境界）ポイントにおける\(C^k\)性は片方向デリバティブ（微分係数）たちにコンティニュアス（連続）性が付いたものたちの存在に等しく、デリバティブ（微分係数）たちは片方向デリバティブ（微分係数）たちである |
| クローズドインターバル（閉区間）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のバウンダリー（境界）ポイントにおける\(C^k\)性は片方向デリバティブ（微分係数）たちにコンティニュアス（連続）性が付いたものたちの存在に等しく、デリバティブ（微分係数）たちは片方向デリバティブ（微分係数）たちであることの記述/証明 |
| 479: カーブのクローズドバウンダリーポイント（閉境界点）におけるベロシティーとは何であるか |
| カーブのクローズドバウンダリーポイント（閉境界点）におけるベロシティーとは何であるかの記述 |
| 480: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のチャートインデュースト（誘導された）ベーシス（基底）ベクトルとは何であるか |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のチャートインデュースト（誘導された）ベーシス（基底）ベクトルとは何であるかの記述 |
| 481: ローカルにトポロジカルにクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間） |
| ローカルにトポロジカルにクローズド（閉）上半面ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 482: バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体） |
| トポロジカルマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義 |
| 483: バウンダリー（境界）付きトポロジカルマニフォールド（多様体）上のチャート |
| トポロジカルマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のチャートの定義 |
| 484: バウンダリー付きトポロジカルマニフォールド（多様体）に対するマキシマルアトラス |
| トポロジカルマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するマキシマルアトラスの定義 |
| 485: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義 |
| 486: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のディフェオモーフィズム |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のディフェオモーフィズムの定義 |
| 487: トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合） |
| トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義 |
| 488: コンパクトトポロジカルスペース（空間） |
| コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 489: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャル |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義 |
| 490: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）からバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のポイントイメージ（像）のネイバーフッド（近傍）上へのディフェオモーフィズムに対して、ポイントにおけるディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、から\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントイメージ（像）のネイバーフッド（近傍）上へのディフェオモーフィズムに対して、ポイントにおけるディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 491: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるもの |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものの定義 |
| 492: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはポイントにおいて\(C^\infty\)である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはポイントにおいて\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 493: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でバイジェクティブ（全単射）で各ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはディフェオモーフィズムである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でバイジェクティブ（全単射）で各ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはディフェオモーフィズムであることの記述/証明 |
| 494: トポロジカルスペース（空間）たち間のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、オープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）上へのコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合 |
| トポロジカルスペース（空間）たち間のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、オープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）上へのコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合、ことの記述/証明 |
| 495: トポロジカルスペース（空間）の2サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）に対して、その、一方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、他方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、ベーススペース（基底空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたもの、たちは同一である |
| トポロジカルスペース（空間）の2サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）に対して、その、一方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、他方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、ベーススペース（基底空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたもの、たちは同一であることの記述/証明 |
| 496: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、レンジ（値域）を包含するコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）はポイントにおいて\(C^k\)である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、レンジ（値域）を包含するコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）はポイントにおいて\(C^k\)であることの記述/証明 |
| 497: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものに対して、ドメイン（定義域）のポイントを包含するオープンサブセット（開部分集合）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものに対して、ドメイン（定義域）のポイントを包含するオープンサブセット（開部分集合）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであることの記述/証明 |
| 498: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものたち、ここで、第1のマップ（写像）のコドメイン（余域）は第2のマップ（写像）のドメイン（定義域）のオープンサブセット（開部分集合）である、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものたち、ここで、第1のマップ（写像）のコドメイン（余域）は第2のマップ（写像）のドメイン（定義域）のオープンサブセット（開部分集合）である、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであることの記述/証明 |
| 499: オーダード（順序付き）ペア |
| オーダード（順序付き）ペアの定義 |
| 500: リレーション（関係） |
| リレーション（関係）の定義 |
| 501: ファンクション（関数） |
| ファンクション（関数）の定義 |
| 502: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上方のファンクション（関数） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のファンクション（関数）の定義 |
| 503: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）の定義 |
| 504: サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）たちのシーケンス（列）のユニオン（和集合）は、それぞれが第1サブセット（部分集合）マイナスシーケンス（列）の部分的ユニオン（和集合）であるサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）である |
| サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）たちのシーケンス（列）のユニオン（和集合）は、それぞれが第1サブセット（部分集合）マイナスシーケンス（列）の部分的ユニオン（和集合）であるサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明 |
| 505: レギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上のカーブに沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）のスーパーマニフォールド（多様体）の中へのインクルージョン（封入）の下でのプッシュフォワードイメージ（像）は\(C^\infty\)である |
| レギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上のカーブに沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）のスーパーマニフォールド（多様体）の中へのインクルージョン（封入）の下でのプッシュフォワードイメージ（像）は\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 506: 構造化された記述たちのルールたち |
| 構造化された記述たちのルールたちの記述 |
| 507: シーケンス（列） |
| シーケンス（列）の定義 |
| 508: シーケンス（列）のパーミュテーション（並べ替え） |
| シーケンス（列）のパーミュテーション（並べ替え）の定義 |
| 509: 固定されたドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）に対するシーケンス（列）たちのセット（集合）に対して、パーミュテーション（並べ替え）はバイジェクティブ（全単射）にセット（集合）をセット（集合）の上へマップする |
| 固定されたドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）に対するシーケンス（列）たちのセット（集合）に対して、パーミュテーション（並べ替え）はバイジェクティブ（全単射）にセット（集合）をセット（集合）の上へマップすることの記述/証明 |
| 510: \(\mathbb{R}^n\)ベクトルのユークリディアンノルムの2乗は、ポジティブデフィニット（正定値）リアル（実）クオドラティック（2次）フォーム（形式）を最大アイゲンバリュー（固有値）で割ったものに等しいかより大きい |
| \(\mathbb{R}^n\)ベクトルのユークリディアンノルムの2乗は、ポジティブデフィニット（正定値）リアル（実）クオドラティック（2次）フォーム（形式）を最大アイゲンバリュー（固有値）で割ったものに等しいかより大きいことの記述/証明 |
| 511: \(\mathbb{R}^n\)ベクトルのユークリディアンノルムの2乗は、ポジティブデフィニット（正定値）リアル（実）クオドラティック（2次）フォーム（形式）を最小アイゲンバリュー（固有値）で割ったものに等しいかより小さい |
| \(\mathbb{R}^n\)ベクトルのユークリディアンノルムの2乗は、ポジティブデフィニット（正定値）リアル（実）クオドラティック（2次）フォーム（形式）を最小アイゲンバリュー（固有値）で割ったものに等しいかより小さいことの記述/証明 |
| 512: リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム |
| リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義 |
| 513: メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジー |
| メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義 |
| 514: ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンインナープロダクト（内積） |
| ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンインナープロダクト（内積）の定義 |
| 515: ユークリディアンメトリック（計量） |
| ユークリディアンセット（集合）上のユークリディアンメトリック（計量）の定義 |
| 516: トポロジカルサブスペース（部分空間） |
| トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義 |
| 517: リニア（線形）マップ（写像） |
| リニアマップ（線形写像）の定義 |
| 518: シンプリー（単純に）コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間） |
| シンプリー（単純に）コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 519: コンティニュアス（連続）マップ（写像）のカバリングマップ（写像）によるリフト |
| コンティニュアス（連続）マップ（写像）のカバリングマップ（写像）によるリフトの定義 |
| 520: シンプリー（単純に）コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の中へのカバリングマップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である |
| シンプリー（単純に）コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の中へのカバリングマップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明 |
| 521: ドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックなマップ（写像）たち |
| ドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックなマップ（写像）たちの定義 |
| 522: ホモトピックマップ（写像）たち |
| ホモトピックマップ（写像）たちの定義 |
| 523: コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間） |
| コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 524: プロダクトマップ（写像） |
| プロダクトマップ（写像）の定義 |
| 525: プロダクトトポロジカルスペース（空間） |
| プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 526: レンジ（値域）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体である |
| レンジ（値域）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体であることの記述/証明 |
| 527: インフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）がサブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものは、必ずしもサブセット（部分集合）に属さない |
| インフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）がサブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものは、必ずしもサブセット（部分集合）に属さないことの記述/証明 |
| 528: インフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびクローズドサブセット（閉部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）がサブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものはサブセット（部分集合）に属する |
| インフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびクローズドサブセット（閉部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）がサブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものはサブセット（部分集合）に属することの記述/証明 |
| 529: コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である |
| コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明 |
| 530: ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）ODEに対するインターバル（区間）上のユニークなグローバル解の存在に対する十分条件たち |
| ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）ODEに対するインターバル（区間）上のユニークなグローバル解の存在に対する十分条件たちの記述/証明 |
| 531: %リング（環）名%モジュール（加群） |
| %リング（環）名%モジュール（加群）の定義 |
| 532: モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合） |
| モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）の定義 |
| 533: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのファイナイト（有限）セット（集合）に対して、もしも、ポイントに対して、ポイントの他のポイントたちからの差たちのセット（集合）がリニア（線形）にインディペンデント（独立）である場合、それは各ポイントに対してそうである |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのファイナイト（有限）セット（集合）に対して、もしも、ポイントに対して、ポイントの他のポイントたちからの差たちのセット（集合）がリニア（線形）にインディペンデント（独立）である場合、それは各ポイントに対してそうであることの記述/証明 |
| 534: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合） |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）の定義 |
| 535: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）のアファインコンビネーション |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）のアファインコンビネーションの定義 |
| 536: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）のコンベックスコンビネーション |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）のコンベックスコンビネーションの定義 |
| 537: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合） |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）の定義 |
| 538: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合） |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）の定義 |
| 539: スクウェア（正方）マトリックス（行列）でその最終行は全て1でその他の各行は行番号 + 1列 1を除いて全て0であるもののデターミナント（行列式）は-1の次元 + 1乗である |
| スクウェア（正方）マトリックス（行列）でその最終行は全て1でその他の各行は行番号 + 1列 1を除いて全て0であるもののデターミナント（行列式）は-1の次元 + 1乗であることの記述/証明 |
| 540: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）はベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）である |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）はベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）であることの記述/証明 |
| 541: アファインシンプレックス（単体） |
| アファインシンプレックス（単体）の定義 |
| 542: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は必ずしもベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではない |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は必ずしもベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではないことの記述/証明 |
| 543: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）はコンベックスである |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）はコンベックスであることの記述/証明 |
| 544: スタンダードシンプレックス（単体） |
| スタンダードシンプレックス（単体）の定義 |
| 545: オリエンテイテッド（方向付けされた）アファインシンプレックス（単体） |
| オリエンテイテッド（方向付けされた）アファインシンプレックス（単体）の定義 |
| 546: オリエンテイテッド（方向付けされた）アファインシンプレックス（単体）のフェイス |
| オリエンテイテッド（方向付けされた）アファインシンプレックス（単体）のフェイスの定義 |
| 547: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのアファインマップ（写像） |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義 |
| 548: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）からのアファインマップ（写像） |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）からのアファインマップ（写像）の定義 |
| 549: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からのアファインマップ（写像）はリニア（線形）である |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からのアファインマップ（写像）はリニア（線形）であることの記述/証明 |
| 550: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のアファインサブセット（部分集合） |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のアファインサブセット（部分集合）の定義 |
| 551: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のコンベックスサブセット（部分集合） |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のコンベックスサブセット（部分集合）の定義 |
| 552: ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のアファインサブセット（部分集合）はベースポイントたちのファイナイト（有限）アファインインディペンデント（独立）セット（集合）によってスパンされる（張られる） |
| ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のアファインサブセット（部分集合）はベースポイントたちのファイナイト（有限）アファインインディペンデント（独立）セット（集合）によってスパンされる（張られる）ことの記述/証明 |
| 553: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、それはベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる） |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、それはベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）ことの記述/証明 |
| 554: アファインシンプレックス（単体）のフェイス |
| アファインシンプレックス（単体）のフェイスの定義 |
| 555: シンプリシャルコンプレックス |
| シンプリシャルコンプレックスの定義 |
| 556: アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部） |
| アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）の定義 |
| 557: アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスバウンダリー（境界） |
| アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスバウンダリー（境界）の定義 |
| 558: トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界） |
| トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）の定義 |
| 559: シンプリシャルコンプレックス内のマキシマル（極大）シンプレックス（単体） |
| シンプリシャルコンプレックス内のマキシマル（極大）シンプレックス（単体）の定義 |
| 560: ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジー |
| ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義 |
| 561: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）\(C^\infty\)アトラス |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）\(C^\infty\)アトラスの定義 |
| 562: アファインマップ（写像）たちのコンポジション（合成）はアファインマップ（写像）である |
| アファインマップ（写像）たちのコンポジション（合成）はアファインマップ（写像）であることの記述/証明 |
| 563: アファインシンプレックス（単体）のフェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列） |
| アファインシンプレックス（単体）のフェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）の定義 |
| 564: モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、あるリニア（線形）コンビネーションたちによる、モジュール（加群）のインデュースト（誘導された）サブセット（部分集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である |
| モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、あるリニア（線形）コンビネーションたちによる、モジュール（加群）のインデュースト（誘導された）サブセット（部分集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることの記述/証明 |
| 565: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）のサブセット（部分集合）はアファインインディペンデント（独立）である |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）のサブセット（部分集合）はアファインインディペンデント（独立）であることの記述/証明 |
| 566: アファインシンプレックス（単体）のバリセンター（重心） |
| アファインシンプレックス（単体）のバリセンター（重心）の定義 |
| 567: アファインシンプレックス（単体）、フェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）に対して、フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）はアファインインディペンデント（独立）である |
| アファインシンプレックス（単体）、フェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）に対して、フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）はアファインインディペンデント（独立）であることの記述/証明 |
| 568: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスに対して、コンプレックス内の各シンプレックス（単体）はマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たちセット（集合）のサブセット（部分集合）の要素たちのフェイスたちである |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスに対して、コンプレックス内の各シンプレックス（単体）はマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たちセット（集合）のサブセット（部分集合）の要素たちのフェイスたちであることの記述/証明 |
| 569: アファインシンプレックス（単体）、フェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）、フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）に対して、バリセンター（重心）たちのセット（集合）のサブセット（部分集合）のコンベックスコンビネーションはアファインシンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）たちのセット（集合）に関してコンベックスコンビネーションである |
| アファインシンプレックス（単体）、フェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）、フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）に対して、バリセンター（重心）たちのセット（集合）のサブセット（部分集合）のコンベックスコンビネーションは、アファインシンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）たちのセット（集合）に関するコンベックスコンビネーションであることの記述/証明 |
| 570: シンプリシャルコンプレックスに対して、シンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）で別のシンプレックス（単体）上にあるものは、後者シンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）である |
| シンプリシャルコンプレックスに対して、シンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）で別のシンプレックス（単体）上にあるものは、後者シンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）であることの記述/証明 |
| 571: シンプリシャルコンプレックスに対して、マキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）は他のどのシンプレックス（単体）とも交わらない |
| シンプリシャルコンプレックスに対して、マキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）は他のどのシンプレックス（単体）とも交わらないことの記述/証明 |
| 572: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、ポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちが全てポジティブ（正）であるものは、シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）上にある、しかし、ポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちの内の1つが0であるものは、必ずしもシンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）バウンダリー（境界）上にない |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、ポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちが全てポジティブ（正）であるものは、シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）上にある、しかし、ポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちの内の1つが0であるものは、必ずしもシンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）バウンダリー（境界）上にないことの記述/証明 |
| 573: アファインシンプレックス（単体）マップ（写像）のドメイン（定義域）はユークリディアントポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトである |
| アファインシンプレックス（単体）マップ（写像）のドメイン（定義域）はユークリディアントポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであることの記述/証明 |
| 574: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の中へのアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）である |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の中へのアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 575: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のアファインシンプレックス（単体）はカノニカル（自然な）トポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトである |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のアファインシンプレックス（単体）はカノニカル（自然な）トポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであることの記述/証明 |
| 576: アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）は、カノニカル（自然な）トポロジーを持つアファインシンプレックス（単体）上でオープン（開）である |
| アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）は、カノニカル（自然な）トポロジーを持つアファインシンプレックス（単体）上でオープン（開）であることの記述/証明 |
| 577: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスの要素はコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトである |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスの要素はコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであることの記述/証明 |
| 578: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、マキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）はコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でオープン（開）である |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、マキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）はコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でオープン（開）であることの記述/証明 |
| 579: アファインシンプレックス（単体）のバーテックス（頂点） |
| アファインシンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）の定義 |
| 580: シンプリシャルコンプレックス内のバーテックス（頂点） |
| シンプリシャルコンプレックス内のバーテックス（頂点）の定義 |
| 581: シンプリシャルコンプレックス内のバーテックス（頂点）のスター |
| シンプリシャルコンプレックス内のバーテックス（頂点）のスターの定義 |
| 582: サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）とサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）である |
| サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）とサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 583: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、その、コンプレックスの各要素とのインターセクション（共通集合）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、その、コンプレックスの各要素とのインターセクション（共通集合）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限ってという記述/証明 |
| 584: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）のオープンサブセット（開部分集合）でスターと交わるものはスターに含まれたマキシマル（極大）シンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）と交わる |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）のオープンサブセット（開部分集合）でスターと交わるものはスターに含まれたマキシマル（極大）シンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）と交わることの記述/証明 |
| 585: トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）は、ポイントたちのセット（集合）で、それらの内の各々の各ネイバーフッド（近傍）はサブセット（部分集合）およびサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）の両方に交わるものである |
| トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）は、ポイントたちのセット（集合）で、それらの内の各々の各ネイバーフッド（近傍）はサブセット（部分集合）およびサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）の両方に交わるものであることの記述/証明 |
| 586: トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、スーパスペース（空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブスペース（部分空間）マイナスサブセット（部分集合）でサブスペース（部分空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたものはスーパースペース（空間）マイナスサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）である |
| トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、スーパスペース（空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブスペース（部分空間）マイナスサブセット（部分集合）でサブスペース（部分空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたものはスーパースペース（空間）マイナスサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）であることの記述/証明 |
| 587: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のポイントにおけるリミット |
| ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のポイントにおけるリミットの定義 |
| 588: ポイントにおいてコンティニュアス（連続）なノルム付きベクトルたちスペースたちマップ |
| ポイントにおいてコンティニュアス（連続）なノルム付きベクトルたちスペースたちマップの定義 |
| 589: グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群） |
| グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の定義 |
| 590: グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして |
| グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、の定義 |
| 591: ストラクチャー（構造）たちのダイレクトプロダクト |
| ストラクチャー（構造）たちのダイレクトプロダクトの定義 |
| 592: モジュール（加群）たちのダイレクトサム |
| モジュール（加群）たちのダイレクトサムの定義 |
| 593: サブグループ（部分群）たちのファイナイト（有限）プロダクトはアソシアティブ（結合的）である |
| サブグループ（部分群）たちのファイナイト（有限）プロダクトはアソシアティブ（結合的）であることの記述/証明 |
| 594: サブグループ（部分群）の、要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群） |
| サブグループ（部分群）の、要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）の定義 |
| 595: グループ（群）、そのサブグループ（部分群）に対して、サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合 |
| グループ（群）、そのサブグループ（部分群）に対して、サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合、ことの記述/証明 |
| 596: グループ（群）のサブグループ（部分群）の、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったものはグループ（群）のサブグループ（部分群）である |
| グループ（群）のサブグループ（部分群）の、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったものはグループ（群）のサブグループ（部分群）であることの記述/証明 |
| 597: ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのファイナイト（有限）プロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループ（正規部分群）である |
| ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのファイナイト（有限）プロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明 |
| 598: グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）は、グループ（群）のサブグループ（部分群）の、ノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったもののノーマルサブグループ（正規部分群）である |
| グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）は、グループ（群）のサブグループ（部分群）の、ノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったもののノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明 |
| 599: グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は、任意に順序替え・結合されたノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしてのグループ（群）である |
| グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は、任意に順序替え・結合されたノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしてのグループ（群）であることの記述/証明 |
| 600: グループ（群）、ファイナイト（有限）数ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）である |
| グループ（群）、ファイナイト（有限）数ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）であることの記述/証明 |
| 601: バイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち – ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| バイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 602: グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）である |
| グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）であることの記述/証明 |
| 603: インジェクティブ（単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はレンジ（値域）の上への'グループ（群）たち – ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| インジェクティブ（単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はレンジ（値域）の上への'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 604: グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、はサブグループ（部分群）たちのダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち – ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である |
| グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、はサブグループ（部分群）たちのダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという記述/証明 |
| 605: グループ（群）たちのファイナイト（有限）ダイレクトプロダクトは対応するアイソモーフィック（同形写像）グループ（群）たちのダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち – ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である |
| グループ（群）たちのファイナイト（有限）ダイレクトプロダクトは対応するアイソモーフィック（同形写像）グループ（群）たちのダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明 |
| 606: ベクトルの、共通の構成要素を持つ2つのディコンポジション（分解）たちに対して、共通構成要素の係数たちは同一である、もしも、共通構成要素が、他の構成要素たちによってスパンされる（張られる）ベクトルたちスペース（空間）上にない場合 |
| ベクトルの、共通の構成要素を持つ2つのディコンポジション（分解）たちに対して、共通構成要素の係数たちは同一である、もしも、共通構成要素が、他の構成要素たちによってスパンされる（張られる）ベクトルたちスペース（空間）上にない場合、ことの記述/証明 |
| 607: カテゴリー（圏）上のコングルーエンス |
| カテゴリー（圏）上のコングルーエンスの定義 |
| 608: クウォシェント（商）カテゴリー（圏） |
| クウォシェント（商）カテゴリー（圏）の定義 |
| 609: Topカテゴリー（圏） |
| Topカテゴリー（圏）の定義 |
| 610: \(Top^2\)カテゴリー（圏） |
| \(Top^2\)カテゴリー（圏）の定義 |
| 611: \(Top^*\)カテゴリー（圏） |
| \(Top^*\)カテゴリー（圏）の定義 |
| 612: シンプリシャルマップ（写像） |
| シンプリシャルマップ（写像）の定義 |
| 613: 'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち – シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏） |
| 'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）の定義 |
| 614: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）の中へのアファインマップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）の中へのアファインマップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 615: 'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち – シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）からTopへのファンクター（関手） |
| 'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）からTopへのファンクター（関手）の定義 |
| 616: リトラクション |
| リトラクションの定義 |
| 617: トポロジカルスペース（空間）のリトラクト |
| トポロジカルスペース（空間）のリトラクトの定義 |
| 618: デフォーメイションリトラクション |
| デフォーメイションリトラクションの定義 |
| 619: トポロジカルスペース（空間）のデフォーメイションリトラクト |
| トポロジカルスペース（空間）のデフォーメイションリトラクトの定義 |
| 620: シンプリシャルコンプレックスに対して、2つのシンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのセット（集合）たちのインターセクション（共通集合）によって決定されるシンプレックスである |
| シンプリシャルコンプレックスに対して、2つのシンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのセット（集合）たちのインターセクション（共通集合）によって決定されるシンプレックスであることの記述/証明 |
| 621: アファインシンプレックス（単体）のフェイスたちのバリセンター（重心）たちのアセンディング（昇順）シーケンス（列） |
| アファインシンプレックス（単体）のフェイスたちのバリセンター（重心）たちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）の定義 |
| 622: シンプリシャルコンプレックスに対して、コンプレックスの要素たちのフェイスたちのバリセンター（重心）たちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）たちのサブシーケンスたちによって決定された2つのアファインシンプレックスたちのインターセクション（共通集合）は、サブシーケンスたちのインターセクション（共通集合）によって決定されたアファインシンプレックスである |
| シンプリシャルコンプレックスに対して、コンプレックスの要素たちのフェイスたちのバリセンター（重心）たちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）たちのサブシーケンスたちによって決定された2つのアファインシンプレックスたちのインターセクション（共通集合）は、サブシーケンスたちのインターセクション（共通集合）によって決定されたアファインシンプレックスであることの記述/証明 |
| 623: シンプリシャルコンプレックスのバリセントリック（重心による）サブデビジョン（分割） |
| シンプリシャルコンプレックスのバリセントリック（重心による）サブデビジョン（分割）の定義 |
| 624: マップ（写像）に対して、もしも、インバース（逆）方向マップ（写像）で元のマップ（写像）の後のそれがアイデンティティ（恒等写像）であるものがある場合、元のマップ（写像）はインジェクティブ（単射）である |
| マップ（写像）に対して、もしも、インバース（逆）方向マップ（写像）で元のマップ（写像）の後のそれがアイデンティティ（恒等写像）であるものがある場合、元のマップ（写像）はインジェクティブ（単射）であることの記述/証明 |
| 625: ベクトルたちスペース（空間）内のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なシーケンス（列）に対して、派生したシーケンス（列）、そこでは、各要素は等しいかより小さいインデックスの要素たちのリニア（線形）コンビネーションであり、非ゼロの等しいインデックス係数を持つ、は、リニア（線形）にインディペンデント（独立）である |
| ベクトルたちスペース（空間）内のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なシーケンス（列）に対して、派生したシーケンス（列）、そこでは、各要素は等しいかより小さいインデックスの要素たちのリニア（線形）コンビネーションであり、非ゼロの等しいインデックス係数を持つ、は、リニア（線形）にインディペンデント（独立）であることの記述/証明 |
| 626: モジュール（加群）のベーシス（基底） |
| モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義 |
| 627: モジュール（加群）のジェネレイター（作成元たち） |
| モジュール（加群）のジェネレイター（作成元たち）の定義 |
| 628: ファイナイトリー（有限に）ジェネレイテッド（生成された）モジュール（加群） |
| ファイナイトリー（有限に）ジェネレイテッド（生成された）モジュール（加群）の定義 |
| 629: リング（環）のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル） |
| リング（環）のプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）の定義 |
| 630: インテグラルドメイン（整域） |
| インテグラルドメイン（整域）の定義 |
| 631: プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域） |
| プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）の定義 |
| 632: シンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）上のポイントは、ユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にある |
| シンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）上のポイントは、ユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にあることの記述/証明 |
| 633: ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、シンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのスターたちはアンダーライイング（下にある）スペース（空間）のオープンカバー（開被覆）である |
| ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、シンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのスターたちはアンダーライイング（下にある）スペース（空間）のオープンカバー（開被覆）であることの記述/証明 |
| 634: ファンクター（関手）はアイソモーフィズム（同形写像）をアイソモーフィズム（同形写像）へマップする |
| ファンクター（関手）はアイソモーフィズム（同形写像）をアイソモーフィズム（同形写像）へマップすることの記述/証明 |
| 635: リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）下のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブアルジェブラ（多元環）である |
| リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）下のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブアルジェブラ（多元環）であることの記述/証明 |
| 636: セット（集合）上のイクイバレンスリレーション（同値関係） |
| セット（集合）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義 |
| 637: クオシエント（商）セット（集合） |
| クオシエント（商）セット（集合）の定義 |
| 638: クオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合） |
| クオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）の定義 |
| 639: リング（環）のユニットたち |
| リング（環）のユニットたちの定義 |
| 640: コミュータティブ（可換）リング（環）の要素のアソーシエイトたち |
| コミュータティブ（可換）リング（環）の要素のアソーシエイトたちの定義 |
| 641: コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たち |
| コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの定義 |
| 642: コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たち |
| コミュータティブ（可換）リング（環）のサブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちの定義 |
| 643: リング（環）に対して、0のマルチプル（倍）は0である |
| リング（環）に対して、0のマルチプル（倍）は0であることの記述/証明 |
| 644: インテグラルドメイン（整域）上のキャンセレーションルール |
| インテグラルドメイン（整域）上のキャンセレーションルールの定義 |
| 645: インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちである |
| インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちであることの記述/証明 |
| 646: インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちが存在する場合、それらは、ある最小共通マルチプル（倍）のアソシエイトたちである |
| インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちが存在する場合、それらは、ある最小共通マルチプル（倍）のアソシエイトたちであることの記述/証明 |
| 647: コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素 |
| コミュータティブ（可換）リング（環）のイリデューシブル（約分不能）要素の定義 |
| 648: ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域） |
| ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）の定義 |
| 649: ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、もしも、要素たちのマルチプル（倍）がイリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）であれば、少なくとも1つの構成要素がイリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）である |
| ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、もしも、要素たちのマルチプル（倍）がイリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）であれば、少なくとも1つの構成要素がイリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）であることの記述/証明 |
| 650: ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちを得る、サブセット（部分集合）の各要素をアソーシエイトたちクオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を用いてファクタライズ（因子分解）することによる方法 |
| ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちを得る、サブセット（部分集合）の各要素をアソーシエイトたちクオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を用いてファクタライズ（因子分解）することによる方法の記述/証明 |
| 651: ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちを得る、サブセット（部分集合）の各要素をアソーシエイトたちクオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を用いてファクタライズ（因子分解）することによる方法 |
| ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちを得る、サブセット（部分集合）の各要素をアソーシエイトたちクオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を用いてファクタライズ（因子分解）することによる方法の記述/証明 |
| 652: ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の各ペアサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちがユニットアソシエイトたちである場合、そしてその場合に限って、サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちはサブセット（部分集合）の要素たちのマルチプル（積）のアソシエイトたちである |
| ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の各ペアサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちがユニットアソシエイトたちである場合、そしてその場合に限って、サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちはサブセット（部分集合）の要素たちのマルチプル（積）のアソシエイトたちであることの記述/証明 |
| 653: ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の各ペアサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちがユニットアソシエイトたちである場合、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちはユニットアソシエイトたちである、しかし、逆は真でない |
| ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の各ペアサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちがユニットアソシエイトたちである場合、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちはユニットアソシエイトたちである、しかし、逆は真でないことの記述/証明 |
| 654: 任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのサブセット（部分集合）のプロダクトは、サブセット（部分集合）のダイレクトサムとしてのグループ（群）である |
| 任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのサブセット（部分集合）のプロダクトは、サブセット（部分集合）のダイレクトサムとしてのグループ（群）であることの記述/証明 |
| 655: 最大共通ディバイザー（因子）たちドメイン |
| 最大共通ディバイザー（因子）たちドメインの定義 |
| 656: リング（環）、ファイナイト（有限）数アイディアル（イデアル）たちに対して、アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）はアイディアル（イデアル）である |
| リング（環）、ファイナイト（有限）数アイディアル（イデアル）たちに対して、アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）はアイディアル（イデアル）であることの記述/証明 |
| 657: プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、2つの要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものである |
| プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、2つの要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであることの記述/証明 |
| 658: コミュータティブ（可換）リング（環）に対して、もしも、各要素たちペアが最大共通ディバイザー（因子）を持つ場合、各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）は最大共通ディバイザー（因子）を持つ、それは、逐次的に得ることができる |
| コミュータティブ（可換）リング（環）に対して、もしも、各要素たちペアが最大共通ディバイザー（因子）を持つ場合、各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）は最大共通ディバイザー（因子）を持つ、それは、逐次的に得ることができることの記述/証明 |
| 659: インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、要素によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）が別の要素によるものでもあった場合、要素たちはお互いにアソシエイトたちである、そして、プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）は任意のアソシエイトによるものである |
| インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、要素によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）が別の要素によるものでもあった場合、要素たちはお互いにアソシエイトたちである、そして、プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）は任意のアソシエイトによるものであることの記述/証明 |
| 660: プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）の要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの内の任意のものによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）である |
| プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）の要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの内の任意のものによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であることの記述/証明 |
| 661: 6要素たちグループ（群）は、アイデンティティ（単位要素）のみを共有する2つの3要素たちサブグループ（部分群）たちを持てない |
| 6要素たちグループ（群）は、アイデンティティ（単位要素）のみを共有する2つの3要素たちサブグループ（部分群）たちを持てないことの記述/証明 |
| 662: \(C^\infty\)イマージョン |
| \(C^\infty\)イマージョンの定義 |
| 663: \(C^\infty\)サブマージョン |
| \(C^\infty\)サブマージョンの定義 |
| 664: コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）のセクション（断面） |
| コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）のセクション（断面）の定義 |
| 665: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）の定義 |
| 666: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）の定義 |
| 667: プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上方のレクタングルマトリックス（長方行列）に対して、いくつかのタイプたちの行たちまたは列たちオペレーションたちで、それらの各々は、インバーティブル（可逆）マトリックス（行列）による左または右からのマルチプリケーション（積）として表わされる、ものたちがある |
| プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上方のレクタングルマトリックス（長方行列）に対して、いくつかのタイプたちの行たちまたは列たちオペレーションたちで、それらの各々は、インバーティブル（可逆）マトリックス（行列）による左または右からのマルチプリケーション（積）として表わされる、ものたちがあることの記述/証明 |
| 668: プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、ドメイン上方のレクタングルマトリックス（長方行列）、ドメイン上方のスクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されている |
| プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、ドメイン上方のレクタングルマトリックス（長方行列）、ドメイン上方のスクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されていることの記述/証明 |
| 669: プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）に対して、ドメイン上方のレクタングルマトリックス（長方行列）、ドメイン上方のインバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）である |
| プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）に対して、ドメイン上方のレクタングルマトリックス（長方行列）、ドメイン上方のインバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）であることの記述/証明 |
| 670: プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上方のレクタングルマトリックス（長方行列）に対するスミスノーマルフォーム（正規形）定理 |
| プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上方のレクタングルマトリックス（長方行列）に対するスミスノーマルフォーム（正規形）定理の記述/証明 |
| 671: セット（集合）のパワーセット（集合） |
| セット（集合）のパワーセット（集合）の定義 |
| 672: ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間） |
| ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 673: トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限な）セット（集合） |
| トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）の定義 |
| 674: ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元） |
| ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義 |
| 675: ベクトルたちサブスペース（部分空間）のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間） |
| ベクトルたちサブスペース（部分空間）のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）の定義 |
| 676: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に対して、要素を、要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）（要素には非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ）によって置き換えたものは、ベーシス（基底）を形成する |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に対して、要素を、要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）（要素には非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ）によって置き換えたものは、ベーシス（基底）を形成することの記述/証明 |
| 677: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、リニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを追加することによって |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、リニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを追加することによって、ことの記述/証明 |
| 678: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はない |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はないことの記述/証明 |
| 679: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はない |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はないことの記述/証明 |
| 680: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、プロパー（真）サブスペース（部分空間）はより低いディメンション（次元）を持つ |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、プロパー（真）サブスペース（部分空間）はより低いディメンション（次元）を持つことの記述/証明 |
| 681: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はベーシス（基底）である |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はベーシス（基底）であることの記述/証明 |
| 682: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベーシス（基底）に対して、要素たちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）セット（集合）はベーシス（基底）のいくつかの要素たちで拡張してベーシス（基底）にできる |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベーシス（基底）に対して、要素たちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）セット（集合）はベーシス（基底）のいくつかの要素たちで拡張してベーシス（基底）にできることの記述/証明 |
| 683: コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環） |
| コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）の定義 |
| 684: インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）はインテグラルドメイン（整域）である |
| インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）はインテグラルドメイン（整域）であることの記述/証明 |
| 685: フィールド（体）上方にて、ポリノミアル（多項式）と非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）は、ユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つ |
| フィールド（体）上方にて、ポリノミアル（多項式）と非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）は、ユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つことの記述/証明 |
| 686: フィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）である |
| フィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）であることの記述/証明 |
| 687: フィールド（体）上方にて、n次ポリノミアル（多項式）は多くてもn根しか持たない |
| フィールド（体）上方にて、n次ポリノミアル（多項式）は多くてもn根しか持たないことの記述/証明 |
| 688: インテジャー（整数）たちリング（環） |
| インテジャー（整数）たちリング（環）の定義 |
| 689: インテジャー（整数）たちリング（環）はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）である |
| インテジャー（整数）たちリング（環）はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）であることの記述/証明 |
| 690: インジェクション（単射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）である |
| インジェクション（単射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）であることの記述/証明 |
| 691: サージェクション（全射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）は必ずしもサージェクション（全射）ではない |
| サージェクション（全射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）は必ずしもサージェクション（全射）ではないことの記述/証明 |
| 692: サージェクション（全射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合 |
| サージェクション（全射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、ことの記述/証明 |
| 693: \(d_1\)ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）に対して、\(d_2\)ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への\(C^\infty\)マップ（写像）を、1ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中へのゼロにならない\(C^\infty\)マップ（写像）で割ったものは、\(C^\infty\)である |
| \(d_1\)ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）に対して、\(d_2\)ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への\(C^\infty\)マップ（写像）を、1ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中へのゼロにならない\(C^\infty\)マップ（写像）で割ったものは、\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 694: グループ（群）たち間マップ（写像）で2要素たちのプロダクト（積）を要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）である |
| グループ（群）たち間マップ（写像）で2要素たちのプロダクト（積）を要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）であることの記述/証明 |
| 695: グループ（群）、リング（環）、フィールド（体）要素たちの累乗たちに関するメモ |
| グループ（群）、リング（環）、フィールド（体）要素たちの累乗たちに関するメモの記述/証明 |
| 696: グループ（群）に対する要素によるコンジュゲーション |
| グループ（群）に対する要素によるコンジュゲーションの定義 |
| 697: グループ（群）に対して、要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| グループ（群）に対して、要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 698: トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）たちによるエグゾースチョン |
| トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）たちによるエグゾースチョンの定義 |
| 699: トポロジカルスペース（空間）上のエグゾースチョンファンクション（関数） |
| トポロジカルスペース（空間）上のエグゾースチョンファンクション（関数）の定義 |
| 700: トポロジカルスペース（空間）に対して、エグゾースチョンファンクション（関数）下のナチュラルナンバー（自然数）たちクローズド（閉）上限インターバル（区間）たちのプリイメージ（前像）たちのシーケンス（列）は、スペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）たちによるエグゾースチョンである |
| トポロジカルスペース（空間）に対して、エグゾースチョンファンクション（関数）下のナチュラルナンバー（自然数）たちクローズド（閉）上限インターバル（区間）たちのプリイメージ（前像）たちのシーケンス（列）は、スペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）たちによるエグゾースチョンであることの記述/証明 |
| 701: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のチャート |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のチャートの定義 |
| 702: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r\)-オープンボール（開球）チャート |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイント周りの\(r\)-オープンボール（開球）チャートの定義 |
| 703: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャート |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイント周りの\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートの定義 |
| 704: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、インテリアポイント（内点）は\(r\)-オープンボール（開球）チャートを持ち、バウンダリーポイント（境界点）は\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートを持つ |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、インテリアポイント（内点）は\(r\)-オープンボール（開球）チャートを持ち、バウンダリーポイント（境界点）は\(r\)-オープンハーフボール（開半球）チャートを持つことの記述/証明 |
| 705: ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、オープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックである |
| ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、オープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであることの記述/証明 |
| 706: バウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、オープンハーフボール（開半球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックである |
| ハーフ（半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、オープンハーフボール（開半球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックであることの記述/証明 |
| 707: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、インテリア（内部）ポイントはレンジ（値域）がユークリディアンスペース（空間）全体であるチャートを持ち、バウンダリー（境界）ポイントはレンジ（値域）がハーフ（半）ユークリディアンスペース（空間）全体であるチャートを持つ |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、インテリア（内部）ポイントはレンジ（値域）がユークリディアンスペース（空間）全体であるチャートを持ち、バウンダリー（境界）ポイントはレンジ（値域）がハーフ（半）ユークリディアンスペース（空間）全体であるチャートを持つことの記述/証明 |
| 708: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）から\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）中へのマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）に関する\(C^k\)エクステンション（拡張）がある |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）から\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）中へのマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）に関する\(C^k\)エクステンション（拡張）があることの記述/証明 |
| 709: バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）からバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）はローカルディフェオモーフィズムである、もしも、各ドメインポイントおよびそのイメージ（像）に対して、チャートたちでそれらによってコーディネート（座標）たちファンクション（関数）がディフェオモーフィズムであるものがある場合、そしてその場合に限って |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）から\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）はローカルディフェオモーフィズムである、もしも、各ドメインポイントおよびそのイメージ（像）に対して、チャートたちでそれらによってコーディネート（座標）たちファンクション（関数）がディフェオモーフィズムであるものがある場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 710: nシンメトリックグループ（対称群） |
| n-シンメトリックグループ（対称群）の定義 |
| 711: nシンメトリックグループ（対称群）上のmサイクル（巡回置換） |
| n-シンメトリックグループ（対称群）上のm-サイクル（巡回置換）の定義 |
| 712: 要素によるシクリックグループ（循環群） |
| 要素によるシクリックグループ（循環群）の定義 |
| 713: グループ（群）上の要素のセントラライザー（中心化群） |
| グループ（群）上の要素のセントラライザー（中心化群）の定義 |
| 714: nシンメトリックグループ（対称群）およびnサイクル（巡回置換）に対して、シンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）のセントラライザー（中心化群）はサイクル（巡回置換）によるシクリックグループ（循環群）である |
| n-シンメトリックグループ（対称群）およびn-サイクル（巡回置換）に対して、シンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）のセントラライザー（中心化群）はサイクル（巡回置換）によるシクリックグループ（循環群）であることの記述/証明 |
| 715: 命題1または命題2、もしも、もしも、非命題2である場合、命題1である、場合、そしてその場合に限って |
| 命題1または命題2、もしも、もしも、非命題2である場合、命題1である、場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 716: グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）、サブグループ（部分群）に対して、クウォシェント（商）グループ（群）のサブセット（部分集合）たちでサブグループ（部分群）のコセット（剰余類）たちを包含するものたちは同じであるかディスジョイント（互いに素）である |
| グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）、サブグループ（部分群）に対して、クウォシェント（商）グループ（群）のサブセット（部分集合）たちでサブグループ（部分群）のコセット（剰余類）たちを包含するものたちは同じであるかディスジョイント（互いに素）であることの記述/証明 |
| 717: グループ（群）に対して、固定された要素による左からまたは右からのマルチプリケーション（積）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）である |
| グループ（群）に対して、固定された要素による左からまたは右からのマルチプリケーション（積）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）であることの記述/証明 |
| 718: グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）、クウォシェント（商）グループ（群）に対して、レプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を要素によって掛けたものはレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）である |
| グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）、クウォシェント（商）グループ（群）に対して、レプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を要素によって掛けたものはレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）であることの記述/証明 |
| 719: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からのリニア（線形）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）で、レンジ（値域）へ、マップ（写像）のリストリクション（制限）によって'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがある |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からのリニア（線形）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）で、レンジ（値域）へ、マップ（写像）のリストリクション（制限）によって'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるものがあることの記述/証明 |
| 720: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、スペース（空間）をスパンする（張る）サブセット（部分集合）はリデュース（削減）してベーシス（基底）にできる |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、スペース（空間）をスパンする（張る）サブセット（部分集合）はリデュース（削減）してベーシス（基底）にできることの記述/証明 |
| 721: ベクトルたちスペース（空間）に対して、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たちのインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）でディメンション（次元）はサブスペース（部分空間）たちのミニマム（最小）ディメンション（次元）に等しいかそれより小さい |
| ベクトルたちスペース（空間）に対して、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たちのインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）でディメンション（次元）はサブスペース（部分空間）たちのミニマム（最小）ディメンション（次元）に等しいかそれより小さいことの記述/証明 |
| 722: ベクトルたちスペース（空間）および2つの同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちに対して、共通のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）がある |
| ベクトルたちスペース（空間）および2つの同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちに対して、共通のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）があることの記述/証明 |
| 723: グループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群） |
| グループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）の定義 |
| 724: グループ（群）はグループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である |
| グループ（群）はグループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明 |
| 725: ベクトルたちスペース（空間）、スペース（空間）のジェネレイター（作成元たち）、ジェネレイター（作成元たち）内に包含されたリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、ジェネレイター（作成元たち）は、リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してベーシス（基底」にできる |
| ベクトルたちスペース（空間）、スペース（空間）のジェネレイター（作成元たち）、ジェネレイター（作成元たち）内に包含されたリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、ジェネレイター（作成元たち）は、リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してベーシス（基底）にできることの記述/証明 |
| 726: ベクトルたちスペース（空間）、リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできる |
| ベクトルたちスペース（空間）、リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできることの記述/証明 |
| 727: ベクトルたちスペース（空間）に対して、ファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してベーシス（基底」にできる |
| ベクトルたちスペース（空間）に対して、ファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してベーシス（基底）にできることの記述/証明 |
| 728: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間のリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、コドメイン（余域）のディメンション（次元）はドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより小さい |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間のリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、コドメイン（余域）のディメンション（次元）はドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより小さいことの記述/証明 |
| 729: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からのリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、もしも、コドメイン（余域）のディメンション（次元）がドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより大きい場合、サージェクション（全射）はバイジェクション（全単射）である |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からのリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、もしも、コドメイン（余域）のディメンション（次元）がドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより大きい場合、サージェクション（全射）はバイジェクション（全単射）であることの記述/証明 |
| 730: セット（集合）のユニオン（和集合） |
| セット（集合）のユニオン（和集合）の定義 |
| 731: セット（集合）に対して、セット（集合）のパワーセット（集合）のユニオン（和集合）はセット（集合）である |
| セット（集合）に対して、セット（集合）のパワーセット（集合）のユニオン（和集合）はセット（集合）であることの記述/証明 |
| 732: ファイナイト（有限）セット（集合）のラテン方陣 |
| ファイナイト（有限）セット（集合）のラテン方陣の定義 |
| 733: ラテン方陣で、各行がパーミュテーション（並べ替え）と見なされたものはグループ（群）を形成する、もしも、2行たちのコンポジション（合成）が行である場合、そしてその場合に限って、そして、グループ（群）のマルチプリケーション（積）たちテーブルは、方陣から特定の方法によって生成される |
| ラテン方陣で、各行がパーミュテーション（並べ替え）と見なされたものはグループ（群）を形成する、もしも、2行たちのコンポジション（合成）が行である場合、そしてその場合に限って、そして、グループ（群）のマルチプリケーション（積）たちテーブルは、方陣から特定の方法によって生成されることの記述/証明 |
| 734: セット（集合）要素たちマイナスセット（集合） |
| セット（集合）要素たちマイナスセット（集合）の定義 |
| 735: セット（集合）およびセット（集合）に対して、[前者セット（集合）マイナス後者セット（集合）]のパワーセット（集合）は、[前者セット（集合）のパワーセット（集合）]要素たちマイナス後者セット（集合）である |
| セット（集合）およびセット（集合）に対して、[前者セット（集合）マイナス後者セット（集合）]のパワーセット（集合）は、[前者セット（集合）のパワーセット（集合）]要素たちマイナス後者セット（集合）であることの記述/証明 |
| 736: ベクトルの、ベクトルたちサブスペース（部分空間）の中への、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影） |
| ベクトルの、ベクトルたちサブスペース（部分空間）の中への、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）の定義 |
| 737: ベクトルたちスペース（空間）からの、サブスペース（部分空間）の中への、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）はリニア（線形）マップ（写像）であり、任意のサブスペース（部分空間）のイメージ（像）はサブスペース（部分空間）である |
| ベクトルたちスペース（空間）からの、サブスペース（部分空間）の中への、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）はリニア（線形）マップ（写像）であり、任意のサブスペース（部分空間）のイメージ（像）はサブスペース（部分空間）であることの記述/証明 |
| 738: ベクトルたちスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）に対して、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）でコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）にトリビアルにインターセクトする（交わる）ものは、サブスペース（部分空間）の中へ同一ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）としてプロジェクト（射影）される |
| ベクトルたちスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）に対して、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）でコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）にトリビアルにインターセクトする（交わる）ものは、サブスペース（部分空間）の中へ同一ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）としてプロジェクト（射影）されることの記述/証明 |
| 739: モーション |
| モーションの定義 |
| 740: オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像） |
| オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）の定義 |
| 741: オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）はモーションである |
| オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）はモーションであることの記述/証明 |
| 742: モーションはインジェクティブ（単射）である |
| モーションはインジェクティブ（単射）であることの記述/証明 |
| 743: 同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| 同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 744: 同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であり、インバース（逆）はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）である |
| 同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であり、インバース（逆）はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）であることの記述/証明 |
| 745: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、非ゼロオーソゴーナル（直交）要素たちのセット（集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、非ゼロオーソゴーナル（直交）要素たちのセット（集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることの記述/証明 |
| 746: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションで0を固定するものに対して、ドメイン（定義域）のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）へマップされる |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションで0を固定するものに対して、ドメイン（定義域）のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）へマップされることの記述/証明 |
| 747: 同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションで0を固定するものに対して、モーションはオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）である |
| 同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションで0を固定するものに対して、モーションはオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）であることの記述/証明 |
| 748: モーションたちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はモーションである |
| モーションたちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はモーションであることの記述/証明 |
| 749: バイジェクション（全単射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はバイジェクション（全単射）である、もしも、構成要素バイジェクション（全単射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くバイジェクション（全単射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合 |
| バイジェクション（全単射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はバイジェクション（全単射）である、もしも、構成要素バイジェクション（全単射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くバイジェクション（全単射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合、ことの記述/証明 |
| 750: 同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションに対して、モーションはバイジェクティブ（全単射）である |
| 同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションに対して、モーションはバイジェクティブ（全単射）であることの記述/証明 |
| 751: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 752: グループ（群）左アクション |
| グループ（群）左アクションの定義 |
| 753: グループ（群）アクションに対して、グループ（群）要素を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）である |
| グループ（群）アクションに対して、グループ（群）要素を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）であることの記述/証明 |
| 754: ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、より低いディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、スライシングマップ（写像）、プロジェクション（射影）、インクルージョン（封入）に対して、スライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）の後インクルージョン（封入）はスライシングマップ（写像）に等しく、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）のスライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）はポイントのプロジェクション（射影）のオープンネイバーフッド（開近傍）である |
| ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、より低いディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、スライシングマップ（写像）、プロジェクション（射影）、インクルージョン（封入）に対して、スライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）の後インクルージョン（封入）はスライシングマップ（写像）に等しく、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）のスライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）はポイントのプロジェクション（射影）のオープンネイバーフッド（開近傍）であることの記述/証明 |
| 755: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間非ゼロリニア（線形）マップ（写像）に対して、イメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものは引数ノルムが0へ近づく時0へコンバージ（収束）しない |
| ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間非ゼロリニア（線形）マップ（写像）に対して、イメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものは引数ノルムが0へ近づく時0へコンバージ（収束）しないことの記述/証明 |
| 756: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）でイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものが引数ノルムが0へ近づく時に0へコンバージ（収束）するものに対して、マップ（写像）プラス非ゼロリニア（線形）マップ（写像）のイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものはそうしない |
| ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）でイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものが引数ノルムが0へ近づく時に0へコンバージ（収束）するものに対して、マップ（写像）プラス非ゼロリニア（線形）マップ（写像）のイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものはそうしないことの記述/証明 |
| 757: ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたち上のイクイバレンスリレーション（同値関係） |
| ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたち上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義 |
| 758: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたちはイクイバレント（等値）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたちはイクイバレント（等値）であることの記述/証明 |
| 759: ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはハウスドルフである |
| ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはハウスドルフであることの定義/証明 |
| 760: セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはセカンドカウンタブル（可算）である |
| セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはセカンドカウンタブル（可算）であることの記述/証明 |
| 761: ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、より低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちのプロダクトへホメオモーフィック（位相同形写像）である |
| ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、より低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちのプロダクトへホメオモーフィック（位相同形写像）であることの記述/証明 |
| 762: クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちおよびクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンペース（空間）のプロダクトへホメオモーフィック（位相同形写像）である |
| クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちおよびクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンペース（空間）のプロダクトへホメオモーフィック（位相同形写像）であることの記述/証明 |
| 763: プロダクトマップ（写像）たちのコンポジション（合成）はコンポーネントマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちのプロダクトである |
| プロダクトマップ（写像）たちのコンポジション（合成）はコンポーネントマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちのプロダクトであることの記述/証明 |
| 764: ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き |
| ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義 |
| 765: ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちのセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）は\(C^\infty\)である |
| ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちのセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）は\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 766: プロダクトトポロジカルスペース（空間）からトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちのセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である |
| プロダクトトポロジカルスペース（空間）からトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちのセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 767: ユークリディアンセット（集合）上のスライシングマップ（写像） |
| ユークリディアンセット（集合）上のスライシングマップ（写像）の定義 |
| 768: ユークリディアンセット（集合）上のスライシングアンドハーフ化マップ（写像） |
| ユークリディアンセット（集合）上のスライシングアンドハーフ化マップ（写像）の定義 |
| 769: トポロジカルスペース（空間）上のカーブ |
| トポロジカルスペース（空間）上のカーブの定義 |
| 770: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の、\(C^\infty\)カーブのポイントにおけるベロシティ |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の、\(C^\infty\)カーブのポイントにおけるベロシティの定義 |
| 771: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェントベクトルは、\(C^\infty\)カーブのベロシティーである、特に、ハーフクローズド（半閉）インターバル（空間）からのカーブ、特に、コーディネート（座標）たちにおいてリニア（線形）なカーブ |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェントベクトルは、\(C^\infty\)カーブのベロシティーである、特に、ハーフクローズド（半閉）インターバル（空間）からのカーブ、特に、コーディネート（座標）たちにおいてリニア（線形）なカーブの記述/証明 |
| 772: マップ（写像）はバイジェクション（全単射）である、もしも、コドメイン（余域）ポイントのプリイメージ（前像）が1ポイントサブセット（部分集合）である場合、そして、その場合に限って |
| マップ（写像）はバイジェクション（全単射）である、もしも、コドメイン（余域）ポイントのプリイメージ（前像）が1ポイントサブセット（部分集合）である場合、そして、その場合に限って、ことの記述/証明 |
| 773: メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球） |
| メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）の定義 |
| 774: エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）に対するローカルスライスコンディションまたはエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するローカルスライスコンディションのフォーマライゼーション（定式化） |
| エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）に対するローカルスライスコンディションまたはエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するローカルスライスコンディションのフォーマライゼーション（定式化）の記述/証明 |
| 775: バイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| ベクトルたちスペース（空間）たち間バイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 776: バイジェクティブ（全単射）リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リーアルジェブラ（多元環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| バイジェクティブ（全単射）リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リーアルジェブラ（多元環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 777: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義 |
| 778: プロパーマップ（写像） |
| プロパーマップ（写像）の定義 |
| 779: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のプロパーにエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のプロパーにエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義 |
| 780: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のレギュラードメイン |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のレギュラードメインの定義 |
| 781: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、レギュラードメインに対して、レギュラードメイン上のポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、レギュラードメインに対して、レギュラードメイン上のポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 782: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールドに対して、ベクトルたちフィールド後インクルージョン（封入）によるディファレンシャルは、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方で\(C^\infty\)である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールドに対して、ベクトルたちフィールド後インクルージョン（封入）によるディファレンシャルは、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方で\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 783: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、サブセット（部分集合）、サブセット（部分集合）上のポイントに対して、もしも、チャートがエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）のためのローカルスライスコンディションまたはエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、のためのローカルスライスコンディションを満たす場合、そのサブオープンネイバーフッド（開近傍）もそうする |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、サブセット（部分集合）、サブセット（部分集合）上のポイントに対して、もしも、チャートがエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）のためのローカルスライスコンディションまたはエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、のためのローカルスライスコンディションを満たす場合、そのサブオープンネイバーフッド（開近傍）もそうすることの記述/証明 |
| 784: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、レギュラードメイン、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、レギュラードメインから\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中への\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）をマニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）とみなした対応するマップ（写像）は\(C^\infty\)である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、レギュラードメイン、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、レギュラードメインから\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中への\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）をマニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）とみなした対応するマップ（写像）は\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 785: シンプルグループ（単純群） |
| シンプルグループ（単純群）の定義 |
| 786: アーベリアングループ（アーベル群）はシンプルグループ（単純群）である、もしも、そのオーダーがプライムナンバー（素数）である場合、そしてその場合に限って |
| アーベリアングループ（アーベル群）はシンプルグループ（単純群）である、もしも、そのオーダーがプライムナンバー（素数）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 787: グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群） |
| グループ（群）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブグループ（部分群）の定義 |
| 788: グループ（群）の要素のオーダー |
| グループ（群）の要素のオーダーの定義 |
| 789: グループ（群）に対して、要素の累乗たちシーケンス（列）で前に戻るものは要素に戻る |
| グループ（群）に対して、要素の累乗たちシーケンス（列）で前に戻るものは要素に戻ることの記述/証明 |
| 790: グループ（群）、ファイナイト（有限）オーダー要素に対して、要素のオーダー累乗は\(1\)であり、要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、要素の、要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成される |
| グループ（群）、ファイナイト（有限）オーダー要素に対して、要素のオーダー累乗は\(1\)であり、要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、要素の、要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成されることの記述/証明 |
| 791: グループ（群）、要素に対して、もしも、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、要素の、ナンバー（数）より小さな非負累乗たちで構成される |
| グループ（群）、要素に対して、もしも、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、要素の、ナンバー（数）より小さな非負累乗たちで構成されることの記述/証明 |
| 792: グループ（群）、ファイナイト（有限）オーダー要素に対して、要素のコンジュゲート（共役）は要素のオーダーを持つ |
| グループ（群）、ファイナイト（有限）オーダー要素に対して、要素のコンジュゲート（共役）は要素のオーダーを持つことの記述/証明 |
| 793: グループ（群）、ファイナイト（有限）オーダー要素に対して、要素のインバース（逆）は要素のオーダーを持つ |
| グループ（群）、ファイナイト（有限）オーダー要素に対して、要素のインバース（逆）は要素のオーダーを持つことの記述/証明 |
| 794: グループ（群）、要素に対して、もしも、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、要素のその累乗が1になるインテジャー（整数）たちはナンバー（数）のマルチプル（倍数）たちだけである |
| グループ（群）、要素に対して、もしも、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、要素のその累乗が1になるインテジャー（整数）たちはナンバー（数）のマルチプル（倍数）たちだけであることの記述/証明 |
| 795: グループ（群）のサブグループ（部分群）とグループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）のインターセクション（共通集合）はサブグループ（部分群）のノーマルサブグループ（正規部分群）である |
| グループ（群）のサブグループ（部分群）とグループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）のインターセクション（共通集合）はサブグループ（部分群）のノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明 |
| 796: 周囲トポロジカルスペース（空間）内に包含されたトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、スペース（空間）が、周囲スペース（空間）的にローカルに周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である場合、スペース（空間）は周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である |
| 周囲トポロジカルスペース（空間）内に包含されたトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、スペース（空間）が、周囲スペース（空間）的にローカルに周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である場合、スペース（空間）は周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であることの記述/証明 |
| 797: トポロジカルスペース（空間）およびオープンカバー（開被覆）に対して、サブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、サブセット（部分集合）とオープンカバー（開被覆）の各要素のインターセクション（共通部分集合）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って |
| トポロジカルスペース（空間）およびオープンカバー（開被覆）に対して、サブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、サブセット（部分集合）とオープンカバー（開被覆）の各要素のインターセクション（共通部分集合）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 798: セット（集合）および2つのトポロジーたちに対して、もしも、共通のオープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおけるカバーの各要素の各オープンサブセット（開部分集合）が他方においてオープン（開）でありその逆も真である場合、トポロジーたちは同一である |
| セット（集合）および2つのトポロジーたちに対して、もしも、共通のオープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおけるカバーの各要素の各オープンサブセット（開部分集合）が他方においてオープン（開）でありその逆も真である場合、トポロジーたちは同一であることの記述/証明 |
| 799: ランク\(k\)の\(C^\infty\)ローカルにトリビアルなサージェクション（全射） |
| ランク\(k\)の\(C^\infty\)ローカルにトリビアルなサージェクション（全射）の定義 |
| 800: クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） |
| クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 801: クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き |
| クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義 |
| 802: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、の定義 |
| 803: トポロジカルスペース（空間）およびクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）に対して、セット（集合）のユニオン（和集合）はクローズド（閉）である |
| トポロジカルスペース（空間）およびクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）に対して、セット（集合）のユニオン（和集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明 |
| 804: トポロジカルスペース（空間）およびファイナイト（有限）数のオープンカバー（開被覆）たちに対して、カバー（被覆）たちのインターセクション（共通集合）はオープンカバー（開被覆）である |
| トポロジカルスペース（空間）およびファイナイト（有限）数のオープンカバー（開被覆）たちに対して、カバー（被覆）たちのインターセクション（共通集合）はオープンカバー（開被覆）であることの記述/証明 |
| 805: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、チャートに対して、チャートの、オープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、チャートに対して、チャートの、オープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであることの記述/証明 |
| 806: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベーシス（基底）に対して、ベクトルたちスペース（空間）はコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベーシス（基底）に対して、ベクトルたちスペース（空間）はコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明 |
| 807: 'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、ドメイン（定義域）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）のイメージ（像）は、コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）である |
| 'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、ドメイン（定義域）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）のイメージ（像）は、コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）であることの記述/証明 |
| 808: \(n\)キューブ、\(p\)を中心とし辺長たち\(l\)を持ちインデックスたち\(B\)に関する |
| \(n\)-キューブ、\(p\)を中心とし辺長たち\(l\)を持ちインデックスたち\(B\)に関する、の定義 |
| 809: \(n\)ディスク、\(p\)を中心とし半径\(r\)を持ちインデックスたち\(B\)に関する |
| \(n\)-ディスク、\(p\)を中心とし半径\(r\)を持ちインデックスたち\(B\)に関する、の定義 |
| 810: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のインテリア（内部）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のインテリア（内部）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義 |
| 811: パーミュテーション（並べ替え）は、パーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）をパーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップする、左または右からコンポジション（合成）によって |
| パーミュテーション（並べ替え）は、パーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）をパーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップする、左または右からコンポジション（合成）によって、ことの記述/証明 |
| 812: 同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、インデックスたちのセット（集合）に関してアンチシンメトライズド（反対称化された）もの |
| 同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、インデックスたちのセット（集合）に関してアンチシンメトライズド（反対称化された）ものの記述/証明 |
| 813: 同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、インデックスたちのセット（集合）に関してシンメトライズド（対称化された）もの |
| 同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、インデックスたちのセット（集合）に関してシンメトライズド（対称化された）ものの定義 |
| 814: ファイナイト（有限）要素たちのシーケンス（列）に対して、パーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）は同一数の偶パーミュテーション（並べ替え）たちと奇パーミュテーション（並べ替え）たちを持つ |
| ファイナイト（有限）要素たちのシーケンス（列）に対して、パーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）は同一数の偶パーミュテーション（並べ替え）たちと奇パーミュテーション（並べ替え）たちを持つことの記述/証明 |
| 815: 同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、シンメトライズド（対称化された）後にアンチシンメトライズド（反対称化された）ものまたは同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、アンチシンメトライズド（反対称化された）後にシンメトライズド（対称化された）ものは0である |
| 同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、シンメトライズド（対称化された）後にアンチシンメトライズド（反対称化された）ものまたは同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、アンチシンメトライズド（反対称化された）後にシンメトライズド（対称化された）ものは0であることの記述/証明 |
| 816: 2個の同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）たちのコントラクション（縮約）で、それらの内の一方がインデックスたちのセット（集合）に関してシンメトライズド（対称化された）またはアンチシンメトライズド（反対称化された）もの、は、他方アレイ（配列）もそれに応じてシンメトライズド（対称化された）またはアンチシンメトライズド（反対称化された）でのコントラクション（縮約）である |
| 2個の同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）たちのコントラクション（縮約）で、それらの内の一方がインデックスたちのセット（集合）に関してシンメトライズド（対称化された）またはアンチシンメトライズド（反対称化された）もの、は、他方アレイ（配列）もそれに応じてシンメトライズド（対称化された）またはアンチシンメトライズド（反対称化された）でのコントラクション（縮約）であることの記述/証明 |
| 817: サブセット（部分集合）のネイバーフッド（近傍） |
| サブセット（部分集合）のネイバーフッド（近傍）の定義 |
| 818: トポロジカルスペース（空間）からリング（環）またはモジュール（加群）の中へのマップ（写像）のサポート |
| トポロジカルスペース（空間）からリング（環）またはモジュール（加群）の中へのマップ（写像）のサポートの定義 |
| 819: ランク\(k\)のベクトルたちバンドル（束） |
| ランク\(k\)のベクトルたちバンドル（束）の定義 |
| 820: セット（集合）のインターセクション（共通集合） |
| セット（集合）のインターセクション（共通集合）の定義 |
| 821: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち間の\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）に対して、エンベディング（埋め込み）の、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち間の\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）に対して、エンベディング（埋め込み）の、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明 |
| 822: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であることの記述/証明 |
| 823: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、およびエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は\(C^\infty\)である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、およびエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 824: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間マップ（写像）に対して、\(C^\infty\)性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時 |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間マップ（写像）に対して、\(C^k\)性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時、ことの記述/証明 |
| 825: コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）のコドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に沿ったセクション（断面） |
| コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）のコドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に沿ったセクション（断面）の定義 |
| 826: トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）およびローカルトリビアライゼーション |
| トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）およびローカルトリビアライゼーションの定義 |
| 827: \(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）および\(C^\infty\)ローカルトリビアライゼーション |
| \(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）および\(C^\infty\)ローカルトリビアライゼーションの定義 |
| 828: \(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である |
| \(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であることの記述/証明 |
| 829: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義 |
| 830: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびのオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、に対して、オープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびそのオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、に対して、オープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 831: トポロジカルスペース（空間）のサブベーシス（基底） |
| トポロジカルスペース（空間）のサブベーシス（基底）の定義 |
| 832: マップ（写像）のコンティニュアス（連続）性をチェックするためには、ベーシス（基底）またはサブベーシス（基底）のみのプリイメージ（前像）たちだけで十分である |
| マップ（写像）のコンティニュアス（連続）性をチェックするためには、ベーシス（基底）またはサブベーシス（基底）のみのプリイメージ（前像）たちだけで十分であることの記述/証明 |
| 833: ベクトルたちバンドル（束）およびトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちカバーに対して、オープンサブセット（開部分集合）のベーシス（基底）と\(R^k\)のベーシス（基底）のプロダクトたちのトリビアライゼーションたち下のプリイメージ（前像）たちはトータルスペースのベーシス（基底）を構成する |
| \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）およびトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちカバーに対して、オープンサブセット（開部分集合）のベーシス（基底）と\(R^k\)のベーシス（基底）のプロダクトたちのトリビアライゼーションたち下のプリイメージ（前像）たちはトータルスペースのベーシス（基底）を構成することの記述/証明 |
| 834: マトリックス（行列）たちマルチプリケーション（乗法）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である |
| マトリックス（行列）たちマルチプリケーション（乗法）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 835: n x nマトリックス（行列）に対して、もしも、m行たちで、n - mより多くの同一列たち0を持つものがある場合、マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）でない |
| n x nマトリックス（行列）に対して、もしも、m行たちで、n - mより多くの同一列たち0を持つものがある場合、マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）でないことの記述/証明 |
| 836: インバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、最上行から下方へ任意の行まで、各行は、1つの1コンポーネントを持ち他は0であるように、重複のないように変えることができる、マトリックス（行列）をインバーティブル（可逆）に保ちながら |
| インバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、最上行から下方へ任意の行まで、各行は、1つの1コンポーネントを持ち他は0であるように、重複のないように変えることができる、マトリックス（行列）をインバーティブル（可逆）に保ちながら、ことの記述/証明 |
| 837: トポロジカルスペース（空間）からファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って |
| トポロジカルスペース（空間）からファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 838: トポロジカルスペース（空間）およびその、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、プロダクトたち間のマップ（写像）でファイバー維持でファイバー上でリニア（線形）なものはコンティニュアス（連続）である、もしも、カノニカル（正典）マトリックス（行列）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って |
| トポロジカルスペース（空間）およびその、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、プロダクトたち間のマップ（写像）でファイバー維持でファイバー上でリニア（線形）なものはコンティニュアス（連続）である、もしも、カノニカル（正典）マトリックス（行列）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 839: トポロジカルスペース（空間）およびその、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、プロダクトたち間のインジェクティブ（単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でファイバー維持でファイバー上でリニア（線形）なものは、コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である |
| トポロジカルスペース（空間）およびその、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、プロダクトたち間のインジェクティブ（単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でファイバー維持でファイバー上でリニア（線形）なものは、コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明 |
| 840: \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）上のローカル\(C^\infty\)フレーム |
| \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）上のローカル\(C^\infty\)フレームの定義 |
| 841: p-グループ（群） |
| p-グループ（群）の定義 |
| 842: グループ（群）のセンター（中心） |
| グループ（群）のセンター（中心）の定義 |
| 843: グループ（群）およびサブグループ（部分群）に対して、サブグループ（部分群）に対するグループ（群）要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズムたち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| グループ（群）およびサブグループ（部分群）に対して、サブグループ（部分群）に対するグループ（群）要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズムたち'アイソモーフィズム（同形写像）であることのの記述/証明 |
| 844: グループ（群）、サブグループ（部分群）、グループ（群）の要素に対して、もしも、\(k\)が、要素のそれ乗がサブグループ（部分群）に属する第1ポジティブ（正）パワー（指数）である場合、\(k\)の倍数たちが、要素のそれ乗たちがサブグループ（部分群）に属する唯一のパワー（指数）たちである |
| グループ（群）、サブグループ（部分群）、グループ（群）の要素に対して、もしも、\(k\)が、要素のそれ乗がサブグループ（部分群）に属する第1ポジティブ（正）パワー（指数）である場合、\(k\)の倍数たちが、要素のそれ乗たちがサブグループ（部分群）に属する唯一のパワー（指数）たちであることの記述/証明 |
| 845: ファイナイト（有限）\(p\)-グループ（群）に対して、\(p\)のその累乗がグループ（群）のオーダーである指数より小さいナチュラルナンバー（自然数）に対して、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）でそのオーダーが\(p\)のナチュラルナンバー（自然数）乗であるものがある |
| ファイナイト（有限）\(p\)-グループ（群）に対して、\(p\)のその累乗がグループ（群）のオーダーである指数より小さいナチュラルナンバー（自然数）に対して、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）でそのオーダーが\(p\)のナチュラルナンバー（自然数）乗であるものがあることの記述/証明 |
| 846: グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）に対して、もしも、ノーマルサブグループ（正規部分群）およびノーマルサブグループ（正規部分群）によるグループ（群）のクオシエント（商）が p-グループ（群）たちである場合、グループ（群）はp-グループ（群）である |
| グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）に対して、もしも、ノーマルサブグループ（正規部分群）およびノーマルサブグループ（正規部分群）によるグループ（群）のクオシエント（商）が p-グループ（群）たちである場合、グループ（群）はp-グループ（群）であることの記述/証明 |
| 847: (n + n') x (n + n'')インジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で右上n x n''サブマトリックス（部分行列）が0であるものに対して、左上n x nサブマトリックス（部分行列）をインジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で置き換えたものはインジェクティブ（単射）である |
| (n + n') x (n + n'')インジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で右上n x n''サブマトリックス（部分行列）が0であるものに対して、左上n x nサブマトリックス（部分行列）をインジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で置き換えたものはインジェクティブ（単射）であることの記述/証明 |
| 848: トポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）である |
| トポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 849: ディフェオモーフィズムの後の\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）または\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）後のディフェオモーフィズムというコンポジション（合成）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である |
| ディフェオモーフィズムの後の\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）または\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）後のディフェオモーフィズムというコンポジション（合成）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明 |
| 850: トポロジカルスペース（空間）、ポイント、ポイントのネイバーフッド（近傍）に対して、ポイントの近傍上におけるネイバーフッド（近傍）はポイントのベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）である |
| トポロジカルスペース（空間）、ポイント、ポイントのネイバーフッド（近傍）に対して、ポイントの近傍上におけるネイバーフッド（近傍）はポイントのベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）であることの記述/証明 |
| 851: カバリングマップ（写像）に対して、シートたちのカーディナリティたちは同一である |
| カバリングマップ（写像）に対して、シートたちのカーディナリティたちは同一であることの記述/証明 |
| 852: \(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）に対して、エンベディング（埋め込み）のレンジ（値域）で、エンベディング（埋め込み）によってインデュースト（誘導された）トポロジーおよびアトラスを持つものは、コドメイン（余域）のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である |
| \(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）に対して、エンベディング（埋め込み）のレンジ（値域）で、エンベディング（埋め込み）によってインデュースト（誘導された）トポロジーおよびアトラスを持つものは、コドメイン（余域）のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、であることの記述/証明 |
| 853: ダイヘドラルグループ（二面体群） |
| ダイヘドラルグループ（二面体群）の定義 |
| 854: スキュード（歪められた）ダイヘドラルグループ（二面体群） |
| スキュード（歪められた）ダイヘドラルグループ（二面体群）の定義 |
| 855: リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、ファイナイト（有限）数ベクトルたちのリニアコンビネーション（線形結合）は、0であることなしに各構成要素へ直交することはできない |
| リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、ファイナイト（有限）数ベクトルたちのリニアコンビネーション（線形結合）は、0であることなしに各構成要素へ直交することはできないことの記述/証明 |
| 856: ポインテッドセット（集合）たちのウェッジサム（楔和） |
| ポインテッドセット（集合）たちのウェッジサム（楔和）の定義 |
| 857: ポインテッドトポロジカルスペース（空間）たちのウェッジサム（楔和） |
| ポインテッドトポロジカルスペース（空間）たちのウェッジサム（楔和）の定義 |
| 858: ポインテッドマップ（写像）たちのウェッジサム（楔和） |
| ポインテッドマップ（写像）たちのウェッジサム（楔和）の定義 |
| 859: 2つのポインテッドコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちに対して、マップ（写像）たちのウェッジサム（楔和）はコンティニュアス（連続）である |
| 2つのポインテッドコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちに対して、マップ（写像）たちのウェッジサム（楔和）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 860: ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）の中へのアイデンティティマップ（恒等写像）は\(C^\infty\)である |
| ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）の中へのアイデンティティマップ（恒等写像）は\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 861: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープンサブセット（開部分集合）の上へのマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープンサブセット（開部分集合）の上へのマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 862: パーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その要素、パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の要素に対して、要素のパワー（累乗）オペレーションたちをドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）はドメイン（定義域）要素から前へ戻る |
| パーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その要素、パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の要素に対して、要素のパワー（累乗）オペレーションたちをドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）はドメイン（定義域）要素から前へ戻ることの記述/証明 |
| 863: パーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その要素、パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の要素、要素のパワー（累乗）オペレーションたちをドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）に対して、第1シーケンス（列）内に含まれていない別のドメイン（定義域）要素での別のシーケンス（列）は第1シーケンス（列）からディスジョイント（互いに素）である |
| パーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その要素、パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の要素、要素のパワー（累乗）オペレーションたちをドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）に対して、第1シーケンス（列）内に含まれていない別のドメイン（定義域）要素での別のシーケンス（列）は第1シーケンス（列）からディスジョイント（互いに素）であることの記述/証明 |
| 864: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の各ポイントの周りに、マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）でサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、とのインターセクション（共通集合）がチャートドメイン（定義域）であるものがある |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の各ポイントの周りに、マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）でサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、とのインターセクション（共通集合）がチャートドメイン（定義域）であるものがあることの記述/証明 |
| 865: セット（集合）に対して、アトラス候補はトポロジーとアトラスを決定する |
| セット（集合）に対して、アトラス候補はトポロジーとアトラスを決定することの記述/証明 |
| 866: セット（集合）および2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各トランジション（遷移）がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、ペアたちは同一である |
| セット（集合）および2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各トランジション（遷移）がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、ペアたちは同一であることの記述/証明 |
| 867: リストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束） |
| リストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義 |
| 868: グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類） |
| グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）の定義 |
| 869: インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）グループ（群） |
| インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）グループ（群）の定義 |
| 870: フィールド（体） |
| フィールド（体）の定義 |
| 871: サブグループ（部分群）のグループ（群）上におけるノーマライザー（正規化群） |
| サブグループ（部分群）のグループ（群）上におけるノーマライザー（正規化群）の定義 |
| 872: グループ（群）のシローp-サブグループ（部分群） |
| グループ（群）のシローp-サブグループ（部分群）の定義 |
| 873: エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に関するリストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）はエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きである |
| エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に関するリストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）はエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きであることの記述/証明 |
| 874: \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）およびベーススペース（空間）のサブセット（部分集合）からのセクション（断面）でポイントにおいて\(C^k\)である、ここで、\(0 \lt k\)、ものに対して、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）上における\(C^k\)エクステンション（拡張）がある |
| \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）およびベーススペース（空間）のサブセット（部分集合）からのセクション（断面）でポイントにおいて\(C^k\)である、ここで、\(0 \lt k\)、ものに対して、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）上における\(C^k\)エクステンション（拡張）があることの記述/証明 |
| 875: インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）リング（環） |
| インテジャー（整数）たちモジュロナチュラルナンバー（自然数）リング（環）の定義 |
| 876: インテジャー（整数）たちモジュロプライムナンバー（素数）フィールド（体） |
| インテジャー（整数）たちモジュロプライムナンバー（素数）フィールド（体）の定義 |
| 877: コミュータティブ（可換）リング（環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）はコミュータティブ（可換）リング（環）である |
| コミュータティブ（可換）リング（環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）はコミュータティブ（可換）リング（環）であることの記述/証明 |
| 878: インテジャー（整数）たちリング（環）のプライム（素数）プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）はフィールド（体）である |
| インテジャー（整数）たちリング（環）のプライム（素数）プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リング（環）はフィールド（体）であることの記述/証明 |
| 879: トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）内に包含されている |
| トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）内に包含されていることの記述/証明 |
| 880: トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）なセット（集合）に対して、サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）である |
| トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）なセット（集合）に対して、サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 881: \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、ベーススペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）に沿った\(C^\infty\)セクション（断面）は、ベーススペース（空間）全体上方へ拡張し、サポートがサブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）内に包含されるようにできる |
| \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、ベーススペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）に沿った\(C^\infty\)セクション（断面）は、ベーススペース（空間）全体上方へ拡張し、サポートがサブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）内に包含されるようにできることの記述/証明 |
| 882: \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の\(C^\infty\)セクション（断面）たちのセット（集合）でポイントにおいてリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるものは、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）である |
| \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の\(C^\infty\)セクション（断面）たちのセット（集合）でポイントにおいてリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるものは、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）であることの記述/証明 |
| 883: フィールド（体）上方のアルジェブラ（多元環） |
| フィールド（体）上方のアルジェブラ（多元環）の定義 |
| 884: %カテゴリー名%オートモーフィズム（自己同形） |
| %カテゴリー名%オートモーフィズム（自己同形）の定義 |
| 885: コミュータティブ（可換）リング（環）上方の2つのスクウェアマトリックス（正方行列）たちに対して、マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトレース（跡）はプロダクト（積）の順序に依存しない |
| コミュータティブ（可換）リング（環）上方の2つのスクウェアマトリックス（正方行列）たちに対して、マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトレース（跡）はプロダクト（積）の順序に依存しないことの記述/証明 |
| 886: ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）のトレース（跡） |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）のトレース（跡）の定義 |
| 887: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、2つのリアル（実）ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちに対して、マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、と前者ベクトルたちスペース（空間）のプロダクトから当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、と後者ベクトルたちスペース（空間）のプロダクトの上への\(C^\infty\)バイジェクション（全単射）で、第1ファクター維持で第1ファクター固定リニア（線形）であるものは、ディフェオモーフィズムである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、2つのリアル（実）ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちに対して、マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、と前者ベクトルたちスペース（空間）のプロダクトから当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、と後者ベクトルたちスペース（空間）のプロダクトの上への\(C^\infty\)バイジェクション（全単射）で、第1ファクター維持で第1ファクター固定リニア（線形）であるものは、ディフェオモーフィズムであることの記述/証明 |
| 888: 同一\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の2つの\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たちに対して、バイジェクティブ（全単射）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）は'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| 同一\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の2つの\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たちに対して、バイジェクティブ（全単射）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）は'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 889: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間マップ（写像）は\(C^k\)である、もしも、オープンカバー（開被覆）の各要素へのマップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）が\(C^k\)である場合、そしてその場合に限って |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間マップ（写像）は\(C^k\)である、もしも、オープンカバー（開被覆）の各要素へのマップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）が\(C^k\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 890: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のインジェクティブ（単射）マップ（写像）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、オープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）の上への\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である場合 |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のインジェクティブ（単射）マップ（写像）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、オープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）の上への\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である場合、ことの記述/証明 |
| 891: \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）およびオープンサブセット（開部分集合）上方の\(C^\infty\)ローカルフレームに対して、オープンサブセット（開部分集合）の各ポイントの周りに、バンドル（束）に対するより小さいかもしれないチャートでフレームに関するコンポーネントたちを取るものがある |
| \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）およびオープンサブセット（開部分集合）上方の\(C^\infty\)ローカルフレームに対して、オープンサブセット（開部分集合）の各ポイントの周りに、バンドル（束）に対するより小さいかもしれないチャートでフレームに関するコンポーネントたちを取るものがあることの記述/証明 |
| 892: プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数サブセット（部分集合）に関してサージェクティブ（全射）である場合 |
| プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数サブセット（部分集合）に関してサージェクティブ（全射）である場合、ことの記述/証明 |
| 893: マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のイメージ（像）は必ずしも第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）ではない |
| マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のイメージ（像）は必ずしも第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）ではないことの記述/証明 |
| 894: マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）を包含する |
| マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）を包含することの記述/証明 |
| 895: インジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）である |
| インジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のイメージ（像）は第1サブセット（部分集合）のイメージ（像）マイナス第2サブセット（部分集合）のイメージ（像）であることの記述/証明 |
| 896: サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）は第1サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）マイナス第2サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）である |
| サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）は第1サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）マイナス第2サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）であることの記述/証明 |
| 897: マップ（写像）、ドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）、コドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）内に包含されサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）内に包含される、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）がサブセット（部分集合）でありサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のプリイメージ（前像）がサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）である場合、そしてその場合に限って |
| マップ（写像）、ドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）、コドメイン（余域）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）内に包含されサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）内に包含される、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）がサブセット（部分集合）でありサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のプリイメージ（前像）がサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 898: サージェクション（全射）に対して、サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちは同じである、もしも、サブセット（部分集合）たちが同じである場合、そしてその場合に限って |
| サージェクション（全射）に対して、サブセット（部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちは同じである、もしも、サブセット（部分集合）たちが同じである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 899: トポロジカルスペース（空間）たち間のコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのセット（集合）上において、ホモトピックであることはイクイバレンスリレーション（同値関係）である |
| トポロジカルスペース（空間）たち間のコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのセット（集合）上において、ホモトピックであることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であることの記述/証明 |
| 900: hTopカテゴリー（圏） |
| hTopカテゴリー（圏）の定義 |
| 901: ホモトピーイクイバレンス（同値写像） |
| ホモトピーイクイバレンス（同値写像）の定義 |
| 902: アジャンクショントポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである、もしも、アタッチ先スペース（空間）がハウスドルフで、アタッチ元スペース（空間）がレギュラー（正則）で、アタッチングマップ（写像）のドメイン（定義域）がクローズド（閉）でオープンネイバーフッド（開近傍）のリトラクトである場合 |
| アジャンクショントポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである、もしも、アタッチ先スペース（空間）がハウスドルフで、アタッチ元スペース（空間）がレギュラー（正則）で、アタッチングマップ（写像）のドメイン（定義域）がクローズド（閉）でオープンネイバーフッド（開近傍）のリトラクトである場合、ことの記述/証明 |
| 903: ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のリトラクトはクローズド（閉）である |
| ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のリトラクトはクローズド（閉）であることの記述/証明 |
| 904: サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）である |
| サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であることの記述/証明 |
| 905: サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）である |
| サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であることの記述/証明 |
| 906: サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は、第1サブセット（部分集合）マイナス第2のかたまりのサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）である |
| サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は、第1サブセット（部分集合）マイナス第2のかたまりのサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明 |
| 907: セット（集合）の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環） |
| セット（集合）の\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義 |
| 908: メジャラブル（測定可能）スペース（空間） |
| メジャラブル（測定可能）スペース（空間）の定義 |
| 909: セット（集合）に対して、\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）は\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）である |
| セット（集合）に対して、\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのインターセクション（共通集合）は\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であることの記述/証明 |
| 910: セット（集合）の、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環） |
| セット（集合）の、サブセット（部分集合）たちのセット（集合）によって生成された\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義 |
| 911: トポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環） |
| トポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義 |
| 912: メジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像） |
| メジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義 |
| 913: メジャラブル（測定可能）スペース（空間）からのマップ（写像）のコドメイン（余域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環） |
| メジャラブル（測定可能）スペース（空間）からのマップ（写像）のコドメイン（余域）上にインデュースト（誘導された）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義 |
| 914: メジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち間のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）のジェネレーター（生成子）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）である |
| メジャラブル（測定可能）スペース（空間）たち間のマップ（写像）に対して、もしも、コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）のジェネレーター（生成子）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明 |
| 915: メジャラブル（測定可能）スペース（空間）からトポロジカルスペース（空間）の中へのメジャラブル（測定可能）マップ（写像） |
| メジャラブル（測定可能）スペース（空間）からトポロジカルスペース（空間）の中へのメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義 |
| 916: セット（集合）マイナスセット（集合）とセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）である |
| セット（集合）マイナスセット（集合）とセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）であることの記述/証明 |
| 917: セット（集合）マイナスセット（集合）とセット（集合）のユニオン（和集合）は、必ずしも、第1セット（集合）と第3セット（集合）のユニオン（和集合）マイナス第2セット（集合）マイナス第3セット（集合）のユニオン（和集合）ではないが、それを包含する |
| セット（集合）マイナスセット（集合）とセット（集合）のユニオン（和集合）は、必ずしも、第1セット（集合）と第3セット（集合）のユニオン（和集合）マイナス第2セット（集合）マイナス第3セット（集合）のユニオン（和集合）ではないが、それを包含することの記述/証明 |
| 918: セット（集合）マイナス(セット（集合）マイナスセット（集合）)は第1セット（集合）マイナス第2セット（集合）と第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）のユニオン（和集合）である |
| セット（集合）マイナス(セット（集合）マイナスセット（集合）)は第1セット（集合）マイナス第2セット（集合）と第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）のユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 919: セット（集合）マイナス（セット（集合）マイナスセット（集合））は、（第1セット（集合）マイナス第2セット（集合））マイナス第3セット（集合）では必ずしもないが、それを包含する |
| セット（集合）マイナス（セット（集合）マイナスセット（集合））は、（第1セット（集合）マイナス第2セット（集合））マイナス第3セット（集合）では必ずしもないが、それを包含することの記述/証明 |
| 920: メジャラブル（測定可能）スペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環） |
| メジャラブル（測定可能）スペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義 |
| 921: メジャラブル（測定可能）サブスペース（部分空間） |
| メジャラブル（測定可能）サブスペース（部分空間）の定義 |
| 922: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の\(C^\infty\)マップ（写像）のグローバルディファレンシャル |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の\(C^\infty\)マップ（写像）のグローバルディファレンシャルの定義 |
| 923: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)イマージョンに対して、そのグローバルディファレンシャルは\(C^\infty\)イマージョンである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)イマージョンに対して、そのグローバルディファレンシャルは\(C^\infty\)イマージョンであることの記述/証明 |
| 924: マップ（写像）のグラフ |
| マップ（写像）のグラフの定義 |
| 925: アファインシンプレックス（単体）、シンプレックスインテリア（内部）、バーテックス（頂点）に対して、シンプレックスインテリア（内部）上のポイントからバーテックス（頂点）へのラインセグメント（線分）はシンプレックスインテリア（内部）とバーテックス（頂点）のユニオン（和集合）内に含まれている |
| アファインシンプレックス（単体）、シンプレックスインテリア（内部）、バーテックス（頂点）に対して、シンプレックスインテリア（内部）上のポイントからバーテックス（頂点）へのラインセグメント（線分）はシンプレックスインテリア（内部）とバーテックス（頂点）のユニオン（和集合）内に含まれていることの記述/証明 |
| 926: コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である |
| コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のコドメイン（余域）についてのエクスパンション（拡張）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明 |
| 927: 2つのベクトルたちスペース（空間）たちでインターセクション（共通集合）上でオペレーションたちを共有するものに対して、インターセクション（共通集合）はベクトルたちスペース（空間）である |
| 2つのベクトルたちスペース（空間）たちでインターセクション（共通集合）上でオペレーションたちを共有するものに対して、インターセクション（共通集合）はベクトルたちスペース（空間）であることの記述/証明 |
| 928: シンプリシャルコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプリシャルコンプレックスであり、インターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているが、必ずしも等しくはない |
| シンプリシャルコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプリシャルコンプレックスであり、インターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているが、必ずしも等しくはないことの記述/証明 |
| 929: シンプリシャルコンプレックスたちのユニオン（和集合）は必ずしもシンプリシャルコンプレックスではない |
| シンプリシャルコンプレックスたちのユニオン（和集合）は必ずしもシンプリシャルコンプレックスではないことの記述/証明 |
| 930: シンプリシャルコンプレックスおよびそのサブコンプレックスたちに対して、サブコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）である |
| シンプリシャルコンプレックスおよびそのサブコンプレックスたちに対して、サブコンプレックスたちのインターセクション（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明 |
| 931: シンプリシャルコンプレックスおよびそのサブコンプレックスたちに対して、サブコンプレックスたちのユニオン（和集合）はシンプリシャルコンプレックスである |
| シンプリシャルコンプレックスおよびそのサブコンプレックスたちに対して、サブコンプレックスたちのユニオン（和集合）はシンプリシャルコンプレックスであることの記述/証明 |
| 932: シンプリシャルコンプレックスたちのユニオン（和集合）がシンプリシャルコンプレックスである時、ユニオン（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのユニオン（和集合）である |
| シンプリシャルコンプレックスたちのユニオン（和集合）がシンプリシャルコンプレックスである時、ユニオン（共通集合）のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）は構成要素たちのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 933: モジュール（加群）たち間リニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブモジュール（部分加群）である |
| モジュール（加群）たち間リニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブモジュール（部分加群）であることの記述/証明 |
| 934: ベクトルたちスペース（空間）たち間リニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブ（部分）ベクトルたちスペース（空間）である |
| ベクトルたちスペース（空間）たち間リニア（線形）マップ（写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であることの記述/証明 |
| 935: リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブ（部分）アルジェブラ（多元環）である |
| リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブ（部分）アルジェブラ（多元環）であることの記述/証明 |
| 936: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）、ベーススペース（空間）のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付きに対して、サブマニフォールド、バウンダリー（境界）付きのタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）は、カノニカルに、リストリクテッド（制限された）ベクトルたちバンドル（束）の中へ\(C^\infty\)エンベッデッドである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）、ベーススペース（空間）のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付きに対して、サブマニフォールド、バウンダリー（境界）付きのタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）は、カノニカルに、リストリクテッド（制限された）ベクトルたちバンドル（束）の中へ\(C^\infty\)エンベッデッドであることの記述/証明 |
| 937: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）の定義 |
| 938: 2つのポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）たちでそれらの最大公約数が1であるものに対して、インテジャー（整数）たちモジュロナンバー（自然数）たちの積グループ（群）は、インテジャー（整数）たちモジュロ第1ナンバー（数）グループ（群）とインテジャー（整数）たちモジュロ第2ナンバー（数）グループ（群）のダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である |
| 2つのポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）たちでそれらの最大公約数が1であるものに対して、インテジャー（整数）たちモジュロナンバー（自然数）たちの積グループ（群）は、インテジャー（整数）たちモジュロ第1ナンバー（数）グループ（群）とインテジャー（整数）たちモジュロ第2ナンバー（数）グループ（群）のダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明 |
| 939: グループ（群）、サブグループ（部分群）、サブグループ（部分群）の、グループ（群）要素による左または右コセット（剰余類）に対して、サブグループ（部分群）の、コセット（剰余類）の要素たちまたは要素たちのインバース（逆）たちによるコンジュゲート（共役）たちは同一である |
| グループ（群）、サブグループ（部分群）、サブグループ（部分群）の、グループ（群）要素による左または右コセット（剰余類）に対して、サブグループ（部分群）の、コセット（剰余類）の要素たちまたは要素たちのインバース（逆）たちによるコンジュゲート（共役）たちは同一であることの記述/証明 |
| 940: グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核） |
| グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）の定義 |
| 941: グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のノーマルサブグループ（正規部分群）である |
| グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明 |
| 942: グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理 |
| グループ（群）たちに対する第1アイソモーフィズム（同形写像）定理の記述/証明 |
| 943: ファイナイト（有限）グループ（群）、サブグループ（部分群）でそのインデックスがグループ（群）のオーダーの最小プライム（素数）因子であるものに対して、サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である |
| ファイナイト（有限）グループ（群）、サブグループ（部分群）でそのインデックスがグループ（群）のオーダーの最小プライム（素数）因子であるものに対して、サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明 |
| 944: シンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）たちのいくつかのマルチプリケーション（積）たちに関するメモ |
| シンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）たちのいくつかのマルチプリケーション（積）たちに関するメモの記述/証明 |
| 945: プロダクトモジュール（加群） |
| プロダクトモジュール（加群）の定義 |
| 946: プロダクトベクトルたちスペース（空間） |
| プロダクトベクトルたちスペース（空間）の定義 |
| 947: マルチリニアマップ（多重線形写像） |
| マルチリニアマップ（多重線形写像）の定義 |
| 948: マルチリニアマップ（多重線形写像）は必ずしもリニア（線形）ではない |
| マルチリニアマップ（多重線形写像）は必ずしもリニア（線形）ではないことの記述/証明 |
| 949: ベーシス（基底）を持つモジュール（加群）に対して、要素のベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークである |
| ベーシス（基底）を持つモジュール（加群）に対して、要素のベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであることの記述/証明 |
| 950: ベーシス（基底）を持つモジュール（加群）からモジュール（加群）の中へ、リニアマップ（線形写像）を、ベーシス（基底）をマッピングしマッピングをリニア（線形）に拡張することによって定義できる |
| ベーシス（基底）を持つモジュール（加群）からモジュール（加群）の中へ、リニアマップ（線形写像）を、ベーシス（基底）をマッピングしマッピングをリニア（線形）に拡張することによって定義できることの記述/証明 |
| 951: n-オルタネイティンググループ（交代群） |
| n-オルタネイティンググループ（交代群）の定義 |
| 952: 4-シンメトリックグループ（対称群）に対して、4-オルタネイティンググループ（交代群）がオーダー12を持つ唯一のサブグループ（部分群）である |
| 4-シンメトリックグループ（対称群）に対して、4-オルタネイティンググループ（交代群）がオーダー12を持つ唯一のサブグループ（部分群）であることの記述/証明 |
| 953: グループ（群）、2つのコミュータティブ（可換）要素たちで異なるオーダーたちを持つものたちに対して、2要素たちのマルチプリケーション（積）のオーダーはオーダーたちの最小公倍である |
| グループ（群）、2つのコミュータティブ（可換）要素たちで異なるオーダーたちを持つものたちに対して、2要素たちのマルチプリケーション（積）のオーダーはオーダーたちの最小公倍であることの記述/証明 |
| 954: 2つのリング（環）たちでそれらの間にマルチプリケーション（積）たちを維持するバイジェクション（全単射）があるものたちに対して、もしも、ドメイン（定義域）がフィールド（体）である場合、コドメイン（余域）はフィールド（体）である |
| 2つのリング（環）たちでそれらの間にマルチプリケーション（積）たちを維持するバイジェクション（全単射）があるものたちに対して、もしも、ドメイン（定義域）がフィールド（体）である場合、コドメイン（余域）はフィールド（体）であることの記述/証明 |
| 955: リング（環）のマキシマル（最大）アイディアル（イデアル） |
| リング（環）のマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）の定義 |
| 956: フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、イリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）はマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）である |
| フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、イリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）はマキシマル（最大）アイディアル（イデアル）であることの記述/証明 |
| 957: リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブリング（部分リング（環））である |
| リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブリング（部分リング（環））であることの記述/証明 |
| 958: フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブフィールド（部分体）である |
| フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブフィールド（部分体）であることの記述/証明 |
| 959: バイジェクティブ（全単射）リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| バイジェクティブ（全単射）リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 960: バイジェクティブ（全単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| バイジェクティブ（全単射）フィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 961: フィールド（体）たち間'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| フィールド（体）たち間'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）は'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 962: インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、ユニットは非ゼロコンスタント（定数）である |
| インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、ユニットは非ゼロコンスタント（定数）であることの記述/証明 |
| 963: フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、ユニットたちは非ゼロコンスタント（定数）たちである |
| フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、ユニットたちは非ゼロコンスタント（定数）たちであることの記述/証明 |
| 964: フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、イリデューシブル（約分不能）たちは、非コンスタント（定数）たちで1つだけの非コンスタント（定数）を持つ因子化だけができるものたちである |
| フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、イリデューシブル（約分不能）たちは、非コンスタント（定数）たちで1つだけの非コンスタント（定数）を持つ因子化だけができるものたちであることの記述/証明 |
| 965: インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、イリデューシブル（約分不能）は最大1つの非コンスタント（定数）で因子化できる |
| インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）に対して、イリデューシブル（約分不能）は最大1つの非コンスタント（定数）で因子化できることの記述/証明 |
| 966: フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、非コンスタント（定数）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）のフィールド（体）要素における評価が0である場合、そしてその場合に限って、ポリノミアル（多項式）はx - 要素を因子化できる |
| フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、非コンスタント（定数）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）のフィールド（体）要素における評価が0である場合、そしてその場合に限って、ポリノミアル（多項式）はx - 要素を因子化できることの記述/証明 |
| 967: フィールド（体）に対して、0のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0である |
| フィールド（体）に対して、0のポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）は0であることの記述/証明 |
| 968: フィールド（体）上の1のプリミティブn-乗ルート（根） |
| フィールド（体）上の1のプリミティブn-乗ルート（根）の定義 |
| 969: フィールド（体）に対して、もしも、フィールド（体）が1のプリミティブポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持てば、プリミティブルート（根）の1から自然数乗たちがルート（根）たちである |
| フィールド（体）に対して、もしも、フィールド（体）が1のプリミティブポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持てば、プリミティブルート（根）の1から自然数乗たちがルート（根）たちであることの記述/証明 |
| 970: フィールド（体）に対して、もしも、フィールド（体）が1の非1プライムナンバー（素数）乗ルート（根）を持てば、ルート（根）はプリミティブルート（根）である |
| フィールド（体）に対して、もしも、フィールド（体）が1の非1プライムナンバー（素数）乗ルート（根）を持てば、ルート（根）はプリミティブルート（根）であることの記述/証明 |
| 971: フィールド（体）、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）、フィールド（体）の非ゼロ要素に対して、もしも、フィールド（体）は1のプリミティブナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）および要素のナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持つ場合、要素のルート（根）たちはルート（根）と1のルート（根）たちの積たちである |
| フィールド（体）、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）、フィールド（体）の非ゼロ要素に対して、もしも、フィールド（体）は1のプリミティブナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）および要素のナチュラルナンバー（自然数）乗ルート（根）を持つ場合、要素のルート（根）たちはルート（根）と1のルート（根）たちの積たちであることの記述/証明 |
| 972: コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内のポリノミアル（多項式）のルート（根） |
| コミュータティブ（可換）リング（環）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内のポリノミアル（多項式）のルート（根）の定義 |
| 973: フィールド（体）たち間のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）である |
| フィールド（体）たち間のリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）はフィールド（体）ホモモーフィズム（準同形写像）であることの記述/証明 |
| 974: スーパーフィールド（包含体）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブフィールド（部分体）上方のフィールド（体） |
| スーパーフィールド（包含体）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブフィールド（部分体）上方のフィールド（体）の定義 |
| 975: グループ（群）のサブグループ（部分群）たちのインターセクション（共通集合）はグループ（群）のサブグループ（部分群）である |
| グループ（群）のサブグループ（部分群）たちのインターセクション（共通集合）はグループ（群）のサブグループ（部分群）であることの記述/証明 |
| 976: リング（環）およびサブリング（部分環）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブリング（部分環）である |
| リング（環）およびサブリング（部分環）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブリング（部分環）であることの記述/証明 |
| 977: リング（環）に対して、もしも、要素がインバース（逆）を持っている場合、インバース（逆）はユニークである |
| リング（環）に対して、もしも、要素がインバース（逆）を持っている場合、インバース（逆）はユニークであることの記述/証明 |
| 978: リング（環）およびサブフィールド（部分体）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブフィールド（部分体）である |
| リング（環）およびサブフィールド（部分体）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブフィールド（部分体）であることの記述/証明 |
| 979: フィールド（体）のエクステンデッド（拡張された）フィールド（体） |
| フィールド（体）のエクステンデッド（拡張された）フィールド（体）の定義 |
| 980: エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）上方にエクステンデッド（拡張された）ポリノミアル（多項式） |
| エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）上方にエクステンデッド（拡張された）ポリノミアル（多項式）の定義 |
| 981: グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、カーネル（核）が1サブグループ（部分群）である場合、そしてその場合に限って |
| グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、カーネル（核）が1サブグループ（部分群）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 982: リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核） |
| リング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）の定義 |
| 983: フィールド（体）、フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、1より大きいディグリー（次元）イリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）に対して、フィールド（体）は、拡張して、エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内のポリノミアル（多項式）のルート（根）を持つようにでき、エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）は任意のそうした最小のものへ'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である |
| フィールド（体）、フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）、1より大きいディグリー（次元）イリデューシブル（約分不能）ポリノミアル（多項式）に対して、フィールド（体）は、拡張して、エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）内のポリノミアル（多項式）のルート（根）を持つようにでき、エクステンデッド（拡張された）フィールド（体）は任意のそうした最小のものへ'フィールド（体）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明 |
| 984: インテジャー（整数）たちモジュロプライムナンバー（素数）フィールド（体）に対して、要素のプライムナンバー（素数）乗は要素である |
| インテジャー（整数）たちモジュロプライムナンバー（素数）フィールド（体）に対して、要素のプライムナンバー（素数）乗は要素であることの記述/証明 |
| 985: オイラーのトーシェントファンクション（関数） |
| オイラーのトーシェントファンクション（関数）の定義 |
| 986: ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）はナンバー（数）のディバイザー（因子）たちのオイラーのトーシェントファンクション（関数）結果たちのサム（合計）である |
| ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）はナンバー（数）のディバイザー（因子）たちのオイラーのトーシェントファンクション（関数）結果たちのサム（合計）であることの記述/証明 |
| 987: ファイナイト（有限）グループ（群）に対して、もしも、グループ（群）のオーダーの各ディバイザー（因子）に対して最大1つのサブグループ（部分群）がある場合、グループ（群）はシクリック（循環）である |
| ファイナイト（有限）グループ（群）に対して、もしも、グループ（群）のオーダーの各ディバイザー（因子）に対して最大1つのサブグループ（部分群）がある場合、グループ（群）はシクリック（循環）であることの記述/証明 |
| 988: ファイナイト（有限）グループ（群）に対して、もしも、グループ（群）のオーダーの各ディバイザー（因子）に対して、ディバイザー（因子）の因子であるオーダーたちの要素たちが最大ディバイザー（因子）数ある場合、グループ（群）はシクリック（循環）である |
| ファイナイト（有限）グループ（群）に対して、もしも、グループ（群）のオーダーの各ディバイザー（因子）に対して、ディバイザー（因子）の因子であるオーダーたちの要素たちが最大ディバイザー（因子）数ある場合、グループ（群）はシクリック（循環）であることの記述/証明 |
| 989: プライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）で、1を除く各要素はグループ（群）をジェネレート（生成）する |
| プライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）で、1を除く各要素はグループ（群）をジェネレート（生成）することの記述/証明 |
| 990: 2つの異なるプライムナンバー（素数）-オーダーサブグループ（部分群）たちは1のみを共有する |
| 2つの異なるプライムナンバー（素数）-オーダーサブグループ（部分群）たちは1のみを共有することの記述/証明 |
| 991: 異なるプライムナンバー（素数）オーダーたちを持つ2つのサブグループ（部分群）たちに対して、もしも、サブグループ（部分群）たちのジェネレーター（生成元）たちがコミュータティブ（可換）である場合、プライムナンバー（素数）たちのプロダクト（積）-オーダーのシクリックサブグループ（循環部分群）を構成できる |
| 異なるプライムナンバー（素数）オーダーたちを持つ2つのサブグループ（部分群）たちに対して、もしも、サブグループ（部分群）たちのジェネレーター（生成元）たちがコミュータティブ（可換）である場合、プライムナンバー（素数）たちのプロダクト（積）-オーダーのシクリックサブグループ（循環部分群）を構成できることの記述/証明 |
| 992: リング（環）のキャラクタリスティック |
| リング（環）のキャラクタリスティックの定義 |
| 993: リング（環）でインバース（逆）たちを持つもののキャラクタリスティックは0またはプライムナンバー（素数）である |
| リング（環）でインバース（逆）たちを持つもののキャラクタリスティックは0またはプライムナンバー（素数）であることの記述/証明 |
| 994: インテグラルドメイン（整域）のキャラクタリスティックは0またはプライムナンバー（素数）である |
| インテグラルドメイン（整域）のキャラクタリスティックは0またはプライムナンバー（素数）であることの記述/証明 |
| 995: フロベニウスエンドモーフィズム（自己準同形写像）、コミュータティブ（可換）リング（環）でプライム（素数）キャラクタリスティックを持つものに対する |
| フロベニウスエンドモーフィズム（自己準同形写像）、コミュータティブ（可換）リング（環）でプライム（素数）キャラクタリスティックを持つものに対する、の定義 |
| 996: \(C^\infty\)カーブに沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場） |
| \(C^\infty\)カーブに沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）の定義 |
| 997: ファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）およびそのオーダーのプライムファクター（素数因子）に対して、最大1つのファクター（因子）オーダーサブグループ（部分群）がある |
| ファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）およびそのオーダーのプライムファクター（素数因子）に対して、最大1つのファクター（因子）オーダーサブグループ（部分群）があることの記述/証明 |
| 998: ファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）およびそのオーダーのプライムファクター（素数因子）に対して、ファクター（因子）オーダーのシクリックサブグループ（循環部分群）を特定の方法で抽出できる |
| ファイナイト（有限）シクリックグループ（循環群）およびそのオーダーのプライムファクター（素数因子）に対して、ファクター（因子）オーダーのシクリックサブグループ（循環部分群）を特定の方法で抽出できることの記述/証明 |
| 999: フィールド（体）から0を除いたものはマルチプリカティブ（乗法）グループ（群）である |
| フィールド（体）から0を除いたものはマルチプリカティブ（乗法）グループ（群）であることの記述/証明 |
| 1000: 有限数のリアルナンバー（実数）たちで1 (2)に等しいまたはそれより大きいものたちに対して、リアルナンバー（実数）たちの和マイナス有限数プラス1はリアルナンバー（実数）たちのプロダクト（積）に等しいまたはそれより小さい（単により小さい） |
| 有限数のリアルナンバー（実数）たちで1 (2)に等しいまたはそれより大きいものたちに対して、リアルナンバー（実数）たちの和マイナス有限数プラス1はリアルナンバー（実数）たちのプロダクト（積）に等しいまたはそれより小さい（単により小さい）ことの記述/証明 |
| 1001: インテグラルドメイン（整域）および非ゼロ要素に対して、要素によるマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）はインジェクション（単射）である |
| インテグラルドメイン（整域）および非ゼロ要素に対して、要素によるマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）はインジェクション（単射）であることの記述/証明 |
| 1002: ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたサブベクトルたちスペース（空間） |
| ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）によって生成されたベクトルたちサブスペース（部分空間）の定義 |
| 1003: ベクトルたちスペース（空間）およびサブベクトルたちスペース（空間）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はサブベクトルたちスペース（空間）である |
| ベクトルたちスペース（空間）およびベクトルたちサブスペース（部分空間）たちのセット（集合）に対して、セット（集合）のインターセクション（共通集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）であることの記述/証明 |
| 1004: セット（集合）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、もしも、ドメイン（定義域）の上へのサージェクション（全射）があってサージェクション（全射）がサージェクション（全射）の後にエンドモーフィズム（自己準同形写像）を作用させるのと等しい場合、エンドモーフィズム（自己準同形写像）はアイデンティティ（恒等写像）である |
| セット（集合）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、もしも、ドメイン（定義域）の上へのサージェクション（全射）があってサージェクション（全射）がサージェクション（全射）の後にエンドモーフィズム（自己準同形写像）を作用させるのと等しい場合、エンドモーフィズム（自己準同形写像）はアイデンティティ（恒等写像）であることの記述/証明 |
| 1005: ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、もしも、ドメイン（定義域）の中へのマップ（写像）があってベーシス（基底）に関してサージェクティブ（全射）でありマップ（写像）がマップ（写像）の後にエンドモーフィズム（自己準同形写像）を作用させるのと等しい場合、エンドモーフィズム（自己準同形写像）はアイデンティティ（恒等写像）である |
| ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、もしも、ドメイン（定義域）の中へのマップ（写像）があってベーシス（基底）に関してサージェクティブ（全射）でありマップ（写像）がマップ（写像）の後にエンドモーフィズム（自己準同形写像）を作用させるのと等しい場合、エンドモーフィズム（自己準同形写像）はアイデンティティ（恒等写像）であることの記述/証明 |
| 1006: セット（集合）上のフリーベクトルたちスペース（空間） |
| セット（集合）上のフリーベクトルたちスペース（空間）の定義 |
| 1007: フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間） |
| フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義 |
| 1008: ベクトルたちスペース（空間）のコベクトルたち（デュアル）スペース（空間） |
| ベクトルたちスペース（空間）のコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）の定義 |
| 1009: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底） |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義 |
| 1010: テンソルたちのテンソルプロダクト（積） |
| テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義 |
| 1011: フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）でデュアルベーシス（基底）たちの要素たちのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つ |
| フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）でデュアルベーシス（基底）たちの要素たちのテンソルプロダクト（積）たちから構成されるものを持つことの記述/証明 |
| 1012: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれである |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）たちに関する、コベクトルたちスペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1013: フィールド（体）、フィールド（体）上方のk個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち、フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれである |
| フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち、フィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1014: テンソルのいくつかの引数たちに関するシンメトライゼーション（対称化） |
| テンソルのいくつかの引数たちに関するシンメトライゼーション（対称化）の定義 |
| 1015: テンソルのいくつかの引数たちに関するアンチシンメトライゼーション（反対称化） |
| テンソルのいくつかの引数たちに関するアンチシンメトライゼーション（反対称化）の定義 |
| 1016: テンソルのシンメトライゼーション（対称化）マップ（写像）はリニア（線形）である |
| テンソルのシンメトライゼーション（対称化）マップ（写像）はリニア（線形）であることの記述/証明 |
| 1017: テンソルのアンチシンメトライゼーション（反対称化）マップ（写像）はリニア（線形）である |
| テンソルのアンチシンメトライゼーション（反対称化）マップ（写像）はリニア（線形）であることの記述/証明 |
| 1018: モジュール（加群）たち間のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| モジュール（加群）たち間のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 1019: ベーシス（基底）たちを持つモジュール（加群）たち間リニアマップ（線形写像）に対して、もしも、その、ドメイン（定義域）ベーシス（基底）についてのリストリクション（制限）がコドメイン（余域）ベーシス（基底）の上へのバイジェクション（全単射）である場合、マップ（写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| ベーシス（基底）たちを持つモジュール（加群）たち間リニアマップ（線形写像）に対して、もしも、その、ドメイン（定義域）ベーシス（基底）についてのリストリクション（制限）がコドメイン（余域）ベーシス（基底）の上へのバイジェクション（全単射）である場合、マップ（写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 1020: ベクトルたちスペース（空間）のベクトルたちサブスペース（部分空間）によるクウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間） |
| ベクトルたちスペース（空間）のベクトルたちサブスペース（部分空間）によるクウォシェント（商）ベクトルたちスペース（空間）の定義 |
| 1021: \(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積） |
| フィールド（体）上方の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の定義 |
| 1022: ファイナイト（有限）プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からのマルチリニアマップ（多重線形写像）に対して、ファイナイト（有限）個ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）からのユニークなリニアマップ（線形写像）で、マルチリニアマップ（多重線形写像）は、プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からテンソルプロダクト（積）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）の後にリニアマップ（写像）を作用させるものであるものがある |
| ファイナイト（有限）プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からのマルチリニアマップ（多重線形写像）に対して、ファイナイト（有限）個ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）からのユニークなリニアマップ（線形写像）で、マルチリニアマップ（多重線形写像）は、プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）からテンソルプロダクト（積）の中へのカノニカル（正典）マップ（写像）の後にリニアマップ（写像）を作用させるものであるものがあることの記述/証明 |
| 1023: \(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）はベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つ |
| \(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）はベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つことの記述/証明 |
| 1024: フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれである |
| フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1025: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの変更に関するベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれである |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの変更に関するベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1026: テンソルたちスペース（空間）またはベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちまたはコンポーネントたちのトランジション（遷移）はスクウェアマトリックス（正方行列）である、そして、インバース（逆）はインバース（逆）たちのプロダクト（積）である |
| テンソルたちスペース（空間）またはベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちまたはコンポーネントたちのトランジション（遷移）はスクウェアマトリックス（正方行列）である、そして、インバース（逆）はインバース（逆）たちのプロダクト（積）であることの記述/証明 |
| 1027: フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、テンソルの、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれである |
| フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）に対して、テンソルの、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1028: フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、要素の、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれである |
| フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）に対して、要素の、ベクトルたちスペース（空間）たちに対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1029: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）のトランジション（遷移）はこれである |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、ベーシス（基底）たちの変更に関するエンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）のトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1030: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1031: ベクトルたちスペース（空間）間において、ベーシス（基底）をベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップしマッピングをリニア（線形）に拡張するマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| ベクトルたちスペース（空間）間において、ベーシス（基底）をベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップしマッピングをリニア（線形）に拡張するマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 1032: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのコベクトルたちスペース（空間）の間の元のスペース（空間）ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像） |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのコベクトルたちスペース（空間）の間の元のスペース（空間）ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義 |
| 1033: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのダブルデュアルスペース（空間）の間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像） |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）とそのダブルデュアルスペース（空間）の間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義 |
| 1034: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）の定義 |
| 1035: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるテンソルたちスペース（空間）と、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）および\(p\)個のコタンジェントベクトルたちスペース（空間）たちおよび\(q\)個のタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）との間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）と、リアルナンバー（実数）たちフィールド（体）および\(p\)個のコタンジェントベクトルたちスペース（空間）たちおよび\(q\)個のタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）との間のカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義 |
| 1036: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対する、チャートに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対する、チャートに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）の定義 |
| 1037: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1038: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するテンソルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するテンソルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1039: テンソルはシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である、もしも、関心事のベクトルたちスペース（空間）たちに対して同一であるベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちがシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である場合、そしてその場合に限って |
| テンソルはシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である、もしも、関心事のベクトルたちスペース（空間）たちに対して同一であるベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちがシンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1040: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、タンジェント（接）ベクトルの、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）に対して、タンジェント（接）ベクトルの、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1041: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるコタンジェント（余接）スペース（空間）に対して、コベクトルの、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおけるコタンジェント（余接）スペース（空間）に対して、コベクトルの、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1042: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）および対応するチャートたちに対して、ディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）および対応するチャートたちに対して、ディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであることの記述/証明 |
| 1043: \(0, q\)-テンソルのポイントにおける\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の\(C^\infty\)マップ（写像）によるプルバック |
| \((0, q)\)-テンソルのポイントにおける\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の\(C^\infty\)マップ（写像）によるプルバックの定義 |
| 1044: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）および対応するチャートたちに対して、\(0, q\)-テンソルたちのプルバックの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）および対応するチャートたちに対して、\((0, q)\)-テンソルたちのプルバックの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであることの記述/証明 |
| 1045: フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は\(k\)個のコベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である |
| フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は\(k\)個のコベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明 |
| 1046: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、レギュラードメイン、インクルージョン（封入）、2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちに対して、ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）はプシュフォワードされエクステンデッド（拡張された）ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）をプルバックしたものである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、レギュラードメイン、インクルージョン（封入）、2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちに対して、ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）はプシュフォワードされエクステンデッド（拡張された）ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）をプルバックしたものであることの記述/証明 |
| 1047: ヒルベルトスペース（空間） |
| ヒルベルトスペース（空間）の定義 |
| 1048: リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）である |
| リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）であることの記述/証明 |
| 1049: トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント） |
| トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義 |
| 1050: トポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントからファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントマップ（写像）たちのポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされる |
| トポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントからファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントマップ（写像）たちのポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされることの記述/証明 |
| 1051: トポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントからファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちのポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされる |
| トポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントからファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちのポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされることの記述/証明 |
| 1052: トポロジカルスペース（空間）たち間のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）でコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）の中へマップされるものに対して、ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のオープンネイバーフッド（開近傍）でオープンサブセット（開部分集合）の中へマップされるものがある |
| トポロジカルスペース（空間）たち間のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）でコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）の中へマップされるものに対して、ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のオープンネイバーフッド（開近傍）でオープンサブセット（開部分集合）の中へマップされるものがあることの記述/証明 |
| 1053: ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）からインデュースト（誘導された）\(C^\infty\)マップ（写像）、ポイントに基づいていくつかのドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって |
| ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）からインデュースト（誘導された）\(C^\infty\)マップ（写像）、ポイントに基づいていくつかのドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって、の定義 |
| 1054: ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）からプロジェクテッド（射影された）\(C^\infty\)マップ（写像）、ポイントに基づいて\(j\)-番目を除きドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって |
| ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）からプロジェクテッド（射影された）\(C^\infty\)マップ（写像）、ポイントに基づいて\(j\)-番目を除きドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって、の定義 |
| 1055: ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）からタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、タンジェント（接）ベクトルはファンクション（関数）に、ベクトルたちがプロジェクテッド（射影された）ファンクション（関数）たちへオペレート（作用）したものたちのサム（合計）としてオペレート（作用）する |
| ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）からタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、タンジェント（接）ベクトルはファンクション（関数）に、ベクトルたちがプロジェクテッド（射影された）ファンクション（関数）たちへオペレート（作用）したものたちのサム（合計）としてオペレート（作用）することの記述/証明 |
| 1056: テンソルたちのテンソルプロダクトのリアル（実）パラメータによるデリベイションはライプニッツルールを満たす |
| テンソルたちのテンソルプロダクトのリアル（実）パラメータによるデリベイションはライプニッツルールを満たすことの記述/証明 |
| 1057: メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである |
| メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであることの記述/証明 |
| 1058: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則 |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則の記述/証明 |
| 1059: メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して |
| メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して、という命題の記述および証明を得る。 |
| 1060: コンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでドメイン（定義域）上のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、ネットのイメージ（像）はポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）はポイントのイメージ（像）である |
| コンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでドメイン（定義域）上のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、ネットのイメージ（像）はポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）はポイントのイメージ（像）であることの記述/証明 |
| 1061: ヒルベルトスペース（空間）、非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、ヒルベルトスペース（空間）上のポイントに対して、サブセット（部分集合）上のユニークなポイントでポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがある |
| ヒルベルトスペース（空間）、非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、ヒルベルトスペース（空間）上のポイントに対して、サブセット（部分集合）上のユニークなポイントでポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがあることの記述/証明 |
| 1062: \(C^\infty\)カバリングマップ（写像） |
| \(C^\infty\)カバリングマップ（写像）の定義 |
| 1063: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のオリエンテーション |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のオリエンテーションの定義 |
| 1064: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントのオリエンテーション |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントのオリエンテーションの定義 |
| 1065: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオリエンテーション |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオリエンテーションの定義 |
| 1066: オリエンタブル\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き |
| オリエンタブル\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義 |
| 1067: 3-ディメンショナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のアクシス（軸）の周りのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）に関する回転マトリックス（行列）はこれである |
| 3-ディメンショナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のアクシス（軸）の周りのオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）に関する回転マトリックス（行列）はこれであることの記述/証明 |
| 1068: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、サブスペース（部分空間）、スーパースペース（空間）上のベクトルに対して、サブスペース（部分空間）上のベクトルでベクトルへの距離が最小なものは、ユニークであり差はサブスペース（部分空間）へ垂直である、そして、サブスペース（部分空間）上のベクトルで差がサブスペース（部分空間）へ垂直なものは、ユニークであり距離は最小である |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、サブスペース（部分空間）、スーパースペース（空間）上のベクトルに対して、サブスペース（部分空間）上のベクトルでベクトルへの距離が最小なものは、ユニークであり差はサブスペース（部分空間）へ垂直である、そして、サブスペース（部分空間）上のベクトルで差がサブスペース（部分空間）へ垂直なものは、ユニークであり距離は最小であることの記述/証明 |
| 1069: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）、スーパースペース（空間）上のベクトルに対して、サブスペース（部分空間）上のベクトルでベクトルへの距離が最小であるユニークなものがある |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つもの、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）、スーパースペース（空間）上のベクトルに対して、サブスペース（部分空間）上のベクトルでベクトルへの距離が最小であるユニークなものがあることの記述/証明 |
| 1070: メトリックサブスペース（計量付き部分空間） |
| メトリックサブスペース（計量付き部分空間）の定義 |
| 1071: メトリックスペース（計量付き空間）たち間のリプシッツマップ（写像） |
| メトリックスペース（計量付き空間）たち間のリプシッツマップ（写像）の定義 |
| 1072: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）からノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中へのリプシッツマップ（写像） |
| ノルム付きベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）からノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中へのリプシッツマップ（写像）の定義 |
| 1073: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）間のバウンデッド（有界）マップ（写像） |
| ノルム付きベクトルたちスペース（空間）間のバウンデッド（有界）マップ（写像）の定義 |
| 1074: \(n\)個の非負ナンバー（数字）の2乗たちの合計が非負ナンバー（数字）の2乗に等しいかそれより小さい時、ナンバー（数字）たちの合計はナンバー（数字）の\(n\)倍に等しいかそれより小さい |
| \(n\)個の非負ナンバー（数字）の2乗たちの合計が非負ナンバー（数字）の2乗に等しいかそれより小さい時、ナンバー（数字）たちの合計はナンバー（数字）の\(n\)倍に等しいかそれより小さいことの記述/証明 |
| 1075: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つものからノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中へのリニアマップ（線形写像）はバウンデッド（有界）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムを持つものからノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中へのリニアマップ（線形写像）はバウンデッド（有界）であることの記述/証明 |
| 1076: ノルムたちによってインデュースト（誘導された）ベクトルたちメトリックスペース（計量付き空間）たち間のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、それがバウンデッド（有界）である場合、その場合に限って |
| ノルムたちによってインデュースト（誘導された）ベクトルたちメトリックスペース（計量付き空間）たち間のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、それがバウンデッド（有界）である場合、その場合に限って、ということの記述/証明 |
| 1077: コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）のコンプレックス（複素）コンジュゲート（共役） |
| コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）のコンプレックス（複素）コンジュゲート（共役）の定義 |
| 1078: \(2\)個の両方は\(0\)でないコンプレックスナンバー（複素数）たちおよび非負ナンバー（数）\(p\)に対して、合計の絶対値の\(p\)乗は 絶対値の\(p\)乗たちの合計の(\(2\)の\(p\)乗)倍より小さい |
| \(2\)個の両方は\(0\)でないコンプレックスナンバー（複素数）たちおよび非負ナンバー（数）\(p\)に対して、合計の絶対値の\(p\)乗は 絶対値の\(p\)乗たちの合計の(\(2\)の\(p\)乗)倍より小さいことの記述/証明 |
| 1079: メトリックスペース（計量付き空間）上のコーシーシーケンス（列）に対して、もしも、サブシーケンス（部分列）がポイントへコンバージ（収束）する場合、シーケンス（列）は当該ポイントへコンバージ（収束）する |
| メトリックスペース（計量付き空間）上のコーシーシーケンス（列）に対して、もしも、サブシーケンス（部分列）がポイントへコンバージ（収束）する場合、シーケンス（列）は当該ポイントへコンバージ（収束）することの記述/証明 |
| 1080: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）によってインデュースト（誘導された）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、もしも、シーケンス（列）でノルムたちのシリーズ（級数）がコンバージ（収束）するもの各々に対してシリーズ（級数）がコンバージ（収束）する場合、スペース（空間）はコンプリート（完備）である |
| ノルム付きベクトルたちスペース（空間）によってインデュースト（誘導された）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、もしも、シーケンス（列）でノルムたちのシリーズ（級数）がコンバージ（収束）するもの各々に対してシリーズ（級数）がコンバージ（収束）する場合、スペース（空間）はコンプリート（完備）であることの記述/証明 |
| 1081: メトリックスペース（計量付き空間）に対して、コンバージェント（収束する）シーケンス（列）はコーシーシーケンス（列）であり、コーシー\(\epsilon\)コンディションに対する\(N\)はコンバージェンス（収束）\(\epsilon / 2\)コンディションに対する\(N\)に選べる |
| メトリックスペース（計量付き空間）に対して、コンバージェント（収束する）シーケンス（列）はコーシーシーケンス（列）であり、コーシー\(\epsilon\)コンディションに対する\(N\)はコンバージェンス（収束）\(\epsilon / 2\)コンディションに対する\(N\)に選べることの記述/証明 |
| 1082: コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）およびユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）であるシーケンス（列）たちのシーケンス（列）に対して、もしも、シーケンス（列）たちの各対応する項たちのシーケンス（列）がコンバージ（収束）する場合、コンバージェンス（収束ポイント）たちのシーケンス（列）はシーケンス（列）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たちのシーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）する |
| コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）およびユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）であるシーケンス（列）たちのシーケンス（列）に対して、もしも、シーケンス（列）たちの各対応する項たちのシーケンス（列）がコンバージ（収束）する場合、コンバージェンス（収束ポイント）たちのシーケンス（列）はシーケンス（列）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たちのシーケンス（列）のコンバージェンス（収束ポイント）へコンバージ（収束）することの記述/証明 |
| 1083: \(\mathbb{R}\)上のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、もしも、各項がナンバー（数）より小さいか大きい場合、コンバージェンス（収束ポイント）はナンバー（数字）に等しいか、それぞれそれより小さいか大きいかである |
| \(\mathbb{R}\)上のコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、もしも、各項がナンバー（数）より小さいか大きい場合、コンバージェンス（収束ポイント）はナンバー（数字）に等しいか、それぞれそれより小さいか大きいかであることの記述/証明 |
| 1084: フィールド（体）およびプライムナンバー（素数）に対して、もしも、フィールド（体）のキャラクタリスティックが0であるかプライムナンバー（素数）より大きい場合、フィールド（体）はエクステンデッド（拡張された）されて1のプリミティブプライムナンバー（素数）-乗ルート（根）を持つようにできる |
| フィールド（体）およびプライムナンバー（素数）に対して、もしも、フィールド（体）のキャラクタリスティックが0であるかプライムナンバー（素数）より大きい場合、フィールド（体）はエクステンデッド（拡張された）されて1のプリミティブプライムナンバー（素数）-乗ルート（根）を持つようにできることの記述/証明 |
| 1085: 2個のナチュラルナンバー（自然数）たちに対して、ナンバー（数字）たちのコモンディバイザー（公約数）たちのセット（集合）は、大きくない方のナンバー（数）とナンバー（数字）たちの非負差のコモンディバイザー（公約数）たちのセット（集合）である |
| 2個のナチュラルナンバー（自然数）たちに対して、ナンバー（数字）たちのコモンディバイザー（公約数）たちのセット（集合）は、大きくない方のナンバー（数）とナンバー（数字）たちの非負差のコモンディバイザー（公約数）たちのセット（集合）であることの記述/証明 |
| 1086: 2個のナチュラルナンバー（自然数）たちでそのグレイテストコモンディバイザー（最大公約数）が1であるものたちに対して、何らか2個のインテジャー（整数）たちでインテジャー（整数）たち係数たちによるナチュラルナンバー（自然数）たちのリニアコンビネーション（線形結合）が1であるものがある |
| 2個のナチュラルナンバー（自然数）たちでそのグレイテストコモンディバイザー（最大公約数）が1であるものたちに対して、何らか2個のインテジャー（整数）たちでインテジャー（整数）たち係数たちによるナチュラルナンバー（自然数）たちのリニアコンビネーション（線形結合）が1であるものがあることの記述/証明 |
| 1087: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群） |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義 |
| 1088: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、各ポイントにおけるリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）で同一ディメンション（次元）\(k\)を持つものに対して、ローカルトリビアライゼーションたちのセット（集合）候補はランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）を決定する |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、各ポイントにおけるリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）で同一ディメンション（次元）\(k\)を持つものに対して、ローカルトリビアライゼーションたちのセット（集合）候補はランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）を決定することの記述/証明 |
| 1089: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものおよびベクトルたちサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）へノーマル（垂直）であるベクトルたちのセット（集合）はコンプリメンタリー（補）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものおよびベクトルたちサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）へノーマル（垂直）であるベクトルたちのセット（集合）はコンプリメンタリー（補）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）であることの記述/証明 |
| 1090: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化） |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義 |
| 1091: ベクトルたちスペース（空間）からベクトルたちサブスペース（部分空間）の中へのプロジェクション（射影） |
| ベクトルたちスペース（空間）からベクトルたちサブスペース（部分空間）の中へのプロジェクション（射影）の定義 |
| 1092: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものからベクトルたちサブスペース（部分空間）の中へのオーソノーマル（正規直交）プロジェクション（射影） |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものからベクトルたちサブスペース（部分空間）の中へのオーソゴーナル（直交）プロジェクション（射影）の定義 |
| 1093: ベクトルたちスペース（空間）および2個のサブスペース（部分空間）たちに対して、もしも、サブスペース（部分空間）たちの中へのプロジェクション（射影）たちの合計がサブスペース（部分空間）の中へのプロジェクション（射影）である場合、2個のサブスペース（部分空間）たちは互いへプロジェクション（射影）たちに関してパーペンディキュラー（垂直）である |
| ベクトルたちスペース（空間）および2個のサブスペース（部分空間）たちに対して、もしも、サブスペース（部分空間）たちの中へのプロジェクション（射影）たちの合計がサブスペース（部分空間）の中へのプロジェクション（射影）である場合、2個のサブスペース（部分空間）たちは互いへプロジェクション（射影）たちに関してパーペンディキュラー（垂直）であることの記述/証明 |
| 1094: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対するシャウダーベーシス（基底） |
| ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対するシャウダーベーシス（基底）の定義 |
| 1095: ヒルベルトスペース（空間）、カウンタブル（可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）、ヒルベルトスペース（空間）の要素に対して、サブセット（部分集合）のリニアコンビネーション（線形結合）で要素とサブセット（部分集合）要素のインナープロダクト（内積）コエフィシェント（係数）たちを持つものはコンバージ（収束）する |
| ヒルベルトスペース（空間）、カウンタブル（可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）、ヒルベルトスペース（空間）の要素に対して、サブセット（部分集合）のリニアコンビネーション（線形結合）で要素とサブセット（部分集合）要素のインナープロダクト（内積）コエフィシェント（係数）たちを持つものはコンバージ（収束）することの記述/証明 |
| 1096: セパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）はオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）を持つ |
| セパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）はオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）を持つことの記述/証明 |
| 1097: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののサブセット（部分集合）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補） |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののサブセット（部分集合）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）の定義 |
| 1098: ベクトルたちスペース（空間）に対して、非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って |
| ベクトルたちスペース（空間）に対して、非空サブセット（部分集合）はベクトルたちサブスペース（部分空間）である、もしも、サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）の下にクローズド（閉じている）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1099: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）はクローズド（閉）ベクトルたちサブスペース（部分空間）である |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、ベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）はクローズド（閉）ベクトルたちサブスペース（部分空間）であることの記述/証明 |
| 1100: トポロジカルスペース（空間）でメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）されたものに対して、スペース（空間）はカウンタブル（可算）ベーシス（基底）を持つ、もしも、スペース（空間）はセパラブル（可分）である場合、そしてその場合に限って |
| トポロジカルスペース（空間）でメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）されたものに対して、スペース（空間）はカウンタブル（可算）ベーシス（基底）を持つ、もしも、スペース（空間）はセパラブル（可分）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1101: トポロジカルスペース（空間）でメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なもの、サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）をトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、サブセット（部分集合）をメトリックサブスペース（計量部分空間）によってインデュースト（誘導された）なトポロジカルスペース（空間）とみなしたものに等しい |
| トポロジカルスペース（空間）でメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なもの、サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）をトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、サブセット（部分集合）をメトリックサブスペース（計量部分空間）によってインデュースト（誘導された）なトポロジカルスペース（空間）とみなしたものに等しいことの記述/証明 |
| 1102: セパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）でメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なものに対して、トポロジカルサブスペース（部分空間）はセパラブル（可分）である |
| セパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）でメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なものに対して、トポロジカルサブスペース（部分空間）はセパラブル（可分）であることの記述/証明 |
| 1103: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの、サブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）はサブスペース（部分空間）である |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの、サブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）はサブスペース（部分空間）であることの記述/証明 |
| 1104: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、もしも、スペース（空間）はセパラブル（可分）である場合、それはアンカウンタブル（不可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）を持たない |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、もしも、スペース（空間）はセパラブル（可分）である場合、それはアンカウンタブル（不可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）を持たないことの記述/証明 |
| 1105: セパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）、オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）であるようにエクスパンド（拡張）できる |
| セパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）、オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）シャウダーベーシス（基底）であるようにエクスパンド（拡張）できることの記述/証明 |
| 1106: セパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）によって生成されたサブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）のダブルオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）である |
| セパラブル（可分）ヒルベルトスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）によって生成されたサブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）のダブルオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）であることの記述/証明 |
| 1107: リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものおよび\(2\)個のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なユニット（単位）ベクトルたちで角度\(\theta\)を持つものたちに対して、平面上で第1ベクトルから角度\(\theta'\)を持つユニット（単位）ベクトルはこれである |
| リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものおよび\(2\)個のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なユニット（単位）ベクトルたちで角度\(\theta\)を持つものたちに対して、平面上で第1ベクトルから角度\(\theta'\)を持つユニット（単位）ベクトルはこれであることの記述/証明 |
| 1108: \(\mathbb{R}\)上のインターバル（区間）およびその上のコンティニュアス（連続）ファンクション（関数）でそのインテグラル（積分）がファイナイト（有限）なものに対して、ファンクション（関数）を、コンティニュアス（連続）で望むインテグラル（積分）を持つように変えるある方法 |
| \(\mathbb{R}\)上のインターバル（区間）およびその上のコンティニュアス（連続）ファンクション（関数）でそのインテグラル（積分）がファイナイト（有限）なものに対して、ファンクション（関数）を、コンティニュアス（連続）で望むインテグラル（積分）を持つように変えるある方法の記述/証明 |
| 1109: 'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）は、ベーシス（基底）をベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップしマッピングをリニア（線形）に拡張するマップ（写像）である |
| 'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）は、ベーシス（基底）をベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップしマッピングをリニア（線形）に拡張するマップ（写像）であることの記述/証明 |
| 1110: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) (p, q)-テンソルたちバンドル（束） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \((p, q)\)-テンソルたちバンドル（束）の定義 |
| 1111: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) (p, q)-テンソルたちフィールド（場） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \((p, q)\)-テンソルたちフィールド（場）の定義 |
| 1112: フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個の同一ベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するアンチシンメトリック（反対称）テンソルたちスペース（空間） |
| フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個の同一ベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するアンチシンメトリック（反対称）-テンソルたちスペース（空間）の定義 |
| 1113: テンソルたちのテンソルプロダクト（積）のアンチシンメトライゼーション（反対称化）はアンチシンメトライゼーション（反対称化）たちをシーケンシャルに適用したものである |
| テンソルたちのテンソルプロダクト（積）のアンチシンメトライゼーション（反対称化）はアンチシンメトライゼーション（反対称化）たちをシーケンシャルに適用したものであることの記述/証明 |
| 1114: サブセット（部分集合）のコンティニュアス（連続）マップ（写像）プリイメージ（前像）のクロージャー（閉包）は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のプリイメージ（前像）に包含されるが、必ずしもそれに等しくない |
| サブセット（部分集合）のコンティニュアス（連続）マップ（写像）プリイメージ（前像）のクロージャー（閉包）は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のプリイメージ（前像）に包含されるが、必ずしもそれに等しくないことの記述/証明 |
| 1115: オープンマップ（開写像） |
| オープンマップ（開写像）の定義 |
| 1116: トポロジカルスペース（空間）たち間のオープン（開）サージェクティブ（全射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のベーシス（基底）のイメージ（像）はコドメイン（余域）のベーシス（基底）である |
| トポロジカルスペース（空間）たち間のオープン（開）サージェクティブ（全射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のベーシス（基底）のイメージ（像）はコドメイン（余域）のベーシス（基底）であることの記述/証明 |
| 1117: トポロジカルスペース（空間）たち間のマップ（写像）はオープン（開）である、もしも、マップ（写像）はサージェクティブ（全射）でドメイン（定義域）のオープンサブセット（開部分集合）はコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）である場合、しかし、その場合に限ってではない |
| トポロジカルスペース（空間）たち間のマップ（写像）はオープン（開）である、もしも、マップ（写像）はサージェクティブ（全射）でドメイン（定義域）のオープンサブセット（開部分集合）はコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）である場合、しかし、その場合に限ってではない、ことの記述/証明 |
| 1118: サブセット（部分集合）のコンティニュアス（連続）マップ（写像）プリイメージ（前像）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のプリイメージ（前像）に等しい、もしも、マップ（写像）はオープン（開）である場合、特に、もしも、マップ（写像）はサージェクティブ（全射）でドメイン（定義域）のオープンサブセット（開部分集合）はコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）である場合 |
| サブセット（部分集合）のコンティニュアス（連続）マップ（写像）プリイメージ（前像）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のプリイメージ（前像）に等しい、もしも、マップ（写像）はオープン（開）である場合、特に、もしも、マップ（写像）はサージェクティブ（全射）でドメイン（定義域）のオープンサブセット（開部分集合）はコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）のプリイメージ（前像）である場合、の記述/証明 |
| 1119: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペア |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアの定義 |
| 1120: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペア |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントの周りの\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアの定義 |
| 1121: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、インテリアポイント（内点）は\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアを持ち、バウンダリーポイント（境界点）はオープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアを持つ |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、インテリアポイント（内点）は\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアを持ち、バウンダリーポイント（境界点）はオープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアを持つことの記述/証明 |
| 1122: マップ（写像）に対して、レンジ（値域）のカーディナリティ（濃度）はドメイン（定義域）のカーディナリティ（濃度）に等しいかそれより小さい |
| マップ（写像）に対して、レンジ（値域）のカーディナリティ（濃度）はドメイン（定義域）のカーディナリティ（濃度）に等しいかそれより小さいことの記述/証明 |
| 1123: 3個のアイテム（項）たちに対するアソシアティビティ（結合性）は任意のアソシエーション（結合）を許す |
| 3個のアイテム（項）たちに対するアソシアティビティ（結合性）は任意のアソシエーション（結合）を許すことの記述/証明 |
| 1124: ベクトルたちスペース（空間）およびコベクトルたちコンビネーションに対して、パーミュテーテッド（並べ替えられた）コベクトルたちコンビネーションのテンソルプロダクト（積）にアンチシンメトライゼーション（反対称化）を行なったものを、同様にパーミュテーテッド（並べ替えられた）ベクトルたちコンビネーションへ作用させたものは、コベクトルたちコンビネーションのテンソルプロダクト（積）にアンチシンメトライゼーション（反対称化）を行なったものを、ベクトルたちコンビネーションへ作用させたものである |
| ベクトルたちスペース（空間）およびコベクトルたちコンビネーションに対して、パーミュテーテッド（並べ替えられた）コベクトルたちコンビネーションのテンソルプロダクト（積）にアンチシンメトライゼーション（反対称化）を行なったものを、同様にパーミュテーテッド（並べ替えられた）ベクトルたちコンビネーションへ作用させたものは、コベクトルたちコンビネーションのテンソルプロダクト（積）にアンチシンメトライゼーション（反対称化）を行なったものを、ベクトルたちコンビネーションへ作用させたものであることの記述/証明 |
| 1125: シーケンス（列）のパーミュテーション（並べ替え）の2つの可能な意味たち |
| シーケンス（列）のパーミュテーション（並べ替え）の2つの可能な意味たちの記述/証明 |
| 1126: マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積） |
| マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）の定義 |
| 1127: \(q\)-コベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）でデュアルベーシス（基底）の昇順要素たちのウェッジプロダクト（楔積）たちからなるものを持つ |
| \(q\)-コベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）でデュアルベーシス（基底）の昇順要素たちのウェッジプロダクト（楔積）たちからなるものを持つことの記述/証明 |
| 1128: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\(q\)-コベクトルたちスペース（空間） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）の定義 |
| 1129: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対するマップ（写像）-リレーテッド（関連付けられた）ベクトルたちフィールド（場）たちペア |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対するマップ（写像）-リレーテッド（関連付けられた）ベクトルたちフィールド（場）たちペアの定義 |
| 1130: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）のトップ-コベクトルたちスペース（空間） |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）のトップ-コベクトルたちスペース（空間）の定義 |
| 1131: ベクトルたちスペース（空間）に対するトップ-コベクトルは、ベクトルたちスペース（空間）に対するオーダード（順序付き）ベーシス（基底）に対する結果によって決定される |
| ベクトルたちスペース（空間）に対するトップ-コベクトルは、ベクトルたちスペース（空間）に対するオーダード（順序付き）ベーシス（基底）に対する結果によって決定されることの記述/証明 |
| 1132: インデックスセット（集合）に対して、インデックスセット（集合）の\(n\)-乗による合計は、\(n\)-シンメトリックグループ（対称群）のクウォシェント（商）セット（集合）による合計の\(n\)-乗インデックスセット（集合）のクウォシェント（商）セット（集合）による合計である |
| インデックスセット（集合）に対して、インデックスセット（集合）の\(n\)-乗による合計は、\(n\)-シンメトリックグループ（対称群）のクウォシェント（商）セット（集合）による合計の\(n\)-乗インデックスセット（集合）のクウォシェント（商）セット（集合）による合計であることの記述/証明 |
| 1133: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間ディフェオモーフィズムおよびドメイン（定義域）上方の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）に対して、コドメイン（余域）上方の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）でドメイン（定義域）上方のベクトルたちフィールド（場）にマップ（写像）-リレーテッド（関連付けられた）なユニークなものがある |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間ディフェオモーフィズムおよびドメイン（定義域）上方の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）に対して、コドメイン（余域）上方の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）でドメイン（定義域）上方のベクトルたちフィールド（場）にマップ（写像）-リレーテッド（関連付けられた）なユニークなものがあることの記述/証明 |
| 1134: トポロジカルスペース（空間）からリング（環）またはモジュール（加群）の中へのコンパクトにサポートされたマップ（写像） |
| トポロジカルスペース（空間）からリング（環）またはモジュール（加群）の中へのコンパクトにサポートされたマップ（写像）の定義 |
| 1135: ローカルディフェオモーフィズムはオープン（開）である |
| ローカルディフェオモーフィズムはオープン（開）であることの記述/証明 |
| 1136: カバリングマップ（写像）はプロパーである、もしも、シートたちのカーディナリティ（濃度）がファイナイト（有限）である場合、そしてその場合に限って |
| カバリングマップ（写像）はプロパーである、もしも、シートたちのカーディナリティ（濃度）がファイナイト（有限）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1137: ユニティのパーティション、トポロジカルスペース（空間）のオープンカバー（開被覆）に従属する |
| パーティションのユニティ、トポロジカルスペース（空間）のオープンカバー（開被覆）に従属する、の定義 |
| 1138: %リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間） |
| %リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義 |
| 1139: マトリックス（行列）のトランスポーズ（転置） |
| マトリックス（行列）のトランスポーズ（転置）の定義 |
| 1140: コンプレックス（複素）マトリックス（行列）のコンプレックスコンジュゲート（複素共役） |
| コンプレックス（複素）マトリックス（行列）のコンプレックスコンジュゲート（複素共役）の定義 |
| 1141: コンプレックス（複素）マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役） |
| コンプレックス（複素）マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）の定義 |
| 1142: エルミートマトリックス（行列） |
| エルミートマトリックス（行列）の定義 |
| 1143: ポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列） |
| ポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）の定義 |
| 1144: コミュータティブ（可換）リング（環）に対して、マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトランスポーズ（転置）は、構成要素たちのトランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）である |
| コミュータティブ（可換）リング（環）に対して、マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトランスポーズ（転置）は、構成要素たちのトランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であることの記述/証明 |
| 1145: コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のコンプレックスコンジュゲート（複素共役）は、構成要素たちのコンプレックスコンジュゲート（複素共役）たちのプロダクト（積）である |
| コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のコンプレックスコンジュゲート（複素共役）は、構成要素たちのコンプレックスコンジュゲート（複素共役）たちのプロダクト（積）であることの記述/証明 |
| 1146: コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のエルミートコンジュゲート（共役）は、構成要素たちのエルミートコンジュゲート（共役）たちの逆順によるプロダクト（積）である |
| コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のエルミートコンジュゲート（共役）は、構成要素たちのエルミートコンジュゲート（共役）たちの逆順によるプロダクト（積）であることの記述/証明 |
| 1147: コンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、マトリックス（行列）のコンプレックスコンジュゲート（複素共役）のインバース（逆）はマトリックス（行列）のインバース（逆）のコンプレックスコンジュゲート（複素共役）である |
| コンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、マトリックス（行列）のコンプレックスコンジュゲート（複素共役）のインバース（逆）はマトリックス（行列）のインバース（逆）のコンプレックスコンジュゲート（複素共役）であることの記述/証明 |
| 1148: コミュータティブ（可換）リング（環）に対して、マトリックス（行列）のトランスポーズ（転置）のインバース（逆）はマトリックス（行列）のインバース（逆）のトランスポーズ（転置）である |
| コミュータティブ（可換）リング（環）に対して、マトリックス（行列）のトランスポーズ（転置）のインバース（逆）はマトリックス（行列）のインバース（逆）のトランスポーズ（転置）であることの記述/証明 |
| 1149: コンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）のインバース（逆）はマトリックス（行列）のインバース（逆）のエルミートコンジュゲート（共役）である |
| コンプレックス（複素）マトリックス（行列）に対して、マトリックス（行列）のエルミートコンジュゲート（共役）のインバース（逆）はマトリックス（行列）のインバース（逆）のエルミートコンジュゲート（共役）であることの記述/証明 |
| 1150: ユニタリマトリックス（行列） |
| ユニタリマトリックス（行列）の定義 |
| 1151: オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列） |
| オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）の定義 |
| 1152: ポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）はアイデンティティ（単位行列）にトランスフォーム（変換）できる、ユニタリマトリックス（行列）に右からポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）を掛けたものによって |
| ポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）はアイデンティティ（単位行列）にトランスフォーム（変換）できる、ユニタリマトリックス（行列）に右からポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）を掛けたものによって、ことの記述/証明 |
| 1153: ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つもの、非ゼロベクトル、リアル（実）ポジティブデフィニット（正定値）シンメトリック（対称）マトリックス（行列）に対して、ベクトルで非ゼロベクトルとのインナープロダクト（内積）を最大化する、マトリックス（行列）によるそのバイリニアフォーム（二次形式）が1であるという条件のもとに、ものはこれである |
| ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つもの、非ゼロベクトル、リアル（実）ポジティブデフィニット（正定値）シンメトリック（対称）マトリックス（行列）に対して、ベクトルで非ゼロベクトルとのインナープロダクト（内積）を最大化する、マトリックス（行列）によるそのバイリニアフォーム（二次形式）が1であるという条件のもとに、ものはこれであることの記述/証明 |
| 1154: ノンディジェネレート（非縮退）エルミートマトリックス（行列） |
| ノンディジェネレート（非縮退）エルミートマトリックス（行列）の定義 |
| 1155: コミュータティブ（可換）リング（環）に対して、レクタンギュラー（長方）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のデターミナント（行列式）のいくつかの展開たち |
| コミュータティブ（可換）リング（環）に対して、レクタンギュラー（長方）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のデターミナント（行列式）のいくつかの展開たちの記述/証明 |
| 1156: チャートドメイン（定義域）の、ポイントに関する\(J\)-スライス |
| チャートドメイン（定義域）の、ポイントに関する\(J\)-スライスの定義 |
| 1157: チャートドメイン（定義域）、のポイントに関する\(J\)-ハーフ-スライス |
| チャートドメイン（定義域）、のポイントに関する\(J\)-ハーフ-スライスの定義 |
| 1158: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）でローカル-スライス条件を満たすもの |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）でローカル-スライス条件を満たすものの定義 |
| 1159: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）でローカル-スライス-または-ハーフ-スライス条件を満たすもの |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）でローカル-スライス-または-ハーフ-スライス条件を満たすものの定義 |
| 1160: ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）はハウスドルフである |
| ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）はハウスドルフであることの記述/証明 |
| 1161: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）でローカル-スライス条件を満たすものは、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、サブスペース（部分空間）トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）でローカル-スライス条件を満たすものは、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、サブスペース（部分空間）トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って、ことの記述/証明 |
| 1162: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）でローカル-スライス-または-ハーフ-スライス条件を満たすものは、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、サブスペース（部分空間）トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）でローカル-スライス-または-ハーフ-スライス条件を満たすものは、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、サブスペース（部分空間）トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って、ことの記述/証明 |
| 1163: \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）およびオープン（開）ドメイン（定義域）上方のローカル\(C^\infty\)セクションたちのセット（集合）でリニアにインディペンデント（線形独立）であるものに対して、ドメイン（定義域）の各ポイントの、より小さいかもしれないオープンネイバーフッド（開近傍）でその上方にあるローカル\(C^\infty\)フレームでリストリクテッド（制限された）セクションたちセット（集合）を含むものがあるものがある |
| \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）およびオープン（開）ドメイン（定義域）上方のローカル\(C^\infty\)セクションたちのセット（集合）でリニアにインディペンデント（線形独立）であるものに対して、ドメイン（定義域）の各ポイントの、より小さいかもしれないオープンネイバーフッド（開近傍）でその上方にあるローカル\(C^\infty\)フレームでリストリクテッド（制限された）セクションたちセット（集合）を含むものがあるものがあることの記述/証明 |
| 1164: ランク\(k'\)のベクトルたちバンドル（束）のランク\(k\)のベクトルたちサブバンドル（束） |
| ランク\(k'\)のベクトルたちバンドル（束）のランク\(k\)のベクトルたちサブバンドル（束）の定義 |
| 1165: ランク\(k'\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）のランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドル（束） |
| ランク\(k'\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）のランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドル（束）の定義 |
| 1166: \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、ファイバーたちの\(k\)-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）でローカル\(C^\infty\)フレームたちを許すものは\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドルである、サブスペース（部分空間）トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って |
| \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、ファイバーたちの\(k\)-ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）でローカル\(C^\infty\)フレームたちを許すものは\(C^\infty\)ベクトルたちサブバンドルである、サブスペース（部分空間）トポロジーおよびアダプティングアトラスを持って、ことの記述/証明 |
| 1167: 1-コベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）は1-コベクトルたちのサイン（符号）付き並べ替えられたテンソルプロダクト（積）たちの和である |
| 1-コベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）は1-コベクトルたちのサイン（符号）付き並べ替えられたテンソルプロダクト（積）たちの和であることの記述/証明 |
| 1168: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-コベクトルたちバンドル（束） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-コベクトルたちバンドル（束）の定義 |
| 1169: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上方の\(q\)-フォーム |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上方の\(q\)-フォームの定義 |
| 1170: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\((0, q)\)-テンソルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちへのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\((0, q)\)-テンソルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちへのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1171: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(q\)-フォームは\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちへのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(q\)-フォームは\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちへのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1172: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、\(C^\infty\)フォームたちのウェッジプロダクト（楔積）は\(C^\infty\)フォームである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、\(C^\infty\)フォームたちのウェッジプロダクト（楔積）は\(C^\infty\)フォームであることの記述/証明 |
| 1173: \(C^\infty\) 1-フォームを\(C^\infty\)カーブに沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）へ作用させたものはカーブのドメイン（定義域）上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）である |
| \(C^\infty\) 1-フォームを\(C^\infty\)カーブに沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）へ作用させたものはカーブのドメイン（定義域）上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）であることの記述/証明 |
| 1174: トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されている |
| トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されていることの記述/証明 |
| 1175: トポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、サブセット（部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）がオープンサブセット（開部分集合）サブスペース（部分空間）上でクローズド（閉）である場合、インターセクション（共通集合）はサブセット（部分空間）のクロージャー（閉包）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）に等しい |
| トポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、サブセット（部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）がオープンサブセット（開部分集合）サブスペース（部分空間）上でクローズド（閉）である場合、インターセクション（共通集合）はサブセット（部分空間）のクロージャー（閉包）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）に等しいことの記述/証明 |
| 1176: トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、もしも、そのサブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）がベーススペース（空間）上でクローズド（閉）である場合、当該クロージャー（閉包）はベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）である |
| トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、もしも、そのサブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）がベーススペース（空間）上でクローズド（閉）である場合、当該クロージャー（閉包）はベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）であることの記述/証明 |
| 1177: トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）のベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）である |
| トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）のベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）であることの記述/証明 |
| 1178: トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、もしも、サブスペース（部分空間）がクローズド（閉）である場合、サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）はベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）である |
| トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、もしも、サブスペース（部分空間）がクローズド（閉）である場合、サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）はベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）であることの記述/証明 |
| 1179: ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）である |
| ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 1180: トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）上のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでスペース（空間）上でコンバージする（収束する）ものに対して、コンバージェンス（収束ポイント）はサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある |
| トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）上のダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでスペース（空間）上でコンバージする（収束する）ものに対して、コンバージェンス（収束ポイント）はサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にあることの記述/証明 |
| 1181: トポロジカルスペース（空間）たち間のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）のイメージ（像）のクロージャー（閉包）内に包含されている |
| トポロジカルスペース（空間）たち間のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）のイメージ（像）のクロージャー（閉包）内に包含されていることの記述/証明 |
| 1182: トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）のベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）に包含されている |
| トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）のベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）に包含されていることの記述/証明 |
| 1183: グループ（群）のサブセット（部分集合）のインバース（逆） |
| グループ（群）のサブセット（部分集合）のインバース（逆）の定義 |
| 1184: グループ（群）のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合） |
| グループ（群）のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）の定義 |
| 1185: グループ（群）に対して、サブセット（部分集合）と、2個のサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のプロダクト（積）は、第1サブセット（部分集合）と第2サブセット（部分集合）のプロダクト（積）と第1サブセット（部分集合）と第3サブセット（部分集合）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）に包含されているが、必ずしもそれに等しくない |
| グループ（群）に対して、サブセット（部分集合）と、2個のサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のプロダクト（積）は、第1サブセット（部分集合）と第2サブセット（部分集合）のプロダクト（積）と第1サブセット（部分集合）と第3サブセット（部分集合）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）に包含されているが、必ずしもそれに等しくないことの記述/証明 |
| 1186: グループ（群）およびサブセット（部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のインバース（逆）はサブセット（部分集合）たちのインバース（逆）たちのインターセクション（共通集合）である |
| グループ（群）およびサブセット（部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のインバース（逆）はサブセット（部分集合）たちのインバース（逆）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明 |
| 1187: グループ（群）およびサブセット（部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のインバース（逆）はサブセット（部分集合）たちのインバース（逆）たちのユニオン（和集合）である |
| グループ（群）およびサブセット（部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のインバース（逆）はサブセット（部分集合）たちのインバース（逆）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 1188: グループ（群）に対して、サブセット（部分集合）のインバース（逆）はインバース（逆）マップ（写像）の下でサブセット（部分集合）のイメージ（像）であり、サブセット（部分集合）のダブルインバース（逆）はサブセット（部分集合）である |
| グループ（群）に対して、サブセット（部分集合）のインバース（逆）はインバース（逆）マップ（写像）の下でサブセット（部分集合）のイメージ（像）であり、サブセット（部分集合）のダブルインバース（逆）はサブセット（部分集合）であることの記述/証明 |
| 1189: トポロジカルグループ（群） |
| トポロジカルグループ（群）の定義 |
| 1190: トポロジカルスペース（空間）およびポイントに対して、ポイントのファイナイト（有限）個のネイバーフッド（近傍）たちのインターセクション（共通集合）はポイントのネイバーフッド（近傍）である |
| トポロジカルスペース（空間）およびポイントに対して、ポイントのファイナイト（有限）個のネイバーフッド（近傍）たちのインターセクション（共通集合）はポイントのネイバーフッド（近傍）であることの記述/証明 |
| 1191: プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、プロジェクション（射影）はコンティニュアス（連続）である |
| プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、プロジェクション（射影）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 1192: トポロジカルスペース（空間）に対して、コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちでポイントを共有しているものたちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）である |
| トポロジカルスペース（空間）に対して、コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちでポイントを共有しているものたちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）であることの記述/証明 |
| 1193: グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たちのセット（集合）は\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である |
| グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たちのセット（集合）は\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることの記述/証明 |
| 1194: グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、ファイナイト（有限）マルチプリケーション（積）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である |
| グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、ファイナイト（有限）マルチプリケーション（積）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 1195: グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)のネイバーフッド（近傍）、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）に対して、\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でそのナチュラルナンバー（自然数）乗がネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがある |
| グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、\(1\)のネイバーフッド（近傍）、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）に対して、\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でそのナチュラルナンバー（自然数）乗がネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあることの記述/証明 |
| 1196: グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちである |
| グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであることの記述/証明 |
| 1197: グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））、要素、要素のネイバーフッド（近傍）に対して、\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で要素に\(1\)のネイバーフッド（近傍）を左から掛けて\(1\)のネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものが要素のネイバーフッド（近傍）に包含されているものがある |
| グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））、要素、要素のネイバーフッド（近傍）に対して、\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で要素に\(1\)のネイバーフッド（近傍）を左から掛けて\(1\)のネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものが要素のネイバーフッド（近傍）に包含されているものがあることの記述/証明 |
| 1198: トポロジカルグループ（群）に対して、\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）はこれらのプロパティたちを満たす、そして、ポイントに\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）を掛けたものはポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である |
| トポロジカルグループ（群）に対して、\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）はこれらのプロパティたちを満たす、そして、ポイントに\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）を掛けたものはポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）であることの記述/証明 |
| 1199: トポロジカルグループ（群）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）は、サブセット（部分集合）に\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の要素たちを掛けたものたちのインターセクション（共通集合）である |
| トポロジカルグループ（群）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）は、サブセット（部分集合）に\(1\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）の要素たちを掛けたものたちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明 |
| 1200: グループ（群）に対して、サブセット（部分集合）たちのこのセット（集合）は、トポロジカルベーシス（基底）を構成してトポロジカルグループ（群）を構成し、これをポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）として持つ |
| グループ（群）に対して、サブセット（部分集合）たちのこのセット（集合）は、トポロジカルベーシス（基底）を構成してトポロジカルグループ（群）を構成し、これをポイントにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）として持つことの記述/証明 |
| 1201: コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）のラフ（粗い）セクション（断面） |
| コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）のラフ（粗い）セクション（断面）の定義 |
| 1202: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のラフ（粗い）ベクトルたちフィールド（場） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のラフ（粗い）ベクトルたちフィールド（場）の定義 |
| 1203: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のラフ（粗い）\((p, q)\)-テンソルたちフィールド（場） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のラフ（粗い）\((p, q)\)-テンソルたちフィールド（場）の定義 |
| 1204: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のラフ（粗い）\(q\)-フォーム |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のラフ（粗い）\(q\)-フォームの定義 |
| 1205: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）のデターミナント（行列式） |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）のデターミナント（行列式）の定義 |
| 1206: 同一フィールド（体）上方のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちは'ベクトルたちスペース（空間）たち – リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、もしも、それらは同一ディメンション（次元）を持つ場合、そしてその場合に限って |
| 同一フィールド（体）上方のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、もしも、それらは同一ディメンション（次元）を持つ場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1207: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアたちおよび\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアたちの内側チャートたちによるカウンタブル（可算）カバーがある |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、\(r'\)-\(r\)-オープンボール（開球）たちチャートたちペアたちおよび\(r'\)-\(r\)-オープンハーフボール（開半球）たちチャートたちペアたちの内側チャートたちによるカウンタブル（可算）カバーがあることの記述/証明 |
| 1208: フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）とフィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）の間にカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち – リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）がある |
| フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）とフィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）の間にカノニカル（正典）'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があることの記述/証明 |
| 1209: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のリーマニアンメトリック（計量） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のリーマニアンメトリック（計量）の定義 |
| 1210: リーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き |
| リーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付きの定義 |
| 1211: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）のコベクトルの視覚化 |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）のコベクトルの視覚化の記述/証明 |
| 1212: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のコタンジェントベクトルたちバンドル（束） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のコタンジェントベクトルたちバンドル（束）の定義 |
| 1213: タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）からコタンジェントベクトルたちバンドル（束）の上へのリーマニアンメトリック（計量）に関する'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像） |
| タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）からコタンジェントベクトルたちバンドル（束）の上へのリーマニアンメトリック（計量）に関する'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義 |
| 1214: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のリーマニアンメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）\(C^\infty\) \((2, 0)\)-テンソルたちフィールド（場） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のリーマニアンメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）\(C^\infty\) \((2, 0)\)-テンソルたちフィールド（場）の定義 |
| 1215: リーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、テンソルコンポーネントたちのインデックスを下げるか上げるかすることが行なっていること |
| リーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、テンソルコンポーネントたちのインデックスを下げるか上げるかすることが行なっていることの記述/証明 |
| 1216: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、2個のチャートたちのインターセクション（共通集合）上にて、'コーディネート（座標）たちのトランジション（遷移）たちのコンポジション（合成）のパーシャルデリバティブ（偏微分）に対するチェイン（鎖）ルールのように見える'ルールが成立する |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、2個のチャートたちのインターセクション（共通集合）上にて、'コーディネート（座標）たちのトランジション（遷移）たちのコンポジション（合成）のパーシャルデリバティブ（偏微分）に対するチェイン（鎖）ルールのように見える'ルールが成立することの記述/証明 |
| 1217: リーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のグラディエント（傾き） |
| リーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のグラディエント（傾き）の定義 |
| 1218: マトリックス（行列）の\((j, l)\)-マイナー（小行列） |
| マトリックス（行列）の\((j, l)\)-マイナー（小行列）の定義 |
| 1219: リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式） |
| リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）の定義 |
| 1220: スクウェアマトリックス（正方行列）の\((j, l)\)-コファクター（余因子） |
| スクウェアマトリックス（正方行列）の\((j, l)\)-コファクター（余因子）の定義 |
| 1221: コミュータティブ（可換）リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）のラプラス展開およびその系 |
| コミュータティブ（可換）リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）のラプラス展開およびその系の記述/証明 |
| 1222: リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のインバース（逆） |
| リング（環）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のインバース（逆）の定義 |
| 1223: コミュータティブ（可換）リング（環）上方にて、スクウェアマトリックス（正方行列）たちのプロダクト（積）のデターミナント（行列式）はマトリックス（行列）たちのデターミナント（行列式）たちのプロダクト（積）である |
| コミュータティブ（可換）リング（環）上方にて、スクウェアマトリックス（正方行列）たちのプロダクト（積）のデターミナント（行列式）はマトリックス（行列）たちのデターミナント（行列式）たちのプロダクト（積）であることの記述/証明 |
| 1224: フィールド（体）上方にて、スクウェアマトリックス（正方行列）はインバース（逆）を持つ、もしも、そのデターミナント（行列式）が非ゼロである場合、そしてその場合に限って、そして、インバース（逆）はこれである |
| フィールド（体）上方にて、スクウェアマトリックス（正方行列）はインバース（逆）を持つ、もしも、そのデターミナント（行列式）が非ゼロである場合、そしてその場合に限って、そして、インバース（逆）はこれであることの記述/証明 |
| 1225: リング（環）上方のマトリックス（行列）のランク（階数） |
| リング（環）上方のマトリックス（行列）のランク（階数）の定義 |
| 1226: 連立リニア（線形）方程式に対するクラメールのルール |
| 連立リニア（線形）方程式に対するクラメールのルールの記述/証明 |
| 1227: ベクトルたちスペース（空間）およびフィールド（体）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）がベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そしてその場合に限って |
| ベクトルたちスペース（空間）およびフィールド（体）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）でディメンショナル（次元）がベクトルたちスペース（空間）のディメンショナル（次元）に等しいかそれより小さいものに対して、マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である、もしも、それが、ベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）をベクトルたちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）なセット（集合）へマップする場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1228: ポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）である |
| ポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）であることの記述/証明 |
| 1229: コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） |
| コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義 |
| 1230: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）を取り、各ベクトルに対して絶対コンポーネントたちの合計を取ることは、ノルムである |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）を取り、各ベクトルに対して絶対コンポーネントたちの合計を取ることは、ノルムであることの記述/証明 |
| 1231: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（正典）トポロジー |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（正典）トポロジーの定義 |
| 1232: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）トポロジーでコーディネート（座標）たちスペース（空間）に基づいた定義されたものは、ベーシス（基底）の選択に依存しない |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）トポロジーでコーディネート（座標）たちスペース（空間）に基づいた定義されたものは、ベーシス（基底）の選択に依存しないことの記述/証明 |
| 1233: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 1234: コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）はカノニカル（正典）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）と見なすことができる |
| コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）はカノニカル（正典）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）と見なすことができることの記述/証明 |
| 1235: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたちはイクイバレント（等値）である |
| ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたちはイクイバレント（等値）であることの記述/証明 |
| 1236: トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、その絶対マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である |
| トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、その絶対マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 1237: トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、その絶対マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である |
| トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、その絶対マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 1238: テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法） |
| テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）の定義 |
| 1239: アンチシンメトリック（反対称）-テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法） |
| アンチシンメトリック（反対称）-テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）の定義 |
| 1240: \(1\)-コベクトルたちのテンソルプロダクト（積）のアンチシンメトライゼーション（反対称化）または(1\)-コベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）は、各コベクトルをベクトルに作用させ残りのアンチシンメトライゼーション（反対称化）またはウェッジプロダクト（楔積）を取ったものに符号を付けたものたちの合計である |
| \(1\)-コベクトルたちのテンソルプロダクト（積）のアンチシンメトライゼーション（反対称化）または(1\)-コベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）は、各コベクトルをベクトルに作用させ残りのアンチシンメトライゼーション（反対称化）またはウェッジプロダクト（楔積）を取ったものに符号を付けたものたちの合計であることの記述/証明 |
| 1241: タイルたちで、その辺たちが右または下マップ（写像）たちであるものたちに対して、タイルたちの穴無しコンフィギュレーションはコミュータティブ（可換）である、もしも、各タイルはコミュータティブ（可換）である場合、そして、その場合に限って |
| タイルたちで、その辺たちが右または下マップ（写像）たちであるものたちに対して、タイルたちの穴無しコンフィギュレーションはコミュータティブ（可換）である、もしも、各タイルはコミュータティブ（可換）である場合、そして、その場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1242: マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のリアル（実）パラメータによるデリベイション（微分）はライプニッツルールを満たす |
| マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のリアル（実）パラメータによるデリベイション（微分）はライプニッツルールを満たすことの記述/証明 |
| 1243: セット（集合）に対して、サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）たちの束のインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）たちの束のユニオン（和集合）である |
| セット（集合）に対して、サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）たちの束のインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）たちの束のユニオン（和集合）であることの記述/証明 |
| 1244: リニア（線形）マップ（写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、カーネル（核）は\(0\)-サブスペース（部分空間）である場合、そして、その場合に限って |
| リニア（線形）マップ（写像）はインジェクティブ（単射）である、もしも、カーネル（核）は\(0\)-サブスペース（部分空間）である場合、そして、その場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1245: \(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれである |
| \(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1246: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおける\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびポイントにおける\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、チャートたちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1247: \(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、コベクトルの、ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれである |
| \(q\)-コベクトルたちスペース（空間）に対して、コベクトルの、ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）たちに関するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明 |
| 1248: モジュール（加群）たち間のインジェクティブ（単射）リニアマップ（線形写像）に対して、ドメイン（定義域）のリニアにインディペンデント（線形独立）なサブセット（部分集合）のイメージ（像）はリニアにインディペンデント（線形独立）である |
| モジュール（加群）たち間のインジェクティブ（単射）リニアマップ（線形写像）に対して、ドメイン（定義域）のリニアにインディペンデント（線形独立）なサブセット（部分集合）のイメージ（像）はリニアにインディペンデント（線形独立）であることの記述/証明 |
| 1249: トポロジカルスペース（空間）たち間のバイジェクション（全単射）でベーシス（基底）要素をベーシス（基底）要素にマップし、ベーシス（基底）要素をベーシス（基底）要素へマップし返すものは、ホメオモーフィズム（位相同形写像）である |
| トポロジカルスペース（空間）たち間のバイジェクション（全単射）でベーシス（基底）要素をベーシス（基底）要素にマップし、ベーシス（基底）要素をベーシス（基底）要素へマップし返すものは、ホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明 |
| 1250: オープンマップ（開写像）のコドメインリストリクション（制限）はオープン（開）である |
| オープンマップ（開写像）のコドメインリストリクション（制限）はオープン（開）であることの記述/証明 |
| 1251: オープンマップ（開写像）のコドメインエクステンション（拡張）は必ずしもオープン（開）ではない |
| オープンマップ（開写像）のコドメインエクステンション（拡張）は必ずしもオープン（開）ではないことの記述/証明 |
| 1252: オープンサブスペース（開部分空間）の中へのオープンマップ（開写像）のコドメインエクステンション（拡張）はオープン（開）である |
| オープンサブスペース（開部分空間）の中へのオープンマップ（開写像）のコドメインエクステンション（拡張）はオープン（開）であることの記述/証明 |
| 1253: オープンマップ（開写像）のオープンサブスペース（開部分空間）に関するドメイン（定義域）リストリクション（制限）はオープン（開）である |
| オープンマップ（開写像）のオープンサブスペース（開部分空間）に関するドメイン（定義域）リストリクション（制限）はオープン（開）であることの記述/証明 |
| 1254: オープンマップ（開写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）は必ずしもオープン（開）でない |
| オープンマップ（開写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）は必ずしもオープン（開）でないことの記述/証明 |
| 1255: オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き |
| オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義 |
| 1256: オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のオリエンテーション-維持ローカルディフェオモーフィズム |
| オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のオリエンテーション-維持ローカルディフェオモーフィズムの定義 |
| 1257: オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のオリエンテーション-反転ローカルディフェオモーフィズム |
| オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のオリエンテーション-反転ローカルディフェオモーフィズムの定義 |
| 1258: オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のローカルディフェオモーフィズムはローカルにオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転である |
| オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のローカルディフェオモーフィズムはローカルにオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であることの記述/証明 |
| 1259: オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のローカルディフェオモーフィズムは、コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）上方においてオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転である |
| オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間のローカルディフェオモーフィズムは、コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）上方においてオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であることの記述/証明 |
| 1260: オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からコネクテッド（連結された）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の上への2-シートたち持ち\(C^\infty\)カバリングマップ（写像）に対して、コドメイン（余域）の各イーブンにカバーされたトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）に対して、マップ（写像）の2個のリストリクション（制限）たちは、オープンサブセット（開部分集合）上に統一して同じか異なるオリエンテーションたちをインデュース（誘導）する |
| オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からコネクテッド（連結された）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の上への2-シートたち持ち\(C^\infty\)カバリングマップ（写像）に対して、コドメイン（余域）の各イーブンにカバーされたトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）に対して、マップ（写像）の2個のリストリクション（制限）たちは、オープンサブセット（開部分集合）上に統一して同じか異なるオリエンテーションたちをインデュース（誘導）することの記述/証明 |
| 1261: モジュール（加群）のファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちの合計 |
| モジュール（加群）のファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちの合計の定義 |
| 1262: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの恣意的なサブセット（部分集合）たち間のローカルディフェオモーフィズム、ドメイン（定義域）ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）、ポイントイメージ（像）のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、ディフェオモーフィズムはネイバーフッド（近傍）たち内に包含されるように選ぶことができる |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちの恣意的なサブセット（部分集合）たち間のローカルディフェオモーフィズム、ドメイン（定義域）ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）、ポイントイメージ（像）のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、ディフェオモーフィズムはネイバーフッド（近傍）たち内に包含されるように選ぶことができることの記述/証明 |
| 1263: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間サージェクティブ（全射）ローカルディフェオモーフィズムおよびコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）に沿ったセクション（断面）に対して、セクション（断面）は\(C^\infty\)である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間サージェクティブ（全射）ローカルディフェオモーフィズムおよびコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）に沿ったセクション（断面）に対して、セクション（断面）は\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 1264: グループ（群）右アクション |
| グループ（群）右アクションの定義 |
| 1265: グループ（群）右アクションに対応するグループ（群）左アクション |
| グループ（群）右アクションに対応するグループ（群）左アクションの定義 |
| 1266: グループ（群）左アクションに対応するグループ（群）右アクション |
| グループ（群）左アクションに対応するグループ（群）右アクションの定義 |
| 1267: ファイナイト（有限）-プロダクト（積）インナープロダクト（内積） |
| ファイナイト（有限）-プロダクト（積）インナープロダクト（内積）の定義 |
| 1268: ファイナイト（有限）-プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）でファイナイト（有限）-プロダクト（積）インナープロダクト（内積）を持つものに対して、プロダクト（積）インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）トポロジーは、インナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）トポロジーたちのプロダクトトポロジーである |
| ファイナイト（有限）-プロダクト（積）ベクトルたちスペース（空間）でファイナイト（有限）-プロダクト（積）インナープロダクト（内積）を持つものに対して、プロダクト（積）インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）トポロジーは、インナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）トポロジーたちのプロダクトトポロジーであることの記述/証明 |
| 1269: ファイナイト（有限）-プロダクト（積）ヒルベルトスペース（空間） |
| ファイナイト（有限）-プロダクト（積）ヒルベルトスペース（空間）の定義 |
| 1270: リーグループ（群） |
| リーグループ（群）の定義 |
| 1271: リーサブグループ（部分群） |
| リーサブグループ（部分群）の定義 |
| 1272: リーグループ（群）およびダブルプロダクト（積）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）タンジェント（接）スペース（空間）から構成要素タンジェント（接）スペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち – リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、アイソモーフィズム（同形写像）のインバース（逆）の後にアイデンティティ（単位要素）におけるマルチプリケーション（乗法）のディファレンシャルを行なうコンポジション（合成）は引数たちのアディション（合計）である |
| リーグループ（群）およびダブルプロダクト（積）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）タンジェント（接）スペース（空間）から構成要素タンジェント（接）スペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、アイソモーフィズム（同形写像）のインバース（逆）の後にアイデンティティ（単位要素）におけるマルチプリケーション（乗法）のディファレンシャルを行なうコンポジション（合成）は引数たちのアディション（合計）であることの記述/証明 |
| 1273: リーグループ（群）に対して、インバージョン（逆）のアイデンティティ（単位要素）におけるディファレンシャルは引数のインバージョン（逆）である |
| リーグループ（群）に対して、インバージョン（逆）のアイデンティティ（単位要素）におけるディファレンシャルは引数のインバージョン（逆）であることの記述/証明 |
| 1274: メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントたちのシーケンス（列）に対して、シーケンス（列）はコーシーである、もしも、各\(\epsilon\)に対して、\(N\)で、\((N + 1)\)-番目ポイントと各後続ポイントの間のディスタンス（距離）が\(\epsilon\)より小さいものがある場合、そしてその場合に限って |
| メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントたちのシーケンス（列）に対して、シーケンス（列）はコーシーである、もしも、各\(\epsilon\)に対して、\(N\)で、\((N + 1)\)-番目ポイントと各後続ポイントの間のディスタンス（距離）が\(\epsilon\)より小さいものがある場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1275: ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）に対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である |
| ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）に対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 1276: リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）を取り各ベクトルに対して絶対コンポーネントたちの合計を取るものはノルムである |
| リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）を取り各ベクトルに対して絶対コンポーネントたちの合計を取るものはノルムであることの記述/証明 |
| 1277: 異なるグループ（群）右アクションたちに対して、対応するグループ（群）左アクションたちは異なる |
| 異なるグループ（群）右アクションたちに対して、対応するグループ（群）左アクションたちは異なることの記述/証明 |
| 1278: 異なるグループ（群）左アクションたちに対して、対応するグループ（群）右アクションたちは異なる |
| 異なるグループ（群）左アクションたちに対して、対応するグループ（群）右アクションたちは異なることの記述/証明 |
| 1279: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）のノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間） |
| ノルム付きベクトルたちスペース（空間）のノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）の定義 |
| 1280: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、ノルムがインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）である場合、ノルムをインデュース（誘導する）インナープロダクト（内積）はこのようにユニークである |
| ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、ノルムがインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）である場合、ノルムをインデュース（誘導する）インナープロダクト（内積）はこのようにユニークであることの記述/証明 |
| 1281: ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、ノルムがパラレログラム（平行四辺形）法則を満たす場合、ノルムはこのようにユニークなインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）である |
| ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、もしも、ノルムがパラレログラム（平行四辺形）法則を満たす場合、ノルムはこのようにユニークなインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）であることの記述/証明 |
| 1282: メトリックスペース（計量付き空間）たち間リプシッツマップ（写像）はコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップする |
| メトリックスペース（計量付き空間）たち間リプシッツマップ（写像）はコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップすることの記述/証明 |
| 1283: サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）とサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である |
| サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）とサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明 |
| 1284: コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）からメトリックスペース（計量付き空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）はコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップする |
| コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）からメトリックスペース（計量付き空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）はコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップすることの記述/証明 |
| 1285: トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアス（連続）インジェクション（単射）に対して、サブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）のイメージ（像）のバウンダリー（境界）内に包含されている |
| トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアス（連続）インジェクション（単射）に対して、サブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）のイメージ（像）はサブセット（部分集合）のイメージ（像）のバウンダリー（境界）内に包含されていることの記述/証明 |
| 1286: トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）セット（集合）のインターセクション（共通集合）のバウンダリー（境界）はサブセット（部分集合）たちのバウンダリー（境界）たちのユニオン（和集合）内に包含されている |
| トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限）セット（集合）のインターセクション（共通集合）のバウンダリー（境界）はサブセット（部分集合）たちのバウンダリー（境界）たちのユニオン（和集合）内に包含されていることの記述/証明 |
| 1287: セット（集合）に対して、トポロジーたちのインターセクション（共通集合）はトポロジーである |
| セット（集合）に対して、トポロジーたちのインターセクション（共通集合）はトポロジーであることの記述/証明 |
| 1288: セット（集合）に対して、トポロジーたちのユニオン（和集合）は必ずしもトポロジーではない |
| セット（集合）に対して、トポロジーたちのユニオン（和集合）は必ずしもトポロジーではないことの記述/証明 |
| 1289: コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）マップ（写像） |
| コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）マップ（写像）の定義 |
| 1290: ベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）を持つ |
| ベクトルたちスペース（空間）はベーシス（基底）を持つことの記述/証明 |
| 1291: リニアマップ（線形写像）からコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）マップ（写像）を構成するある方法 |
| リニアマップ（線形写像）からコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）マップ（写像）を構成するある方法の記述/証明 |
| 1292: コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）バイジェクション（全単射）に対して、インバース（逆）はコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）である |
| コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）バイジェクション（全単射）に対して、インバース（逆）はコンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）であることの記述/証明 |
| 1293: 'メトリックスペース（計量付き空間）'アイソメトリー（等長写像） |
| 'メトリックスペース（計量付き空間）'アイソメトリー（等長写像）の定義 |
| 1294: 'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像） |
| 'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）の定義 |
| 1295: リニア（線形）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）はコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップする |
| リニア（線形）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）はコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップすることの記述/証明 |
| 1296: コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）はコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップする |
| コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）はコーシーシーケンス（列）をコーシーシーケンス（列）へマップすることの記述/証明 |
| 1297: バイジェクティブ（全単射）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）に対して、インバース（逆）は'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）である |
| バイジェクティブ（全単射）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）に対して、インバース（逆）は'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）であることの記述/証明 |
| 1298: 'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち – リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たち'カテゴリー（圏） |
| 'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たち'カテゴリー（圏）の定義 |
| 1299: 'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち – リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、もしも、ドメイン（定義域）がコンプリート（完備）である場合、コドメイン（余域）はコンプリート（完備）である |
| 'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、もしも、ドメイン（定義域）がコンプリート（完備）である場合、コドメイン（余域）はコンプリート（完備）であることの記述/証明 |
| 1300: バイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）に対して、もしも、ドメイン（定義域）がコンプリート（完備）である場合、コドメイン（余域）はコンプリート（完備）である |
| バイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）'ノルム付きベクトルたちスペース（空間）'アイソメトリー（等長写像）に対して、もしも、ドメイン（定義域）がコンプリート（完備）である場合、コドメイン（余域）はコンプリート（完備）であることの記述/証明 |
| 1301: セット（集合）からトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）に対して、オープンサブセット（開部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）はトポロジーである |
| セット（集合）からトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）に対して、オープンサブセット（開部分集合）たちのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）はトポロジーであることの記述/証明 |
| 1302: ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちは同一カーディナリティを持つ |
| ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちは同一カーディナリティを持つことの記述/証明 |
| 1303: モジュール（加群）に対して、非空サブセット（部分集合）はサブモジュール（部分加群）である、もしも、サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）下で閉じている場合、そしてその場合に限って |
| モジュール（加群）に対して、非空サブセット（部分集合）はサブモジュール（部分加群）である、もしも、サブセット（部分集合）はリニアコンビネーション（線形結合）下で閉じている場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1304: ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のランク（階数） |
| ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のランク（階数）の定義 |
| 1305: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）およびリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のより大きな-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）の中への拡大はリニアにインディペンデント（線形独立）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）およびリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のより大きな-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちモジュール（加群）の中への拡大はリニアにインディペンデント（線形独立）であることの記述/証明 |
| 1306: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）およびリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）は要素数-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）の中へ縮小できる、コンポーネントたちを選ぶことによって |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）およびリニアにインディペンデント（線形独立）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）は要素数-ディメンショナル（次元）列たちまたは行たちベクトルたちスペース（空間）の中へ縮小できる、コンポーネントたちを選ぶことによって、ことの記述/証明 |
| 1307: フィールド（体）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、列たちまたは行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って |
| フィールド（体）上方のスクウェアマトリックス（正方行列）のデターミナント（行列式）は非ゼロである、もしも、列たちまたは行たちのセット（集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1308: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）に対して、マップ（写像）のランク（階層）はベーシス（基底）たちに関するリプレゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）のランク（階数）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）に対して、マップ（写像）のランク（階層）はベーシス（基底）たちに関するリプレゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）のランク（階数）であることの記述/証明 |
| 1309: 'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、その、サブスペース（部分空間）ドメイン（定義域）および対応するレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は'ベクトルたちスペース（空間）たち – リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である |
| 'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、その、サブスペース（部分空間）ドメイン（定義域）および対応するレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明 |
| 1310: ベクトルたちスペース（空間）間のリニアマップ（線形写像）および'ベクトルたちスペース（空間）たち – リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、リニアマップ（線形写像）をアイソモーフィズム（同形写像）の後に行なうコンポジション（合成）は必ずしもリニアマップ（線形写像）のランク（階数）を持たない |
| ベクトルたちスペース（空間）間のリニアマップ（線形写像）および'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、リニアマップ（線形写像）をアイソモーフィズム（同形写像）の後に行なうコンポジション（合成）は必ずしもリニアマップ（線形写像）のランク（階数）を持たないことの記述/証明 |
| 1311: ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）、リニアマップ（線形写像）のドメイン（定義域）の上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）、リニアマップ（線形写像）のコドメイン（余域）のスーパースペース（超空間）からの'ベクトルたちスペース（空間）たち – リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、リニアマップ（線形写像）を第1アイソモーフィズム（同形写像）の後に行ない第2アイソモーフィズム（同形写像）の前に行なうコンポジションはリニアマップ（線形写像）のランク（階数）を持つ |
| ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）、リニアマップ（線形写像）のドメイン（定義域）の上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）、リニアマップ（線形写像）のコドメイン（余域）のスーパースペース（超空間）からの'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、リニアマップ（線形写像）を第1アイソモーフィズム（同形写像）の後に行ない第2アイソモーフィズム（同形写像）の前に行なうコンポジションはリニアマップ（線形写像）のランク（階数）を持つことの記述/証明 |
| 1312: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）つき、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるランク（階数） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）つき、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるランク（階数）の定義 |
| 1313: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、もしも、マップ（写像）はコンスタントランク（階数）\(0\)を持つ場合、マップ（写像）はコネクテッド（連結された）コンポーネント上方でコンスタントである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、もしも、マップ（写像）はコンスタントランク（階数）\(0\)を持つ場合、マップ（写像）はコネクテッド（連結された）コンポーネント上方でコンスタントであることの記述/証明 |
| 1314: リーグループ（群）たち間2個のリーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第1ホモモーフィズム（準同形写像）と第2ホモモーフィズム（準同形写像）のマルチプリカティブインバース（乗法逆）のマルチプリケーション（乗法）としてのマップ（写像）はコンスタントランク（階数）を持つ |
| リーグループ（群）たち間2個のリーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第1ホモモーフィズム（準同形写像）と第2ホモモーフィズム（準同形写像）のマルチプリカティブインバース（乗法逆）のマルチプリケーション（乗法）としてのマップ（写像）はコンスタントランク（階数）を持つことの記述/証明 |
| 1315: リーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、もしも、アイデンティティ（単位要素）におけるディファレンシャルが\(0\)である場合、マップ（写像）はコネクテッド（連結された）コンポーネント上方でコンスタントである |
| リーグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対して、もしも、アイデンティティ（単位要素）におけるディファレンシャルが\(0\)である場合、マップ（写像）はコネクテッド（連結された）コンポーネント上方でコンスタントであることの記述/証明 |
| 1316: マップ（写像）たちのコンポジション（合成） |
| マップ（写像）たちのコンポジション（合成）の定義 |
| 1317: モジュール（加群）たち間リニアマップ（線形写像）および第1マップ（写像）のコドメイン（余域）のスーパーモジュール（超加群）からモジュール（加群）の中へのリニアマップ（線形写像）に対して、第1マップ（写像）の後に第2マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）はリニア（線形）である |
| モジュール（加群）たち間リニアマップ（線形写像）および第1マップ（写像）のコドメイン（余域）のスーパーモジュール（超加群）からモジュール（加群）の中へのリニアマップ（線形写像）に対して、第1マップ（写像）の後に第2マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）はリニア（線形）であることの記述/証明 |
| 1318: コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間） |
| コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義 |
| 1319: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）間リニアマップ（線形写像）に対して、コンポーネントベクトルたちスペース（空間）間の対応するマップ（写像）はリニア（線形）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）間リニアマップ（線形写像）に対して、コンポーネントベクトルたちスペース（空間）間の対応するマップ（写像）はリニア（線形）であることの記述/証明 |
| 1320: コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）である |
| コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 1321: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たちでカノニカル（正典）トポロジーたちを持つものたち間リニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たちでカノニカル（正典）トポロジーたちを持つものたち間リニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 1322: コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされたコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はトポロジカルサブスペース（部分空間）である |
| コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされたコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はトポロジカルサブスペース（部分空間）であることの記述/証明 |
| 1323: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ベクトルたちサブスペース（部分空間）のカノニカル（正典）トポロジーはサブスペース（部分空間）トポロジーである |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ベクトルたちサブスペース（部分空間）のカノニカル（正典）トポロジーはサブスペース（部分空間）トポロジーであることの記述/証明 |
| 1324: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たちでカノニカル（正典）トポロジーたちを持つものたち間リニアインジェクション（線形単射）に対して、そのコドメイン（余域）リストリクション（制限）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たちでカノニカル（正典）トポロジーたちを持つものたち間リニアインジェクション（線形単射）に対して、そのコドメイン（余域）リストリクション（制限）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明 |
| 1325: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものおよびオープンサブセット（開部分集合）に対して、オープンサブセット（開部分集合）のサブセット（部分集合）で各要素はそのインバース（逆）をオープンサブセット（開部分集合）内に持つというものはオープンサブセット（開部分集合）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものおよびオープンサブセット（開部分集合）に対して、オープンサブセット（開部分集合）のサブセット（部分集合）で各要素はそのインバース（逆）をオープンサブセット（開部分集合）内に持つというものはオープンサブセット（開部分集合）であることの記述/証明 |
| 1326: トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）に関するバウンダリー（境界）はサブセット（部分集合）のスーパースペース（超空間）に関するバウンダリー（境界）内に包含されている |
| トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）に関するバウンダリー（境界）はサブセット（部分集合）のスーパースペース（超空間）に関するバウンダリー（境界）内に包含されていることの記述/証明 |
| 1327: セパラブル（可分）メトリックスペース（計量付き空間）はセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）である |
| セパラブル（可分）メトリックスペース（計量付き空間）はセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）であることの記述/証明 |
| 1328: メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）セパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のオープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバー（部分被覆）を持つ |
| メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）セパラブル（可分）トポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のオープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバー（部分被覆）を持つことの記述/証明 |
| 1329: パーミュテーション（並び替え）で、\(j\)-番目項目を\(l\)-番目位置へ移動するもの、に対して、サイン（符号）は、対応する、\(j\)-番目項目が欠けたパーミュテーション（並び替え）のサイン（符号）の\((-1)^{l – j}\)倍である |
| パーミュテーション（並び替え）で、\(j\)-番目項目を\(l\)-番目位置へ移動するもの、に対して、サイン（符号）は、対応する、\(j\)-番目項目が欠けたパーミュテーション（並び替え）のサイン（符号）の\((-1)^{l - j}\)倍であることの記述/証明 |
| 1330: キャラクタリスティックが非\(2\)のフィールド（体）および非ゼロ要素\(b\)に対して、\(b\)プラス\(r'\)を\(b\)プラス\(r\)で割ったものが\(b\)マイナス\(r'\)を\(b\)マイナス\(r\)で割ったものに等しい、もしも、\(r'\)は\(r\)に等しい場合、そしてその場合に限って |
| キャラクタリスティックが非\(2\)のフィールド（体）および非ゼロ要素\(b\)に対して、\(b\)プラス\(r'\)を\(b\)プラス\(r\)で割ったものが\(b\)マイナス\(r'\)を\(b\)マイナス\(r\)で割ったものに等しい、もしも、\(r'\)は\(r\)に等しい場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1331: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合） |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）の定義 |
| 1332: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）である |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）であることの記述/証明 |
| 1333: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットに対して、コンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントたちのコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、その時、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされる |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットに対して、コンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントたちのコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、その時、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされることの記述/証明 |
| 1334: カウンタブル（可算）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものはオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）を持つ |
| カウンタブル（可算）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものはオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）を持つことの記述/証明 |
| 1335: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）トポロジーはカノニカル（正典）トポロジーである |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）トポロジーはカノニカル（正典）トポロジーであることの記述/証明 |
| 1336: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つものに対して、スペース（空間）はコンプリート（完備）である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つものに対して、スペース（空間）はコンプリート（完備）であることの記述/証明 |
| 1337: モジュール（加群）、ファイナイト（有限）数サブモジュール（部分加群）たちのダイレクトサムとして |
| モジュール（加群）、ファイナイト（有限）数サブモジュール（部分加群）たちのダイレクトサムとして、の定義 |
| 1338: ヒルベルトスペース（空間）およびそのクローズドベクトルたちサブスペース（閉部分空間）に対して、スペース（空間）は、ベクトルたちスペース（空間）、サブスペース（部分空間）およびそのオーソゴーナルコンプリメント（直交補）のダイレクトサムとして、である |
| ヒルベルトスペース（空間）およびそのクローズドベクトルたちサブスペース（閉部分空間）に対して、スペース（空間）は、ベクトルたちスペース（空間）、サブスペース（部分空間）およびそのオーソゴーナルコンプリメント（直交補）のダイレクトサムとして、であることの記述/証明 |
| 1339: リニアマップ（線形写像）のカーネル（核） |
| リニアマップ（線形写像）のカーネル（核）の定義 |
| 1340: リニアマップ（線形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のサブモジュール（部分加群）である |
| リニアマップ（線形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のサブモジュール（部分加群）であることの記述/証明 |
| 1341: ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）である |
| ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のベクトルたちサブスペース（部分空間）であることの記述/証明 |
| 1342: ヒルベルトスペース（空間）およびそのノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対して、ヒルベルトスペース（空間）からノルム付きコベクトルたちスペース（空間）の上へのカノニカル（正典）バイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）がある |
| ヒルベルトスペース（空間）およびそのノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対して、ヒルベルトスペース（空間）からノルム付きコベクトルたちスペース（空間）の上へのカノニカル（正典）バイジェクティブ（全単射）コンプレックス（複素）-コンジュゲート（共役）-リニア（線形）アイソメトリー（等長写像）があることの記述/証明 |
| 1343: ヒルベルトスペース（空間）のノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）はヒルベルトスペース（空間）である |
| ヒルベルトスペース（空間）のノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）はヒルベルトスペース（空間）であることの記述/証明 |
| 1344: リーアルジェブラ（多元環）のアイディアル（イデアル） |
| リーアルジェブラ（多元環）のアイディアル（イデアル）の定義 |
| 1345: リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のアイディアル（イデアル）である |
| リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）はドメイン（定義域）のアイディアル（イデアル）であることの記述/証明 |
| 1346: リーアルジェブラ（多元環）のリーアルジェブラ（多元環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リーアルジェブラ（多元環） |
| リーアルジェブラ（多元環）のリーアルジェブラ（多元環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リーアルジェブラ（多元環）の定義 |
| 1347: リーアルジェブラ（多元環）に対して、アイディアル（イデアル）は、リーアルジェブラ（多元環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リーアルジェブラ（多元環）の上へのカノニカル（正典）リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）である |
| リーアルジェブラ（多元環）に対して、アイディアル（イデアル）は、リーアルジェブラ（多元環）のアイディアル（イデアル）によるクウォシェント（商）リーアルジェブラ（多元環）の上へのカノニカル（正典）リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）であることの記述/証明 |
| 1348: グループ（群）に対して、ノーマルサブグループ（正規部分群）は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の上へのカノニカル（正典）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）である |
| グループ（群）に対して、ノーマルサブグループ（正規部分群）は、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるクウォシェント（商）グループ（群）の上へのカノニカル（正典）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のカーネル（核）であることの記述/証明 |
| 1349: グループ（群）およびサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることはイクイバレンスリレーション（同値関係）である |
| グループ（群）およびサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であることの記述/証明 |
| 1350: グループ（群）およびサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることによるクウォシェント（商）セット（集合）はグループ（群）である、サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である場合に限って |
| グループ（群）およびサブグループ（部分群）に対して、同一コセット（剰余類）内にいることによるクウォシェント（商）セット（集合）はグループ（群）である、サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1351: 非空トポロジカルスペース（空間）に対して、オープン（空）デンス（密）サブセット（部分集合）のコンプリメント（補）はデンス（密）でない |
| 非空トポロジカルスペース（空間）に対して、オープン（空）デンス（密）サブセット（部分集合）のコンプリメント（補）はデンス（密）でないことの記述/証明 |
| 1352: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびファイナイト（有限）数のベクトルたちサブスペース（部分空間）たちに対して、もしも、各サブスペース（部分空間）と残りの合計が\(\{0\}\)でありサブスペース（部分空間）たちのディメンション（次元）たちの合計がスペース（空間）のディメンション（次元）である場合、スペース（空間）は、スペース（空間）、サブスペース（部分空間）たちのダイレクトサムとして、である |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびファイナイト（有限）数のベクトルたちサブスペース（部分空間）たちに対して、もしも、各サブスペース（部分空間）と残りの合計が\(\{0\}\)でありサブスペース（部分空間）たちのディメンション（次元）たちの合計がスペース（空間）のディメンション（次元）である場合、スペース（空間）は、スペース（空間）、サブスペース（部分空間）たちのダイレクトサムとして、であることの記述/証明 |
| 1353: ベクトルたちサブスペース（部分空間）はコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）を持つ |
| ベクトルたちサブスペース（部分空間）はコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）を持つことの記述/証明 |
| 1354: リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、インナープロダクト（内積）を選ぶことができる |
| リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、インナープロダクト（内積）を選ぶことができることの記述/証明 |
| 1355: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものおよび原点のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、原点のオープンネイバーフッド（開近傍）でその2個のポイントたちの差は原点の第1のネイバーフッド（近傍）内に包含されているものを得る方法 |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものおよび原点のオープンネイバーフッド（開近傍）に対して、原点のオープンネイバーフッド（開近傍）でその2個のポイントたちの差は原点の第1のネイバーフッド（近傍）内に包含されているものを得る方法の記述/証明 |
| 1356: 同一フィールド（体）上方のベクトルたちスペース（空間）たちは'ベクトルたちスペース（空間）たち – リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、もしも、それらが同一ディメンション（次元）を持つ場合、そしてその場合に限って |
| 同一フィールド（体）上方のベクトルたちスペース（空間）たちは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、もしも、それらが同一ディメンション（次元）を持つ場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1357: インフィニット（無限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）の "デュアル"は、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するベーシス（基底）では決してない |
| インフィニット（無限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）の "デュアル"は、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するベーシス（基底）では決してないことの記述/証明 |
| 1358: インフィニット（無限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）の "デュアル"は、必ずしもノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するベーシス（基底）ではない |
| インフィニット（無限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）の "デュアル"は、必ずしもノルム付きコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するベーシス（基底）ではないことの記述/証明 |
| 1359: ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、プロジェクション（射影）は\(C^\infty\)である |
| ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、プロジェクション（射影）は\(C^\infty\)であることの記述/証明 |
| 1360: トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（像）はコネクテッド（連結された）である |
| トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（像）はコネクテッド（連結された）であることの記述/証明 |
| 1361: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、はローカルにコネクテッド（連結された）である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、はローカルにコネクテッド（連結された）であることの記述/証明 |
| 1362: トポロジカルスペース（空間）およびコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちでそのユニオン（和集合）はディスコネクテッド（連結されていない）であるものたちに対して、サブスペース（部分空間）たちの非空サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はディスコネクテッド（連結されていない）である |
| トポロジカルスペース（空間）およびコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちでそのユニオン（和集合）はディスコネクテッド（連結されていない）であるものたちに対して、サブスペース（部分空間）たちの非空サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はディスコネクテッド（連結されていない）であることの記述/証明 |
| 1363: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、アンチシンメトリック（反対称的）テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）のスタンダードベーシス（標準基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）これである |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、アンチシンメトリック（反対称的）テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）のスタンダードベーシス（標準基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）これであることの記述/証明 |
| 1364: トポロジカルスペース（空間）の\(G_\delta\)サブセット（部分集合） |
| トポロジカルスペース（空間）の\(G_\delta\)サブセット（部分集合）の定義 |
| 1365: メトリックスペース（計量付き空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）は\(G_\delta\)である |
| メトリックスペース（計量付き空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）は\(G_\delta\)であることの記述/証明 |
| 1366: ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）はローカルにコンパクトである |
| ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）はローカルにコンパクトであることの記述/証明 |
| 1367: トポロジカルスペース（空間）からメトリックスペース（計量付き空間）の中へのマップ（写像）たちのユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列） |
| トポロジカルスペース（空間）からメトリックスペース（計量付き空間）の中へのマップ（写像）たちのユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）の定義 |
| 1368: トポロジカルスペース（空間）からメトリックスペース（計量付き空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、コンバージェンス（収束マップ（写像））はコンティニュアス（連続）である |
| トポロジカルスペース（空間）からメトリックスペース（計量付き空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、コンバージェンス（収束マップ（写像））はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 1369: 同一トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのファイナイト（有限）数のコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちに対して、最大または最小マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である |
| 同一トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのファイナイト（有限）数のコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちに対して、最大または最小マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明 |
| 1370: ポイントにおける\(q\)-コベクトルたちの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）によるプルバック |
| ポイントにおける\(q\)-コベクトルたちの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）によるプルバックの定義 |
| 1371: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対するマップ（写像）-リレーテッド（関連付けられた）ベクトルたちフィールド（場）たちおよびコドメイン（余域）上の\(C^\infty\) \((0, q)\)-テンソルたちフィールド（場）または\(q\)-フォームに対して、テンソルたちフィールド（場）のベクトルたちフィールド（場）によるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）のプルバックは、テンソルたちフィールド（場）のプルバックのベクトルたちフィールド（場）によるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対するマップ（写像）-リレーテッド（関連付けられた）ベクトルたちフィールド（場）たちおよびコドメイン（余域）上の\(C^\infty\) \((0, q)\)-テンソルたちフィールド（場）または\(q\)-フォームに対して、テンソルたちフィールド（場）のベクトルたちフィールド（場）によるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）のプルバックは、テンソルたちフィールド（場）のプルバックのベクトルたちフィールド（場）によるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）であることの記述/証明 |
| 1372: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のエクステリアデリバティブ（微分係数） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のエクステリアデリバティブ（微分係数）の定義 |
| 1373: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のエクステリアデリベーション（微分）はライプニッツルールを満たす |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ファンクション（関数）のエクステリアデリベーション（微分）はライプニッツルールを満たすことの記述/証明 |
| 1374: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-フォームでファンクション（関数）に\(q\)個のファンクション（関数）たちのエクステリアデリバティブ（微分係数）たちのウェッジプロダクト（楔積）を掛けたものとして2つの形で表わされるものに対して、頭のファンクション（関数）たちをそのエクステリアデリバティブ（微分係数）たちで置換した表現たちは同一オブジェクトを代表する |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-フォームでファンクション（関数）に\(q\)個のファンクション（関数）たちのエクステリアデリバティブ（微分係数）たちのウェッジプロダクト（楔積）を掛けたものとして2つの形で表わされるものに対して、頭のファンクション（関数）たちをそのエクステリアデリバティブ（微分係数）たちで置換した表現たちは同一オブジェクトを代表することの記述/証明 |
| 1375: コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のコンプレックス（複素）ユークリディアンインナープロダクト（内積） |
| コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のコンプレックス（複素）ユークリディアンインナープロダクト（内積）の定義 |
| 1376: コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のコンプレックス（複素）ユークリディアンノルム |
| コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のコンプレックス（複素）ユークリディアンノルムの定義 |
| 1377: コンプレックス（複素）ユークリディアンセット（集合）上のコンプレックス（複素）ユークリディアンメトリック（計量） |
| コンプレックス（複素）ユークリディアンセット（集合）上のコンプレックス（複素）ユークリディアンメトリック（計量）の定義 |
| 1378: コンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間） |
| コンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義 |
| 1379: バンデルモンデデターミナント（行列式） |
| バンデルモンデデターミナント（行列式）の定義 |
| 1380: サインたちとコサインたちで互いに素な角速度たちを持つものたちのリニアコンビネーション（線形結合）に対して、もしも、それがコンスタントである場合、コエフィシェント（係数）たちは\(0\)である |
| サインたちとコサインたちで互いに素な角速度たちを持つものたちのリニアコンビネーション（線形結合）に対して、もしも、それがコンスタントである場合、コエフィシェント（係数）たちは\(0\)であることの記述/証明 |
| 1381: フィールド（体）上方のファイナイト（有限）数変数たちを持つポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）がコンスタントに\(0\)である場合、コエフィシェント（係数）たちは\(0\)である |
| フィールド（体）上方のファイナイト（有限）数変数たちを持つポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）がコンスタントに\(0\)である場合、コエフィシェント（係数）たちは\(0\)であることの記述/証明 |
| 1382: ファイナイト（有限）数変数たちおよびそれらのコンプレックスコンジュゲート（複素共役）たちを持つコンプレックス（複素）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）はコンスタントに\(0\)である場合、コエフィシェント（係数）たちは\(0\)である |
| ファイナイト（有限）数変数たちおよびそれらのコンプレックスコンジュゲート（複素共役）たちを持つコンプレックス（複素）ポリノミアル（多項式）に対して、もしも、ポリノミアル（多項式）はコンスタントに\(0\)である場合、コエフィシェント（係数）たちは\(0\)であることの記述/証明 |
| 1383: フィールド（体）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトベクトルたちスペース（空間）たち間のリニアマップ（線形写像）のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列） |
| フィールド（体）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトベクトルたちスペース（空間）たち間のリニアマップ（線形写像）のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義 |
| 1384: フィールド（体）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトベクトルたちスペース（空間）たち間のマップ（写像）に対して、マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、マップ（写像）はカノニカルベーシス（基底）たちに関するマトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って |
| フィールド（体）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトベクトルたちスペース（空間）たち間のマップ（写像）に対して、マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、マップ（写像）はカノニカルベーシス（基底）たちに関するマトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1385: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のベーシス（基底）たちに関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列） |
| ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニアマップ（線形写像）のベーシス（基底）たちに関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義 |
| 1386: ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体へのリニアマップ（線形写像）に対して、マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はオーソゴーナル（直交）である場合、そしてその場合に限って |
| ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体へのリニアマップ（線形写像）に対して、マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はオーソゴーナル（直交）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1387: コンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体の中へのリニアマップ（線形写像）に対して、マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、カノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はユニタリである場合、そしてその場合に限って |
| コンプレックス（複素）ユークリディアンノルム付きコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体の中へのリニアマップ（線形写像）に対して、マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、カノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はユニタリである場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明 |
| 1388: ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンノルムを持つものおよび同一ノルムを持つ\(2\)個のベクトルたちに対して、オーソゴーナル（直交）リニアマップ（線形写像）でベクトルたちの1つを他方にマップしそのカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）がオーソゴーナル（直交）であるものがあり、ディメンショナル（次元）が\(2\)以上の時は、デターミナント（行列式）は\(1\)にできる |
| ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンノルムを持つものおよび同一ノルムを持つ\(2\)個のベクトルたちに対して、オーソゴーナル（直交）リニアマップ（線形写像）でベクトルたちの1つを他方にマップしそのカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）がオーソゴーナル（直交）であるものがあり、ディメンショナル（次元）が\(2\)以上の時は、デターミナント（行列式）は\(1\)にできることの記述/証明 |
| 1389: コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でコンプレックス（複素）ユークリディアンノルムを持つものおよび同一ノルムを持つ\(2\)個のベクトルたちに対して、オーソゴーナル（直交）リニアマップ（線形写像）でベクトルたちの1つを他方にマップしそのカノニカルレプリゼンタティブ（代表）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はユニタリであるものがある、そして、ディメンショナル（次元）が\(2\)以上である時は、デターミナント（行列式）は\(1\)にできる |
| コンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でコンプレックス（複素）ユークリディアンノルムを持つものおよび同一ノルムを持つ\(2\)個のベクトルたちに対して、オーソゴーナル（直交）リニアマップ（線形写像）でベクトルたちの1つを他方にマップしそのカノニカルレプリゼンタティブ（代表）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はユニタリであるものがある、そして、ディメンショナル（次元）が\(2\)以上である時は、デターミナント（行列式）は\(1\)にできることの記述/証明 |
| 1390: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のトップ-フォーム |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のトップ-フォームの定義 |
| 1391: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもののデンス（密）サブセット（部分集合）から同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのマップ（写像）のアジョイントマップ（写像） |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもののデンス（密）サブセット（部分集合）から同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのマップ（写像）のアジョイントマップ（写像）の定義 |
| 1392: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのユニタリマップ（写像） |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのユニタリマップ（写像）の定義 |
| 1393: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのマップ（写像）に対して、もしも、マップ（写像）がユニタリである場合、それは、ノルムを維持する、そして、もしも、マップ（写像）がノルムを維持する任意のリニア（線形）サージェクション（全射）である場合、それは、ユニタリである |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのマップ（写像）に対して、もしも、マップ（写像）がユニタリである場合、それは、ノルムを維持する、そして、もしも、マップ（写像）がノルムを維持する任意のリニア（線形）サージェクション（全射）である場合、それは、ユニタリであることの記述/証明 |
| 1394: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのユニタリマップ（写像）に対して、マップ（写像）のアジョイントはユニタリであり、マップ（写像）のダブルアジョイントはマップ（写像）である |
| ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのユニタリマップ（写像）に対して、マップ（写像）のアジョイントはユニタリであり、マップ（写像）のダブルアジョイントはマップ（写像）であることの記述/証明 |
| 1395: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のプルバックはマルチコベクトルたちのプルバックたちのウェッジプロダクト（楔積）である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のプルバックはマルチコベクトルたちのプルバックたちのウェッジプロダクト（楔積）であることの記述/証明 |
| 1396: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数） |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）の定義 |
| 1397: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q_1\)-フォームと\(C^\infty\) \(q_2\)-フォームのウェッジプロダクト（楔積）のエクステリアデリバティブ（微分係数）は、\(q_1\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）と\(q_2\)-フォームのウェッジプロダクト（楔積）プラス\(q_1\)-フォームと\(q_2\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）のウェッジプロダクト（楔積）に\(-1\)を\(q_1\)乗したものを掛けたものである |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q_1\)-フォームと\(C^\infty\) \(q_2\)-フォームのウェッジプロダクト（楔積）のエクステリアデリバティブ（微分係数）は、\(q_1\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）と\(q_2\)-フォームのウェッジプロダクト（楔積）プラス\(q_1\)-フォームと\(q_2\)-フォームのエクステリアデリバティブ（微分係数）のウェッジプロダクト（楔積）に\(-1\)を\(q_1\)乗したものを掛けたものであることの記述/証明 |
| 1398: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-フォームのダブルエクステリアデリバティブ（微分係数）は\(0\)である |
| \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \(q\)-フォームのダブルエクステリアデリバティブ（微分係数）は\(0\)であることの記述/証明 |
| このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>
