パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のミニマル（極小）要素たちのセット（集合）の定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のミニマル（極小）要素たちのセット（集合）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \langle S, R \rangle\): \(\in \{\text{ 全てのパーシャリーオーダードセット（半順序集合）たち }\}\)
\(*Mim (S)\): \(= \{s \in S \vert \lnot \exists s' \in S (s' R s)\}\)
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コンディションたち:
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2: 注
\(\lnot \exists s' \in S (s' R s)\)は、\(\forall s' \in S \setminus \{s\} (s R s')\)とは異なる、なぜなら、何らかの\(s, s' \in S\)に対して、\(s R s'\)も\(s' R s\)も成立しないかもしれない。
\(Mim (S)\)は空かもしれない。
\(Mim (S)\)は何らか複数の要素たちを持つかもしれない、\(R\)は本当にパーシャル（半順序）である（非リニア（線形）であることを意味する）時は、なぜなら、何らかの\(2\)個のマキシマル（極大）要素たち\(s_1, s_2 \in S\)は関係していないかもしれない。
任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）（それは、一種のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）である）に対して、複数のミニマル（極小）要素たちはありえない、なぜなら、もしも、\(s_1, s_2 \in S\)がミニマル（極小）であったら、排他的に、\(s_1 R s_2\)、\(s_1 = s_2\)、\(s_2 R s_1\)のいずれかである、しかし、第1と第3ケースたちは不可能である、なぜなら、それぞれ\(s_2\)または\(s_1\)はミニマル（極小）でないことになる。
