3: 命題の一覧

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本サイトにてこれまで議論された命題の一覧

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話題

About: 命題

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 命題の一覧

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開始コンテキスト

• なし

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、本サイトにてこれまで議論された命題の一覧を知り、それらの内のいずれのページ（その命題の記述および証明がある）へもジャンプできる。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

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本体

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1: 命題の一覧

タイトル
ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である
ファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、それがカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合
コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からの以下を満たす2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれらがポイントにおいて一致すれば、それらはネイバーフッド（近傍）上で一致し、もしもそれらがポイントにおいて不一致であれば、それらはネイバーフッド（近傍）上で不一致である、は全体として一致するか全体として不一致である
コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への以下を満たす2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち、つまり、任意のポイントに対して、もしもそれらがポイントにおいて一致すれば、それらはネイバーフッド（近傍）で一致する、は全体として一致するか全体として不一致である
ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中への2つのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちでポイントで不一致であるものはポイントのネイバーフッド（近傍）で不一致である
2つのメトリック（計量）たちで互いに条件を満たしているものたちは同一トポロジーを定義する
2ポイントたちはトポロジカルにパスコネクテッド（連結された）である、もしも2ポイントたちをコネクト（連結）するパスがある場合、そしてその場合に限って
トポロジカルサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である2ポイントたちは、より大きなサブスペース（部分空間）上でパスコネクテッド（連結された）である
コネクト（連結）されたリーグループ（群）上の2ポイントは、ファイナイト（有限）数左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）セグメントによって接続できる
別々のコネクテッド（連結された）コンポーネントたち上の2ポイントたちはパスコネクテッド（連結された）でない
2 x 2スペシャル（特殊）オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）は角度のサインおよびコサインで表現できる
2 x 2スペシャル（特殊）ユニタリマトリックス（行列）は角度のサインおよびコサインおよび2つの角度たちのイマジナリー（虚数）エクスポーネンシャル（指数関数）たちで表わすことができる
6要素たちグループ（群）は、アイデンティティ（単位要素）のみを共有する2つの3要素たちサブグループ（部分群）たちを持てない
アーベリアングループ（アーベル群）はシンプルグループ（単純群）である、もしも、そのオーダーがプライムナンバー（素数）である場合、そしてその場合に限って
複素数たち間の絶対差は追加の複素数との絶対差たち間の差以上である
ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのアキュームレーションバリュー（集積値）はサブネットのコンバージェンス（収束ポイント）である
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）の中へのアファインマップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）である
リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からのアファインマップ（写像）はリニア（線形）である
リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）はベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインセット（集合）である
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）の中へのアファインシンプレックス（単体）マップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）である
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のアファインシンプレックス（単体）はカノニカル（自然な）トポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトである
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のアファインサブセット（部分集合）はベースポイントたちのファイナイト（有限）アファインインディペンデント（独立）セット（集合）によってスパンされる（張られる）
同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、シンメトライズド（対称化された）後にアンチシンメトライズド（反対称化された）ものまたは同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）の、アンチシンメトライズド（反対称化された）後にシンメトライズド（対称化された）ものは0である
ハイパー長方形のエリア（面積）は、カバーするファイナイト（有限）数ハイパー正方形たちのエリア（面積）で任意の精度で近似できる
ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）上のエリア（面積）はハイパー正方形たちのみを使って測れる、ハイパー長方形たちの代わりに
ベーシス（基底）はトポロジーを決定する
バイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である
バイジェクティブ（全単射）リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）は'リーアルジェブラ（多元環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である
バイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である
トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のバウンダリー（境界）は、ポイントたちのセット（集合）で、それらの内の各々の各ネイバーフッド（近傍）はサブセット（部分集合）およびサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）の両方に交わるものである
ユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のオープンセット（開集合）からユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）への\(C^1\)マップ（写像）はリプシッツ条件をローカルに満たす
インテグラルドメイン（整域）上のキャンセレーションルール
ファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）上のファンダメンタルグループ（群）から構成要素トポロジカルスペース（空間）ファンダメンタルグループ（群）たちのプロダクトの中へのカノニカル（自然な）マップ（写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である
カントールノーマルフォーム（正規形）はユニークである
セット（集合）の複数回分の積のカーディナリティ（濃度）はセット（集合）のカーディナリティ（濃度）のその回数分の積である
カテゴリーたちイクイバレンス（同値）はイクイバレンスリレーション（同値関係）である
リアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式
ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たちC^1マップ（写像）たちのコンポジション（合成）のデリバティブ（微分係数）に対するチェインルール（連鎖規則）
ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）の特性プロパティ
プロダクトトポロジーの特性プロパティ
サブスペース（部分空間）トポロジーの特性プロパティ
レギュラーサブマニフォールド（多様体）上のチャートはアダプティングチャートの拡張である
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）はレギュラーサブマニフォールド（多様体）上で\(C^\infty\)である
\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）はその、全\(C^\infty\)ベクトルたちフィールドたちとの\(C^\infty\)メトリック（計量）値ファンクション（関数）たちによってユニークに定義される
レギュラーサブマニフォールド（多様体）上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）はスーパーマニフォールド（多様体）上のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）として\(C^\infty\)である
クローズドインターバル（閉区間）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のバウンダリー（境界）ポイントにおける\(C^k\)性は片方向デリバティブ（微分係数）たちにコンティニュアス（連続）性が付いたものたちの存在に等しく、デリバティブ（微分係数）たちは片方向デリバティブ（微分係数）たちである
トポロジカルスペース（空間）たち間のクローズド（閉）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンパクトファイバーたちをを持っているものはプロパーである
コンパクトトポロジカルスペース（空間）のクローズド（閉）ディスクリート（離散）サブスペース（部分空間）はファイナイト（有限）数ポイントたちのみを持つ
クローズドセット（閉集合）マイナスオープンセット（開集合）はクローズド（閉）である
クローズド（閉）トポロジカルサブスペース（部分空間）上のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）である
ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はローカルにコンパクトである
クローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちおよびクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアンペース（空間）のプロダクトへホメオモーフィック（位相同形写像）である
サブセット（部分集合）たちの差のクロージャー（閉包）は、必ずしもサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちの差ではない、しかし、被減サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）に包含されている
トポロジカルサブグループ（部分群）のノーマル（正規）サブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はノーマル（正規）サブグループ（部分群）である
トポロジカルグループ（群）のサブグループ（部分群）のクロージャー（閉包）はサブグループ（部分群）である
サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）である
ファイナイト（有限）個サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）である
任意の非0カーディナル番号に対して、当該カーディナリティを持つセット（集合）たちのコレクションはセット（集合）ではない
コンパクトトポロジカルスペース（空間）は、無限数ポイントたちを持つサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）を持つ
トポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい
ノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はデンス（密）である
オープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はノーホエアデンス（どこでも密でない）である
サブセット（部分集合）たちのプロダクトのコンプリメント（補集合）は、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）である
アファインマップ（写像）たちのコンポジション（合成）はアファインマップ（写像）である
ディフェオモーフィズムの後の\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）または\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）後のディフェオモーフィズムというコンポジション（合成）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である
プリイメージ（前像）の後のマップ（写像）合成は引数セット（集合）内に含まれている
プリイメージ（前像）後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、引数セット（集合）がマップ（写像）イメージ（像）のサブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限って
サブセット（部分集合）のマップ（写像）の後のプリイメージ（前像）コンポジション（合成）は引数セット（集合）を包含している
サブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、マップ（写像）が引数セット（集合）イメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合
サブセット（部分集合）のマップ（写像）後のプリイメージ（前像）のコンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、それが引数セット（集合）に包含されている場合、そしてその場合に限って
プロダクトマップ（写像）たちのコンポジション（合成）はコンポーネントマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちのプロダクトである
ホモトピックマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちはホモトピックである
コンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）からコンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）の上へのコンジュゲーション（共役）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である
コネクテッド（連結された）コンポーネントはクローズド（閉）である
コネクテッド（連結された）コンポーネントはローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）である
コネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできないコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならない
コネクテッド（連結された）トポロジカルマニフォールド（多様体）はパスコネクテッド（連結された）である
1ディメンジョナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たちはインターバル（区間）たちである
コネクション（接続）はベクトルカーブ上のセクション（断面）値のみに依存する
トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）でクローズド（閉）レンジ（値域）を持つものはプロパーである
ドメイン（定義域）のパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のコンティニュアス（連続）イメージ（像）はコドメイン（余域）上でパスコネクテッド（連結された）である
コンパクトトポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）はプロパーである
トポロジカルスペース（空間）からハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）でコンティニュアス（連続）左インバース（逆）を持つものはプロパーである
トポロジカルスペース（空間）間のコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）はそのプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合クローズド（閉）である場合
クローズドセット（閉集合）のコンティヌアス（連続）マップ（写像）プリイメージ（前像）はクローズドセット（閉集合）である
コントラクション（収斂）マッピングの法則
2個の同一長マルチディメンショナル（複数次元）アレイ（配列）たちのコントラクション（縮約）で、それらの内の一方がインデックスたちのセット（集合）に関してシンメトライズド（対称化された）またはアンチシンメトライズド（反対称化された）もの、は、他方アレイ（配列）もそれに応じてシンメトライズド（対称化された）またはアンチシンメトライズド（反対称化された）でのコントラクション（縮約）である
リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）は必ずしもベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）アファインシンプレックス（単体）ではない
リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）はコンベックスである
インバース（逆）リーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）はリーマニアンメトリック（計量）のコーディネートたちマトリックス（座標行列）のインバース（逆）である
シンプリー（単純に）コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の中へのカバリングマップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である
オープンセット（開集合）たちのコレクションがベーシス（基底）であるための基準
リーグループ（群）上で同一ベクトルを代表するカーブたちの\(C^\infty\)右アクションとしてのマニフォールド（多様体）上のカーブたちは同一ベクトルを代表する
\(C^1\)、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）はヤコビアンである
オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションの導出されたオペレーションはモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）である
オーディナル（順序）数たちの降順シーケンス（列）はファイナイト（有限）である
スクウェア（正方）マトリックス（行列）でその最終行は全て1でその他の各行は行番号 + 1列 1を除いて全て0であるもののデターミナント（行列式）は-1のディメンション（次元） + 1乗である
サブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分はサブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）に包含されている
サブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちの差分はサブセット（部分集合）たちの差分のマップ（写像）イメージ（像）である、もしも、マップ（写像）がインジェクティブ（単射）である場合
クローズドセット（閉集合）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）はディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジーにおいてクローズド（閉）である
コンプリメント（補集合）たちのディスジョイント（互いに素）ユニオン（和集合）はセット（集合）全体たちのディスジョイント（互いに素）ユニオン（和集合）マイナスサブセット（部分集合）たちのディスジョイント（互いに素）ユニオン（和集合）である
アファインシンプレックス（単体）マップ（写像）のドメイン（定義域）はユークリディアントポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトである
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルスペース（空間）のダブルデュアルはベクトルスペース（空間）へ 'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルスペース（空間）のデュアルは同一ディメンショナル（次元）ベクトルスペース（空間）を構成する
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスの要素はコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトである
\(C^1\)ファンクション（関数）たちのポイントにおけるデライベイション（微分）とディレクショナル（方向）デリバティブ（微分）の等価性
マップ（写像）コンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものとコーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるものとの同値性
ユークリディアントポロジカルスペース（空間）はセカンドカウンタブル（可算）である
ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、より低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちのプロダクトへホメオモーフィック（位相同形写像）である
ユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされたユークリディアントポロジカルスペース（空間）はトポロジカルサブスペース（部分空間）である
リーグループ（群）近傍で、その任意のポイントが中心と、左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）で接続できるものの存在
コンティニュアス（連続）マップ（写像）のエクスパンション（拡張）はコンティニュアス（連続）である
フィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）である
バイジェクション（全単射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はバイジェクション（全単射）である、もしも、構成要素バイジェクション（全単射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くバイジェクション（全単射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合
インジェクション（単射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はインジェクション（単射）である
モーションたちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はモーションである
サージェクション（全射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）は必ずしもサージェクション（全射）ではない
サージェクション（全射）たちのファイナイト（有限）コンポジション（合成）はサージェクション（全射）である、もしも、構成要素サージェクション（全射）たちのコドメイン（余域）たちが、引き続くサージェクション（全射）たちのドメイン（定義域）たちに等しい場合
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルスペース（空間）の、コーディネイト（座標）スペース（空間）に基づいて定義されたトポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しない
リニア（線形）バイジェクション（全単射）によって関連付けられるファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルスペース（空間）たちは同一ディメンション（次元）のものである
グループ（群）たちのファイナイト（有限）ダイレクトプロダクトは対応するアイソモーフィック（同形写像）グループ（群）たちのダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である
トポロジカルスペース（空間）のオープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）インターセクション（共通集合）はオープン（開）デンス（密）である
セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはセカンドカウンタブル（可算）である
コンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはコンパクトである
ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはローカルにコンパクトである
ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのファイナイト（有限）プロダクトはコミュータティブ（可換）であり、ノーマルサブグループ（正規部分群）である
セット（集合）たちのファイナイト（有限）プロダクトはセット（集合）である
サブグループ（部分群）たちのファイナイト（有限）プロダクトはアソシアティブ（結合的）である
トポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）プロダクトはトポロジカルスペース（空間）たちの逐次プロダクトたちに等しい
トポロジカルスペース（空間）のノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）ユニオン（和集合）は空のインテリア（内部）を持つ
ヴェブレン固定されたポイント定理の証明における固定されたポイントは、条件を満たす最小のものである
ファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントたちシーケンス（列）およびサブセット（部分集合）についてのいくつかの事実
ベクトルの、共通の構成要素を持つ2つのディコンポジション（分解）たちに対して、共通構成要素の係数たちは同一である、もしも、共通構成要素が、他の構成要素たちによってスパンされる（張られる）ベクトルたちスペース（空間）上にない場合
2つのホモトピックマップ（写像）たち、ドメイン（定義域）上のポイント、マップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちに対して、第2のホモモーフィズム（準同形写像）は、ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコドメイン（余域）間カノニカル（自然な）'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を第1ホモモーフィズム（準同形写像）の後に作用させるコンポジション（合成）である
トポロジカルスペース（空間）上の2つのパスコネクテッド（連結された）ポイントたちに対して、ファンダメンタルグループ（群）たち間'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）でパスクラスたちグルーポイド内にて左からインバース（逆）パスクラスを掛け右からパスクラスを掛けるものがある
2つのポインテッドコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちに対して、マップ（写像）たちのウェッジサム（楔和）はコンティニュアス（連続）である
2つのセット（集合）たちに対して、セット（集合）たち間のファンクション（関数）たちのコレクションはセット（集合）である
2つのセット（集合）たちに対して、セット（集合）間のリレーション（関係）たちのコレクションはセット（集合）である
アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）に対して、アタッチング先スペース（空間）からアジャンクション（付加）スペース（空間）へのカノニカルマップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である
アファインシンプレックス（単体）、フェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）、フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）に対して、バリセンター（重心）たちのセット（集合）のサブセット（部分集合）のコンベックスコンビネーションはアファインシンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）たちのセット（集合）に関してコンベックスコンビネーションである
アファインシンプレックス（単体）、フェイスたちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）に対して、フェイスたちのバリセンター（重心）たちのセット（集合）はアファインインディペンデント（独立）である
バイジェクション（全単射）に対して、マップ（写像）のインバース（逆）の下でのサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）はマップ（写像）の下でのサブセット（部分集合）のイメージ（像）である
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、たち間の\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）に対して、エンベディング（埋め込み）の、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、ドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である
\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）に対して、エンベディング（埋め込み）のレンジ（値域）で、エンベディング（埋め込み）によってインデュースト（誘導された）トポロジーおよびアトラスを持つものは、コドメイン（余域）のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である
オープンネイバーフッド（開近傍）上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）でより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上でファンクション（関数）に等しいものが存在する
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、チャートに対して、チャートの、オープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートである
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の各ポイントの周りに、マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）でサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、とのインターセクション（共通集合）がチャートドメイン（定義域）であるものがある
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、およびエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、コドメイン（余域）リストリクテッド（制限された）インクルージョン（封入）のインバース（逆）は\(C^\infty\)である
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、そのレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、スーパーマニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）であり、オープンサブセット（開部分集合）とレギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）はオープンサブセット（開部分集合）マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびのオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、に対して、オープン（開）サブマニフォールド（部分多様体 ）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、レギュラードメインに対して、レギュラードメイン上のポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、に対して、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、は、マニフォールド（多様体）、バウンダリー付き、のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、インテリア（内部）ポイントはチャートボールを持ち、バウンダリー（境界）ポイントはチャートハーフボール（半球）を持つ
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、インテリア（内部）ポイントはレンジ（値域）がユークリディアンスペース（空間）全体であるチャートを持ち、バウンダリー（境界）ポイントはレンジ（値域）がハーフ（半）ユークリディアンスペース（空間）全体であるチャートを持つ
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールドに対して、ベクトルたちフィールド後インクルージョン（封入）によるディファレンシャルは、サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方で\(C^\infty\)である
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、レギュラードメイン、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、レギュラードメインから\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中への\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）をマニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）とみなした対応するマップ（写像）は\(C^\infty\)である
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、サブセット（部分集合）、サブセット（部分集合）上のポイントに対して、もしも、チャートがエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）のためのローカルスライスコンディションまたはエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、のためのローカルスライスコンディションを満たす場合、そのサブオープンネイバーフッド（開近傍）もそうする
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、マップ（写像）の、レギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）およびレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は\(C^\infty\)である
ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちのセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）は\(C^\infty\)である
\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）およびベーススペース（空間）のサブセット（部分集合）からのセクション（断面）でポイントにおいて\(C^k\)である、ここで、\(0 \lt k\)、ものに対して、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）上における\(C^k\)エクステンション（拡張）がある
\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、グローバルコネクション（接続）を構築することができる、オープンカバー（開被覆）上方のローカルコネクション（接続）たちを使い、オープンカバー（開被覆）にサブオーディネイトな（従属する）ユニティのパーティションを使って
コミュータティブ（可換）リング（環）に対して、もしも、各要素たちペアが最大共通ディバイザー（因子）を持つ場合、各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）は最大共通ディバイザー（因子）を持つ、それは、逐次的に得ることができる
コンパクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、ポイントのシーケンス（列）は、収束するサブシーケンス（部分列）を持つ
コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、クローズド（閉）サブスペース（部分空間）はコンプリート（完備）である
プロダクトトポロジカルスペース（空間）からトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンポーネントたちのセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である
サブグループ（部分群）に関するコセット（剰余類）マップ（写像）に対して、サブセット（部分集合）のイメージ（像）のプリイメージ（前像）はサブグループにサブセット（部分集合）を掛けたものである
カバリングマップ（写像）に対して、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からのコンティニュアス（連続）マップ（写像）の2つのリフトたちは全体として一致するか全体として不一致であるかである
カバリングマップ（写像）に対して、シートたちのカーディナリティたちは同一である
カバリングマップ（写像）に対して、パスコネクテッド（連結された）ローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からのコンティニュアス（連続）マップ（写像）のリフトが存在するための条件
カバリングマップ（写像）に対して、パスたちのプロダクト（積）のリフトはパスたちのリフトたちのプロダクト（積）である
カバリングマップ（写像）に対して、パスのリバース（反転）のリフトはパスのリフトのリバース（反転）である
カバリングマップ（写像）に対して、クローズド（閉）リアル（実）インターバル（区間）たちのファイナイト（有限）プロダクトからのコンティニュアス（連続）マップ（写像）のユニークなリフトが各初期値に対してある
カバリングマップ（写像）に対して、パスのユニークなリフトが、パスドメイン（定義域）上のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してある
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）からバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のポイントイメージ（像）のネイバーフッド（近傍）上へのディフェオモーフィズムに対して、ポイントにおけるディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である
ディスジョイント（互いに素）なサブセット（部分集合）とオープンセット（開集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンセット（開集合）はディスジョイント（互いに素）である
ディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）に対して、構成要素トポロジカルスペース（空間）からディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）へのインクルージョン（封入）はコンティニュアス（連続）である
ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、そのレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、レギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、スタンダード（標準）チャートに関するそのコンポーネントたちがレギュラーサブマニフォールド（多様体）上で\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って
ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、オープンボール（開球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックである
ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、より低いディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）、スライシングマップ（写像）、プロジェクション（射影）、インクルージョン（単射）に対して、スライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）の後インクルージョン（単射）はスライシングマップ（写像）に等しく、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）のスライシングマップ（写像）の後プロジェクション（射影）はポイントのプロジェクション（射影）のオープンネイバーフッド（開近傍）である
ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、ラショナル（有理）中心とラショナル（有理）半径を持った全てのオープンボール（開球）たちのセット（集合）はベーシス（基底）である
リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのファイナイト（有限）セット（集合）に対して、もしも、ポイントに対して、ポイントの他のポイントたちからの差たちのセット（集合）がリニア（線形）にインディペンデント（独立）である場合、それは各ポイントに対してそうである
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、マキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）はコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でオープン（開）である
ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、シンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのスターたちはアンダーライイング（下にある）スペース（空間）のオープンカバー（開被覆）である
ファイナイト（有限）\(p\)-グループ（群）に対して、\(p\)のその累乗がグループ（群）のオーダーである指数より小さいナチュラルナンバー（自然数）に対して、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）でそのオーダーが\(p\)のナチュラルナンバー（自然数）乗であるものがある
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）ベーシス（基底）に対して、要素を、要素たちのリニアコンビネーション（線形結合）（要素には非ゼロコエフィシェント（係数）を持つ）によって置き換えたものは、ベーシス（基底）を形成する
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベーシス（基底）に対して、要素たちのリニア（線形）にインディペンデント（独立）セット（集合）はベーシス（基底）のいくつかの要素たちで拡張してベーシス（基底）にできる
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）およびベーシス（基底）に対して、ベクトルたちスペース（空間）はコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、リニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを追加することによって
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）数の要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はベーシス（基底）である
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、プロパー（真）サブスペース（部分空間）はより低いディメンション（次元）を持つ
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、スペース（空間）をスパンする（張る）サブセット（部分集合）はリデュース（削減）してベーシス（基底）にできる
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）より多くの要素たちを持つベーシス（基底）はない
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ディメンション（次元）より多くの要素たちを持つリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）はない
ファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、ネイバーフッド（近傍）たちのプロダクトはネイバーフッド（近傍）である
グループ（群）アクションに対して、グループ（群）要素を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）である
グループ（群）、要素に対して、もしも、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、要素の、ナンバー（数）より小さな非負累乗たちで構成される
グループ（群）、要素に対して、もしも、ポジティブ（正）ナチュラルナンバー（自然数）があって、要素のそれ累乗が1であり、より小さなそうしたものがない場合、要素のその累乗が1になるインテジャー（整数）たちはナンバー（数）のマルチプル（倍数）たちだけである
グループ（群）、ファイナイト（有限）オーダー要素に対して、要素のコンジュゲート（共役）は要素のオーダーを持つ
グループ（群）、ファイナイト（有限）オーダー要素に対して、要素のインバース（逆）は要素のオーダーを持つ
グループ（群）、ファイナイト（有限）オーダー要素に対して、要素のオーダー累乗は\(1\)であり、要素によって生成されたサブグループ（部分群）は、要素の、要素オーダーより小さい非負累乗たちで構成される
グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）に対して、もしも、ノーマルサブグループ（正規部分群）およびノーマルサブグループ（正規部分群）によるグループ（群）のクオシエント（商）が p-グループ（群）たちである場合、グループ（群）はp-グループ（群）である
グループ（群）およびサブグループ（部分群）に対して、サブグループ（部分群）に対するグループ（群）要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズムたち'アイソモーフィズム（同形写像）である
グループ（群）に対して、要素によるコンジュゲーションは'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である
グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）、クウォシェント（商）グループ（群）に対して、レプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を要素によって掛けたものはレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）である
グループ（群）、ノーマルサブグループ（正規部分群）、サブグループ（部分群）に対して、クウォシェント（商）グループ（群）のサブセット（部分集合）たちでサブグループ（部分群）のコセット（剰余類）たちを包含するものたちは同じであるかディスジョイント（互いに素）である
グループ（群）に対して、固定された要素による左からまたは右からのマルチプリケーション（積）マップ（写像）はバイジェクション（全単射）である
グループ（群）に対して、要素の累乗たちシーケンス（列）で前に戻るものは要素に戻る
グループ（群）、サブグループ（部分群）、グループ（群）の要素に対して、もしも、\(k\)が、要素のそれ乗がサブグループ（部分群）に属する第1ポジティブ（正）パワー（指数）である場合、\(k\)の倍数たちが、要素のそれ乗たちがサブグループ（部分群）に属する唯一のパワー（指数）たちである
グループ（群）、シンメトリックサブセット（対称的部分集合）、グループ（群）の要素、サブセット（部分集合）に対して、要素にシンメトリックサブセット（対称的部分集合）を右または左から掛けたものとシンメトリックサブセット（対称的部分集合）にサブセット（部分集合）を右または左から掛けたものはディスジョイント（互いに素）である、もしも、要素にシンメトリックサブセット（対称的部分集合）を左および右から掛けたものとサブセット（部分集合）がディスジョイント（互いに素）である場合
グループ（群）、そのサブグループ（部分群）に対して、サブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）である、もしも、それの、グループ（群）の各要素によるコンジュゲート（共役）サブグループ（部分群）がそれの中に包含されている場合
グループ（群）、2つのノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、要素はユニークにディコンポーズド（分解される）であり、ディコンポジション（分解）はコミュータティブ（可換）である
任意のグループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、に対して、ノーマルサブグループ（正規部分群）たちのサブセット（部分集合）のプロダクトは、サブセット（部分集合）のダイレクトサムとしてのグループ（群）である
バウンダリー（境界）付きハーフ（半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）に対して、オープンハーフボール（開半球）はスペース（空間）全体へディフェオモーフィックである
ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）および2つのディスジョイント（互いに素な）コンパクトサブセット（部分集合）たちに対して、ディスジョイント（互いに素な）オープン（開）サブセット（部分集合）たちでそれらの各々がコンパクトサブセット（部分集合）を包含するものがある
ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットは唯1つだけのコンバージェンス（収束ポイント）を持ち得る
'インディペンデントバリアブル（独立変数）'-バリュー（値）ペアたちデータに対して、オリジン（原点）を通過する近似ライン（直線）でバリュー（値）差異スクウェア（2乗）たち計最小を持つものを選ぶことはバリュー（値）たちベクトルをインディペンデントバリアブル（独立変数）たちベクトルライン（直線）へプロジェクト（射影）することに等しい
インフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびクローズドサブセット（閉部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）がサブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものはサブセット（部分集合）に属する
インフィニット（無限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）およびサブセット（部分集合）に対して、プロダクトスペース（空間）上のポイントでその各ファイナイト（有限）コンポーネントたちプロジェクション（射影）がサブセット（部分集合）の対応するプロジェクション（射影）に属するものは、必ずしもサブセット（部分集合）に属さない
トポロジカルスペース（空間）たち間インジェクティブ（単射）クローズド（閉）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）をレンジ（値域）に制限したマップ（写像）のインバース（逆）はコンティニュアス（連続）である
オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのインジェクティブ（単射）モノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションおよびドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）のイメージ（像）に対して、イメージ（像）のユニオン（和集合）はレンジ（余域）の中にいる
インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちが存在する場合、それらは、ある最大共通ディバイザー（因子）のアソシエイトたちである
インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちが存在する場合、それらは、ある最小共通マルチプル（倍）のアソシエイトたちである
インテグラルドメイン（整域）に対して、もしも、要素によるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）が別の要素によるものでもあった場合、要素たちはお互いにアソシエイトたちである、そして、プリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）は任意のアソシエイトによるものである
トポロジカルスペース（空間）の2サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）に対して、その、一方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、他方のサブセット（部分集合）をサブスペース（部分空間）としてそのサブスペース（部分空間）とみなしたもの、その、ベーススペース（基底空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたもの、たちは同一である
インバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、最上行から下方へ任意の行まで、各行は、1つの1コンポーネントを持ち他は0であるように、重複のないように変えることができる、マトリックス（行列）をインバーティブル（可逆）に保ちながら
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルスペース（空間）からのリニアマップ（線形写像）に対して、あるドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）があって、それは、イメージ（像）へマップ（写像）のリストリクション（制限）によって'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間のリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、コドメイン（余域）のディメンション（次元）はドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより小さい
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）からのリニア（線形）サージェクション（全射）に対して、もしも、コドメイン（余域）のディメンション（次元）がドメイン（定義域）のそれに等しいかそれより大きい場合、サージェクション（全射）はバイジェクション（全単射）である
モジュール（加群）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、あるリニア（線形）コンビネーションたちによる、モジュール（加群）のインデュースト（誘導された）サブセット（部分集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である
ベクトルたちスペース（空間）内のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なシーケンス（列）に対して、派生したシーケンス（列）、そこでは、各要素は等しいかより小さいインデックスの要素たちのリニア（線形）コンビネーションであり、非ゼロの等しいインデックス係数を持つ、は、リニア（線形）にインディペンデント（独立）である
ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントの周りに、オープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトであるものがある
ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントの周りのネイバーフッド（近傍）内にオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトでネイバーフッド（近傍）に包含されているものがある
トポロジカルスペース（空間）のローカルにファイナイト（有限）なカバーに対して、コンパクトなサブセット（部分集合）はカバーのファイナイト（有限）数要素たちのみとインターセクトする
トポロジカルスペース（空間）のローカルにファイナイト（有限）なオープンカバー（開被覆）に対して、オープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）はオープンセット（開集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）である
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、ドメイン（定義域）チャートとコドメイン（余域）チャートの任意の可能なペアは定義の条件を満たす
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、ポイントを包含するドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいて\(C^k\)である
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、レンジ（値域）を包含するコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）またはエクスパンション（拡張）はポイントにおいて\(C^k\)である
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものに対して、ドメイン（定義域）のポイントを包含するオープンサブセット（開部分集合）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックである
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）に対して、マップ（写像）はポイントにおいて\(C^k\)である、もしも、ポイントのサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）がポイントにおいて\(C^k\)である場合
ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）に対して、マップ（写像）はポイントにおいて\(C^k\)である、もしも、ポイントのサブスペース（部分空間）オープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）がポイントにおいて\(C^k\)である場合
ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、ポイントを包含するドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はポイントにおいて\(C^k\)である
トポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）である
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たちのエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間マップ（写像）に対して、\(C^k\)性は変わらない、ドメイン（定義域）またはコドメイン（余域）がサブセット（部分集合）とみなされた時
ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）でイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものが引数ノルムが0へ近づく時に0へコンバージ（収束）するものに対して、マップ（写像）プラス非ゼロリニア（線形）マップ（写像）のイメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものはそうしない
リアル（実）クローズド（閉）インターバル（区間）たち間マップ（写像）およびマップ（写像）のグラフをトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものに対して、値が独立変数より大きいか小さいかであるというサブセット（部分集合）はオープン（開）である
トポロジカルサブスペース（部分空間）間マップ（写像）の、ポイントにおけるコンティヌアス（連続）性は、マップ（写像）の、スーパースペースたちのオープンセット（開集合）たちへの拡張のコンティヌアス（連続）性から帰結される
ポイントにおいて\(C^\infty\)なマップ（写像）に対して、任意のチャートたちによるコーディネート（座標）たちファンクション（関数）はポイントイメージ（像）において\(C^\infty\)である
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）から\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）中へのマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、ポイントのオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）に関する\(C^k\)エクステンション（拡張）がある
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）からバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）はローカルディフェオモーフィズムである、もしも、各ドメインポイントおよびそのイメージ（像）に対して、チャートたちでそれらによってコーディネート（座標）たちファンクション（関数）がディフェオモーフィズムであるものがある場合、そしてその場合に限って
トポロジカルスペース（空間）からメトリックスペース（計量空間）へのマップ（写像）に対して、クローズドセット（閉集合）のイメージ（像）はドメイン（定義域）のイメージ（像）上でクローズド（閉）である、もしも、クローズドセット（閉集合）上の任意のシーケンスでシーケンスのイメージ（像）がドメイン（定義域）のイメージ（像）上で収束するものに対して、収束ポイントがクローズドセット（閉集合）のイメージ（像）上にいる場合
マップ（写像）に対して、もしも、インバース（逆）方向マップ（写像）で元のマップ（写像）の後のそれがアイデンティティ（恒等写像）であるものがある場合、元のマップ（写像）はインジェクティブ（単射）である
ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたちに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)である
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたちに対して、コンポジション（合成）はポイントにおいて\(C^k\)である
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものたち、ここで、第1のマップ（写像）のコドメイン（余域）は第2のマップ（写像）のドメイン（定義域）のオープンサブセット（開部分集合）である、に対して、コンポジション（合成）はポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックである
メトリックスペース（計量空間）に対して、1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である
メトリックスペース（計量空間）に対して、2ポイントたちのサブセット（部分集合）からの距離たちの差はポイントたち間の距離に等しいかそれより小さい
メトリックスペース（計量付き空間）に対して、2つのオープンボール（開球）たちの中のポイントたちの間のディスタンス（距離）は、中心たちの間のディスタンス（距離）マイナス半径たちの合計より大きく中心たちの間のディスタンス（距離）プラス半径たちの合計より小さい
オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションに対して、リミットオーディナル（順序）数のイメージ（像）はリミットオーディナル（順序）数である
オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）オペレーションに対して、値は引数に等しいか引数を包含する
モノトーン（単調）オーディナル（順序）数たちオペレーションに対して、2つのドメイン（定義域）要素たちはメンバーシップリレーション（関係）にある、もしも、対応するイメージ（像）たちが同じリレーション（関係）にある場合
リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションで0を固定するものに対して、ドメイン（定義域）のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）へマップされる
同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションで0を固定するものに対して、モーションはオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）である
同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たちでインナープロダクト（内積）たちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちを持つものたち間モーションに対して、モーションはバイジェクティブ（全単射）である
部分的オーダリング（順序）を持ち最小要素を持たない空でないセット（集合）に対して、自然数たちセット（集合）からセット（集合）へのファンクション（関数）で、数のイメージ（像）は次の数のイメージ（像）より大きいというものがある
ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間非ゼロリニア（線形）マップ（写像）に対して、イメージ（像）ノルムを引数ノルムで割ったものは引数ノルムが0へ近づく時0へコンバージ（収束）しない
ノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である
\(d_1\)ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）に対して、\(d_2\)ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への\(C^\infty\)マップ（写像）を、1ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中へのゼロにならない\(C^\infty\)マップ（写像）で割ったものは、\(C^\infty\)である
パーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その要素、パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の要素、要素のパワー（累乗）オペレーションたちをドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）に対して、第1シーケンス（列）内に含まれていない別のドメイン（定義域）要素での別のシーケンス（列）は第1シーケンス（列）からディスジョイント（互いに素）である
パーミュテーション（並べ替え）たちグループ（群）、その要素、パーミュテーション（並べ替え）たちドメイン（定義域）の要素に対して、要素のパワー（累乗）オペレーションたちをドメイン（定義域）要素に作用させたシーケンス（列）はドメイン（定義域）要素から前へ戻る
プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）の要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちの内の任意のものによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）である
プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）に対して、ドメイン上方のレクタングルマトリックス（長方行列）、ドメイン上方のインバーティブル（可逆）スクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）である
プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）、ドメイン上方のレクタングルマトリックス（長方行列）、ドメイン上方のスクウェアマトリックス（正方行列）に対して、プロダクトの指定ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）は、レクタングルマトリックス（長方行列）の同ディメンジョナル（次元）サブデテーミナント（部分行列式）たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）に包含されている
プロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）のプロジェクション（射影）はコンパクトである
2つの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのプロダクトに対して、構成員たちの内の1つがレギュラーサブマニフォールド（多様体）で置き換えられたプロダクトはレギュラーサブマニフォールド（多様体）である
リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、ファイナイト（有限）数ベクトルたちのリニアコンビネーション（線形結合）は、0であることなしに各構成要素へ直交することはできない
プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上方のレクタングルマトリックス（長方行列）に対して、いくつかのタイプたちの行たちまたは列たちオペレーションたちで、それらの各々は、インバーティブル（可逆）マトリックス（行列）による左または右からのマルチプリケーション（積）として表わされる、ものたちがある
レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、クローズドサブセット（閉部分集合）によるコラプスト（折りたたまれた）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである
リング（環）、ファイナイト（有限）数アイディアル（イデアル）たちに対して、アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）はアイディアル（イデアル）である
リング（環）に対して、0のマルチプル（倍）は0である
クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、コドメイン（余域）サブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合
クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のマップ（写像）によるクウォシェント（商）スペース（空間）からコドメイン（余域）へのインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である
クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、オープン（開）またはクローズド（閉）サチュレイテッド（飽和した）ドメイン（定義域）についておよびリストリクテッド（制限された）イメージ（像）コドメイン（余域）についてのそのリストリクション（制限）はクウォシェント（商）マップ（写像）である
レギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントのネイバーフッド（近傍）はクローズド（閉）なネイバーフッド（近傍）を包含する
ファイナイト（有限）要素たちのシーケンス（列）に対して、パーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）は同一数の偶パーミュテーション（並べ替え）たちと奇パーミュテーション（並べ替え）たちを持つ
トポロジカルスペース（空間）上のシーケンスに対して、ポイントの周りに、シーケンスのファイナイト（有限）数ポイントたちのみを包含するオープンセット（開集合）がある、もしも、どのサブシーケンスもポイントに収束しない場合
セット（集合）プラス要素としてのセット（集合）に対して、オープンセット（開集合）たちを、セット（集合）のサブセット（部分集合）たちとコンプリメントがファイナイト（有限）であるサブセット（部分集合）たちとしたもの、はトポロジーである
セット（集合）および2つのトポロジーたちに対して、もしも、共通のオープンカバー（開被覆）があり、一方のトポロジーにおけるカバーの各要素の各オープンサブセット（開部分集合）が他方においてオープン（開）でありその逆も真である場合、トポロジーたちは同一である
固定されたドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）に対するシーケンス（列）たちのセット（集合）に対して、パーミュテーション（並べ替え）はバイジェクティブ（全単射）にセット（集合）をセット（集合）の上へマップする
セット（集合）に対して、セット（集合）のパワーセット（集合）のユニオン（和集合）はセット（集合）である
シンプリシャルコンプレックスに対して、コンプレックスの要素たちのフェイスたちのバリセンター（重心）たちのアセンディング（昇順）シーケンス（列）たちのサブシーケンスたちによって決定された2つのアファインシンプレックスたちのインターセクション（共通集合）は、サブシーケンスたちのインターセクション（共通集合）によって決定されたアファインシンプレックスである
シンプリシャルコンプレックスに対して、2つのシンプレックスたちのインターセクション（共通集合）はシンプレックスたちのバーテックス（頂点）たちのセット（集合）たちのインターセクション（共通集合）によって決定されるシンプレックスである
シンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）上のポイントは、ユニークなシンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）上にある
シンプリシャルコンプレックスに対して、マキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）は他のどのシンプレックス（単体）とも交わらない
シンプリシャルコンプレックスに対して、シンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）で別のシンプレックス（単体）上にあるものは、後者シンプレックス（単体）のバーテックス（頂点）である
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスに対して、コンプレックス内の各シンプレックス（単体）はマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たちセット（集合）のサブセット（部分集合）の要素たちのフェイスたちである
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のシンプリシャルコンプレックスに対して、アンダーライイング（下にある）スペース（空間）のオープンサブセット（開部分集合）でスターと交わるものはスターに含まれたマキシマル（極大）シンプレックスのシンプレックスインテリア（内部）と交わる
セット（集合）および2つのトポロジー-アトラスペアたちに対して、もしも、共通のチャートドメイン（定義域）たちオープンカバー（開被覆）があり、各トランジション（遷移）がディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って、ペアたちは同一である
セット（集合）およびセット（集合）に対して、[前者セット（集合）マイナス後者セット（集合）]のパワーセット（集合）は、[前者セット（集合）のパワーセット（集合）]要素たちマイナス後者セット（集合）である
セット（集合）たちのセット（集合）に対して、ダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）は必ずしもペアワイズ（ペア毎）非ディスジョイント（互いに素）を意味しない
セット（集合）に対して、アトラス候補はトポロジーとアトラスを決定する
トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）マイナスサブセット（部分集合）は空のインテリア（内部）を持っている
周囲トポロジカルスペース（空間）内に包含されたトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、スペース（空間）が、周囲スペース（空間）的にローカルに周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である場合、スペース（空間）は周囲スペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）である
トポロジカルスペース（空間）およびファイナイト（有限）数のオープンカバー（開被覆）たちに対して、カバー（被覆）たちのインターセクション（共通集合）はオープンカバー（開被覆）である
トポロジカルスペース（空間）およびその、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、プロダクトたち間のインジェクティブ（単射）コンティニュアス（連続）マップ（写像）でファイバー維持でファイバー上でリニア（線形）なものは、コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である
トポロジカルスペース（空間）およびその、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たちとの2つのプロダクトたちに対して、プロダクトたち間のマップ（写像）でファイバー維持でファイバー上でリニア（線形）なものはコンティニュアス（連続）である、もしも、カノニカル（正典）マトリックス（行列）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って
トポロジカルスペース（空間）およびクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちのローカルにファイナイト（有限な）セット（集合）に対して、セット（集合）のユニオン（和集合）はクローズド（閉）である
トポロジカルスペース（空間）およびオープンカバー（開被覆）に対して、サブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、サブセット（部分集合）とオープンカバー（開被覆）の各要素のインターセクション（共通部分集合）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限って
トポロジカルスペース（空間）およびサブスペース（部分空間）上のポイントに対して、ポイントのベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）上でネイバーフッド（近傍）である
トポロジカルスペース（空間）に対して、サブスペース（部分空間）のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトである
トポロジカルスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）に対するベーシス（基底）である
トポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）とサブスペース（部分空間）のインターセクション（共通集合）は必ずしもサブスペース（部分空間）上でコンパクトではない
トポロジカルスペース（空間）に対して、スペース（空間）のオープン（開）でクローズド（閉）なサブセット（部分集合）はスペース（空間）のコネクテッド（連結された）コンポーネントたちのユニオン（和集合）である
トポロジカルスペース（空間）、ポイント、ポイントのネイバーフッド（近傍）に対して、ポイントの近傍上におけるネイバーフッド（近傍）はポイントのベーススペース（空間）上のネイバーフッド（近傍）である
トポロジカルスペース（空間）に対して、エグゾースチョンファンクション（関数）下のナチュラルナンバー（自然数）たちクローズド（閉）上限インターバル（区間）たちのプリイメージ（前像）たちのシーケンス（列）は、スペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）たちによるエグゾースチョンである
トポロジカルスペース（空間）に対して、コンパクトサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）は必ずしもコンパクトではない
トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、スーパスペース（空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブスペース（部分空間）マイナスサブセット（部分集合）でサブスペース（部分空間）のサブスペース（部分空間）とみなしたものはスーパースペース（空間）マイナスサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）である
トポロジカルスペース（空間）に対して、サブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）上でコンパクトであるものはサブスペース（部分空間）でコンパクトである
トランスファイナイト（超限）リカージョン（反復）定理に対して、フォーミュラの部分的指定で十分であるいくつかの条件
メンバーシップによるパーシャルオーダリング（部分的順序）を持つトランジティブセット（推移的集合）に対して、要素はそれへのイニシャルセグメントである
ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の各ペアサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちがユニットアソシエイトたちである場合、サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちはユニットアソシエイトたちである、しかし、逆は真でない
ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の各ペアサブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちがユニットアソシエイトたちである場合、そしてその場合に限って、サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちはサブセット（部分集合）の要素たちのマルチプル（積）のアソシエイトたちである
ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）の最大共通ディバイザー（因子）たちを得る、サブセット（部分集合）の各要素をアソーシエイトたちクオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を用いてファクタライズ（因子分解）することによる方法
ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）の最小共通マルチプル（倍）たちを得る、サブセット（部分集合）の各要素をアソーシエイトたちクオシエント（商）セット（集合）のレプリゼンタティブ（代表）たちセット（集合）を用いてファクタライズ（因子分解）することによる方法
ユニークファクタライゼイションドメイン（因子分解領域）に対して、もしも、要素たちのマルチプル（倍）がイリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）であれば、少なくとも1つの構成要素がイリデューシブル（約分不能）要素によってディバイジブル（割れる）である
ベクトルたちバンドル（束）およびトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちカバーに対して、オープンサブセット（開部分集合）のベーシス（基底）と\(R^k\)のベーシス（基底）のプロダクトたちのトリビアライゼーションたち下のプリイメージ（前像）たちはトータルスペースのベーシス（基底）を構成する
\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、ベーススペース（空間）上のチャートオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）ではない（多分）
\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、\(C^\infty\)フレームはトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在する
\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、そこ上方の\(C^\infty\)フレームに関する係数たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って
\(C^\infty\)ベクトルバンドル（束）に対して、チャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）がある
\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、チャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）する
\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）がある
ベクトルたちスペース（空間）および2つの同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たちに対して、共通のコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）がある
ベクトルたちスペース（空間）、リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできる
ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、非ゼロオーソゴーナル（直交）要素たちのセット（集合）はリニア（線形）にインディペンデント（独立）である
ベクトルたちスペース（空間）に対して、ファイナイト（有限）ジェネレイター（作成元たち）は縮小してベーシス（基底）にできる
ベクトルたちスペース（空間）、スペース（空間）のジェネレイター（作成元たち）、ジェネレイター（作成元たち）内に包含されたリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、ジェネレイター（作成元たち）は、リニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）保持したまま縮小してベーシス（基底）にできる
ベクトルたちスペース（空間）に対して、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）たちのインターセクション（共通集合）はサブスペース（部分空間）でディメンション（次元）はサブスペース（部分空間）たちのミニマム（最小）ディメンション（次元）に等しいかそれより小さい
ベクトルたちスペース（空間）、サブスペース（部分空間）、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）に対して、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）でコンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）にトリビアルにインターセクトする（交わる）ものは、サブスペース（部分空間）の中へ同一ディメンショナル（次元）サブスペース（部分空間）としてプロジェクト（射影）される
'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、ドメイン（定義域）のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）のイメージ（像）は、コドメイン（余域）上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）またはベーシス（基底）である
ウェルオーダード（整列）ストラクチャーおよびそのサブストラクチャーに対して、サブストラクチャーのオーディナル（順序）数はベースストラクチャーのオーディナル（順序）数のメンバーであるかオーディナル（順序）数である
(n + n') x (n + n'')インジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で右上n x n''サブマトリックス（部分行列）が0であるものに対して、左上n x nサブマトリックス（部分行列）をインジェクティブ（単射）マトリックス（行列）で置き換えたものはインジェクティブ（単射）である
n x nマトリックス（行列）に対して、もしも、m行たちで、n - mより多くの同一列たち0を持つものがある場合、マトリックス（行列）はインバーティブル（可逆）でない
nシンメトリックグループ（対称群）およびnサイクル（巡回置換）に対して、シンメトリックグループ（対称群）上のサイクル（巡回置換）のセントラライザー（中心化群）はサイクル（巡回置換）によるシクリックグループ（循環群）である
エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）に対するローカルスライスコンディションまたはエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対するローカルスライスコンディションのフォーマライゼーション（定式化）
セット（集合）の各要素をセット（集合）の中にユニークにマップするフォーミュラはファンクション（関数）を構成する
ユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）であるものから同ディメンショナル（次元）またはより高ディメンショナル（次元）ユークリディアンノルム付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）へのポリノミアル（多項式）マップ（写像）下の、メジャー（測度）0サブセット（部分集合）のイメージ（像）はメジャー（測度）0である
メジャー（測度）0サブセット（部分集合）の、ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）から同ディメンショナル（次元）またはより高ディメンショナル（次元）ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）へのリプシッツ条件を満たすマップ（写像）イメージ（像）はメジャー（測度）0である
自然数からカウンタブル（可算）セット（集合）へのファンクション（関数）たちセット（集合）はカウンタブル（可算）である
ファンクショナルに（関数により）ストラクチャード（構造化された）トポロジカルスペース（空間）たちカテゴリーモーフィズム（射）たちはモーフィズム（射）たちである
ファンクター（関手）はアイソモーフィズム（同形写像）をアイソモーフィズム（同形写像）へマップする
コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はマップ（写像）たちにインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコンポジション（合成）である
ホメオモーフィズム（位相同形写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である
ホモトピーイクイバレンス（等値写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である
グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）に対するファンダメンタル（基本的）定理
ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のための微積分の基本定理
グループ（群）はグループ（群）のリバースト（逆向きにされた）オペレーターグループ（群）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である
グループ（群）、ファイナイト（有限）数のノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は、任意に順序替え・結合されたノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとしてのグループ（群）である
グループ（群）、2つのノーマルサブグループ（正規部分群）たちのダイレクトサムとして、は2つのサブグループ（部分群）たちのダイレクトプロダクトへ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である
ハウスドルフマキシマル（最大）プリンシプル（律）: パーシャリーオーダードセット（半順序集合）内のチェイン（鎖）はマキシマル（最大）チェイン（鎖）に包含されている
互いにホメオモーフィック（位相同形）なトポロジカルスペース（空間）たちは等価なアトラス（座標近傍系）たちを持てる
ウェッジプロダクト（楔積）の、テンソルアルジェブラ（テンソル代数）の要素たちのイクイバレンスクラス（同値類）とみたものは、当該テンソルプロダクト（テンソル積）構成体とどう関係しているか
ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のサブセット（部分集合）の中へのアイデンティティマップ（恒等写像）は\(C^\infty\)である
アイデンティティ（恒等）マップ（写像）でドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）が別のトポロジーたちを持っているものはコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）がコドメイン（余域）より密である場合、そしてその場合に限って
もしも、トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）下のクローズドセット（閉集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である
もしも、ディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちのユニオン（共通集合）がクローズド（閉）である場合、各サブセット（部分集合）は必ずしもクローズド（閉）ではない
もしも、ディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちのユニオン（共通集合）がオープン（開）である場合、各サブセット（部分集合）は必ずしもオープン（開）だとは限らない
コンパクトトポロジカルスペース（空間）から\(\mathbb{R}\)へのコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つ
マップ（写像）のコンティニュアス（連続）性をチェックするためには、ベーシス（基底）またはサブベーシス（基底）のみのプリイメージ（前像）たちだけで十分である
トポロジカルスペース（空間）の中へのクローズドサブスペース（閉部分空間）からのインクルージョン（封入）はクローズド（閉）コンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である
トポロジカルスペース（空間）の中へのサブスペース（部分空間）からのインクルージョン（封入）はコンティニュアス（連続）である
コンティニュアス（連続）トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）コドメイン（余域）上のインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）である
トポロジカルサブスペース（部分空間）上のインクルージョン（封入）によるインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）である
コンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）クオシィエント（商）からのインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である
インジェクティブ（単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はレンジ（値域）の上への'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である
トポロジカルスペース（空間）たち間のインジェクティブ（単射）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である、もしも、マップ（写像）の、オープンカバー（開被覆）の各要素についてのドメイン（定義域）リストリクション（制限）がレンジ（値域）またはコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）上へのコンティニュアス（連続）エンベディング（埋め込み）である場合
集合たちのインターセクション（共通集合）のインジェクティブ（単射）マップ（写像）イメージ（像）は集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）である
インテジャー（整数）たちリング（環）はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）である
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の2つのトランスバーサル（横断）レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）は特定コディメンジョン（余次元）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である
サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）の中に包含されている
サブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）である
セット（集合）たちのプロダクトたちのインターセクション（共通集合）はセット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトである
トランシティブ（推移的）リレーション（関係）たちのセット（集合）のインターセクション（共通集合）はトランシティブ（推移的）である
グループ（群）のサブグループ（部分群）とグループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）のインターセクション（共通集合）はサブグループ（部分群）のノーマルサブグループ（正規部分群）である
サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）とサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）はサブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）である
クローズドセット（閉集合）たちのインターセクション（共通集合）またはファイナイト（有限）数ユニオン（和集合）はクローズド（閉）である
ユークリディアンノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のためのインバース（逆）定理
クローズド（閉）バイジェクション（全単射）のインバース（逆）はコンティニュアス（連続）である
パーシャルオーダリング（部分的順序）のインバース（逆）はパーシャルオーダリング（部分的順序）である
トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのネストにおいて、サブスペース（部分空間）のコネクテッド（連結された）性はスーパースペース（空間）に依存しない
トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのネストにおいて、サブスペース（部分空間）上のサブセット（部分集合）のオープン（開）性はスーパースペース（空間）に依存しない
ラテン方陣で、各行がパーミュテーション（並べ替え）と見なされたものはグループ（群）を形成する、もしも、2行たちのコンポジション（合成）が行である場合、そしてその場合に限って
リーグループ（群）上の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）は\(C^\infty\)である
パスホモトピックパスたちのリフトたちで同一ポイントから開始するものたちはパスホモトピックである
リミット（極値）条件は等号付き条件で置き換えることが可能
同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間リニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）のリニア（線形）レンジ（値域）はベクトルたちスペース（空間）である
ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間のリニア（線形）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）から同一ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）へのリニア（線形）サージェクション（全射）は'ベクトルスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である
オープン（開）であることのローカル基準
クロージャー（閉包）のローカルキャラクタライゼーション: ポイントはサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）上にある、もしも、その全てのネイバーフッド（近傍）がサブセット（部分集合）と交わる場合、そしてその場合に限って
ユークリディアンノルム付きスペース（空間）ODEに対するローカル唯一解の存在
ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はパラコンパクトである、もしも、スペース（空間）はオープン（開）\(\sigma\)コンパクトサブスペース（部分空間）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でバイジェクティブ（全単射）で各ポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはディフェオモーフィズムである
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間のマップ（写像）でポイントにおいてローカルにディフェオモーフィックであるものはポイントにおいて\(C^\infty\)である
グループ（群）たち間マップ（写像）で2要素たちのプロダクト（積）を要素たちのイメージ（像）たちのプロダクト（積）へマップするものはグループ（群） ホモモーフィズム（準同形写像）である
トポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）はポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、それらは\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、ポイントおよびポイントイメージ（像）の周りにマニフォールド（多様体）たちのチャートたちおよびチャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのリストリクテッド（制限された）コーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合
トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）のファイナイト（有限）数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）への、マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合
トポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）のオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）への、マップ（写像）のドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合
トポロジカルスペース（空間）間のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の各クローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って
マッピングシリンダー（円柱）からトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、アジャンクション（付加）アタッチング元スペース（空間）からとアジャンクション（付加）アタッチング先スペース（空間）からのインデュースト（導出された）マップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）またはクローズド（閉）アッパーハーフ（上半）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープンサブセット（開部分集合）の上へのマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って
トポロジカルスペース（空間）からファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って
セット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）に包含されている
セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）は必ずしもセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）ではない
ポイントのマップ（写像）イメージ（像）はサブセット（部分集合）上にある、もしも、ポイントがサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）上にある場合、そしてその場合に限って
サブセット（部分集合）のマップ（写像）イメージ（像）はサブセット（部分集合）の中に含まれている、もしも、サブセット（部分集合）がサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）内に含まれている場合、そしてその場合に限って
セット（集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）イメージ（像）はセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）である
マップ（写像）はバイジェクション（全単射）である、もしも、コドメイン（余域）ポイントのプリイメージ（前像）が1ポイントサブセット（部分集合）である場合、そして、その場合に限って
クオシエントトポロジーのマップ（写像）はクオシエントマップ（写像）である
セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）である
コドメイン（余域） マイナス セット（集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域） マイナス セット（集合）のプリイメージ（前像）である
レンジ（値域）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体である
セット（集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はセット（集合）たちのプリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）である
コドメイン（余域）全体のマップ（写像）プリイメージ（前像）はドメイン（定義域）全体である
ディスジョイント（互いに素な）サブセット（部分集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちはディスジョイント（互いに素）である
コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でいたる所でローカルにコンスタントであるマップ（写像）はグローバルにコンスタントである
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）の上へのマップ（写像）はチャートマップ（写像）である、もしも、それがディフェオモーフィズムである場合、そしてその場合に限って
マップ（写像）たちコンポジション（合成）プリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）である
マトリックス（行列）たちマルチプリケーション（乗法）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である
セット（集合）の、オーダリング（順序）のインバース（逆）に関する最大要素はセット（関数）の、元のオーダリング（順序）に関する最小要素である
グループ（群）、リング（環）、フィールド（体）要素たちの累乗たちに関するメモ
メトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）は\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持つ場合、そしてその場合に限って
セット（集合）の、オーダリング（順序）のインバース（逆）に関する最小要素はセット（関数）の、元のオーダリング（順序）に関する最大要素である
デデキントカット（切断）のマイナスデデキントカット（切断）は本当にデデキントカット（切断）である
モーションはインジェクティブ（単射）である
同一サイズブロックたちから出来ているマトリックス（行列）のマルチプリカブル（積を取ることができる）同一サイズブロックたちから出来ているマトリックス（行列）によるマルチプリケーション（積）はブロックたち毎である
セット（集合）たちのカーディナリティたちの積たちはアソシアティブ（結合的）である
セット（集合）のカーディナリティ（濃度）の自然数乗はカーディナリティ（濃度）のその回数分の積である
プロダクトトポロジカルスペース（空間）へのネットはポイントへ収束する、もしも、ネット後の各プロジェクションがポイントのコンポーネントへ収束する場合、そしてその場合に限って
どの2セット（集合）たちもお互いをメンバーとして持つことはない
どのセット（集合）も自分自身をメンバーとして持たない
コンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）からコンプレックス（複素）数たちユークリディアントポロジカルスペース（空間）の上への非ゼロマルチプリカティブ（乗法）トランスレーション（移動）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である
グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）は、グループ（群）のサブグループ（部分群）の、ノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったもののノーマルサブグループ（正規部分群）である
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムたちはイクイバレント（等値）である
セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、オープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つ
\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）上にて、ポイントはサブセット（部分集合）の\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、それがサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って
コンプリメントがファイナイト（有限）であるオープンセット（開集合）たちと空集合を合わせたものはトポロジーである
メジャー（測度）0サブセット（部分集合）のオープンセット（開集合　コンプリメント（補集合）はデンス（密）である
オープンセット（開集合）はサブセット（部分集合）とインターセクトする（交わる）、もしも、それがサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とインターセクト（交わる）場合
オープンセット（開集合）マイナスクローズドセット（閉集合）はオープン（開）である
ユークリディアントポロジカルスペース（空間）上のオープンセット（開集合）はラショナル（有理）ポイントを持つ
オープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）である
\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のオープンサブセット（開部分集合）は\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である
ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）のオープンサブスペース（開部分空間）はローカルにコンパクトである
累乗たちの順序
オーディナル（順序）数はグラウンデッドであり、そのランクはそれ自身である
オーディナル（順序）数はリミットオーディナル（順序）数である、もしも、それが非ゼロでその全メンバーたちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って
同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であり、インバース（逆）はオーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）である
オーソゴーナル（直交）リニア（線形）マップ（写像）はモーションである
フィールド（体）上方にて、ポリノミアル（多項式）と非ゼロポリノミアル（多項式）ディバイザー（除数）は、ユニークなクウォシェント（商）およびリメインダー（余り）を持つ
フィールド（体）上方にて、n次ポリノミアル（多項式）は多くてもn根しか持たない
コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）のオープンセット（開集合）たちペアはファイナイト（有限）数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）である
コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）のオープンカバーの要素たちペアはカバー要素たちを介してファイナイト（有限）数オープンセット（開集合）たちシーケンスコネクテッド（連結された）である
リーグループ（群）の\(C^\infty\)右アクションによって導出された、ベクトルたちのパラメータによるファミリーとカーブは、同一ベクトルを代表する、もしも、. . .
セット（集合）の部分はサブセット（部分集合）である、もしも、セット（集合）の各要素が部分の中にあるか外にあるかを決定するフォーミュラがある場合
パスコネクテッド（連結された）トポロジカルコンポーネントは、より大きくはできないパスコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）に他ならない
パスコネクテッド（連結された）コンポーネントはローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）かつクローズド（閉）である
パーミュテーション（並べ替え）は、パーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）をパーミュテーション（並べ替え）たちのセット（集合）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップする、左または右からコンポジション（合成）によって
ポイントはサブセット（部分集合）のマップ（写像）イメージ（像）上にある、もしも、ポイントのプリイメージ（前像）がサブセット（部分集合）内に含まれている場合、しかし、その場合に限ってではない
コネクテッド（連結された）リーグループ（群）上のポイントは、エクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）のファイナイト（有限）数積として表わすことができる
インテグラルドメイン（整域）上方のポリノミアル（多項式）たちリング（環）はインテグラルドメイン（整域）である
サージェクション（全射）下のプリイメージ（前像）はサージェクション（全射）に関してサチュレイテッド（飽和した）である
プロダクトマップ（写像）によるプリイメージ（前像）はコンポーネントマップ（写像）たちによるプリイメージ（前像）たちのプロダクトである
コンティヌアス（連続）ファンクション（関数）たちのマトリックス（行列）の非ゼロ デターミナント（行列式）たちのプリイメージ（前像）はオープンである
ドメイン（定義域）制限されたマップ（写像）下のプリイメージ（前像）は、元のマップ（写像）下のプリイメージ（前像）と制限されたドメイン（定義域）とのインターセクション（共通集合）である
プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、2つの要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものである
コンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）はコンティヌアス（連続）である
任意のコンプリメント（補集合）たちのプロダクトは、セット（集合）全体たちのプロダクトマイナス、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）である
クローズドセット（閉集合）たちのプロダクトはプロダクトトポロジーにおいてクローズド（閉）である
コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）である
ファイナイト（有限）数コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）である
ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはハウスドルフである
コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはパスコネクテッド（連結された）である
トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）である
セット（集合）たちのプロダクトたちは'セット（集合）たち - マップ（写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）である
ベクトルたちスペース（空間）からの、サブスペース（部分空間）の中への、コンプリメンタリーサブスペース（補部分空間）についての、プロジェクション（射影）はリニア（線形）マップ（写像）であり、任意のサブスペース（部分空間）のイメージ（像）はサブスペース（部分空間）である
プロジェクティブ（射影）ハイパープレーン（超平面）はハウスドルフである
命題1または命題2、もしも、もしも、非命題2である場合、命題1である、場合、そしてその場合に限って
レギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上のカーブに沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）のスーパーマニフォールド（多様体）の中へのインクルージョン（封入）の下でのプッシュフォワードイメージ（像）は\(C^\infty\)である
コンパクトトポロジカルスペース（空間）のクウォシェント（商）スペース（空間）はコンパクトである
クオシエント（商）トポロジーはマップ（写像）をコンティヌアス（連続）にする唯一の最も密なトポロジーである
シリンダー（円柱）のクオシエント（商）でアンチポーダル（対心）ポイントたちを同定したものはメビウスバンド（帯）とホメオモーフィック（位相同形写像）である
リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）はノルムを誘導する
コーディネイト（座標）トポロジーたちを持つトポロジカルスペース（空間）たち間の'リアル（実）ベクトルスペース（空間）たち-リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）はホメオモーフィック（位相同形写像）である
リーアルジェブラ（多元環）ホモモーフィズム（準同形写像）下のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のリーサブアルジェブラ（多元環）である
グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）のレンジ（値域）はコドメイン（余域）のサブグループ（部分群）である
レギュラーサブマニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）はベース\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の、特定のコディメンジョン（余次元）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である
パワーセット（集合）公理とサブセット（部分集合）公理の間の関係
ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちマップ（写像）のデリバティブ（微分係数）のレシデュー（残余）は第2引数のポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である、もしも、元のマップ（写像）が対応するポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）である場合、そしてデリバティブ（微分係数）は第1引数ポイントにおける元のマップ（写像）デリバティブ（微分係数）のマイナスプラス対応するポイントにおける元のマップ（写像）デリバティブ（微分係数）
エンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、に関するリストリクテッド（制限された）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）はエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きである
\(C^\infty\)マップ（写像）のオープン（開）ドメイン（定義域）およびオープン（開）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は\(C^\infty\)である
\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ベーススペース（底空間）についてのリストリクション（制限）は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）である
コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である
コンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）である
トポロジカルスペース（空間）間プロパーマップ（写像）のサチュレイテッド（飽和した）ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）およびレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はプロパーである
ティーチェ拡張定理の逆
リーマニアンバンドル（束）はコンパチブル（互換）コネクション（接続）を持つ
\(n\)ディメンジョナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）内のローテーション（回転）は\((n - 2)\)ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）アクシス（軸）に沿った同一の\(2\)ディメンジョナル（次元）ローテーション（回転）たちである
全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）たちのセット（集合）はトポロジーを決定する
各ポイントの周りのサブセット（部分集合）たちのセット（集合）で諸条件を満たすものは、各セット（集合）がネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）になるユニークなトポロジーを生成する
サブセット（部分集合）たちのセット（集合）でセット（集合）全体と空集合を含むものはサブベーシス（基底）を構成する
ベクトルスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのセット（集合）はベクトルスペース（空間）を構成する
n x nクォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）は対応する2n x 2nコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である
アファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）は、カノニカル（自然な）トポロジーを持つアファインシンプレックス（単体）上でオープン（開）である
プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上方のレクタングルマトリックス（長方行列）に対するスミスノーマルフォーム（正規形）定理
シンプレックス（単体）は同ディメンショナル（次元）クローズドボール（閉球）にホメオモーフィック（位相同形）である
2ディメンショナル（次元）より高いかもしれないマトリックスをインデックスたちペアについてシンメトリック（対称）なパートとアンチシンメトリック（反対称的）なパートに分割することについてのいくつかの事実たち
コンティヌアスマップ（写像）たちのいくつかの疑似プロダクトマップ（写像）はコンティヌアス（連続）である
ZFCセット（集合）理論のための妥当なフォーミュラたちのいくつかのパーツたち
アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）についてのいくつかのプロパティたち、アタッチング元スペース（空間）へのサブセット（部分空間）からのインクルージョン（封入）がクローズド（閉）エンベディング（埋蔵）である時
\(\mathbb{R}^n\)ベクトルのユークリディアンノルムの2乗は、ポジティブデフィニット（正定値）リアル（実）クオドラティック（2次）フォーム（形式）を最大アイゲンバリュー（固有値）で割ったものに等しいかより大きい
\(\mathbb{R}^n\)ベクトルのユークリディアンノルムの2乗は、ポジティブデフィニット（正定値）リアル（実）クオドラティック（2次）フォーム（形式）を最小アイゲンバリュー（固有値）で割ったものに等しいかより小さい
ステレオグラフィックプロジェクションはホメオモーフィズム（位相同形写像）である
アーベリアン加法グループ（群）のサブグループ（群）はグループ（群）のリトラクトである、もしも、別のサブグループ（群）がありグループがサブグループ（群）たちの和である場合、そしてその場合に限って
グループ（群）のサブグループ（部分群）の、グループ（群）のノーマルサブグループ（正規部分群）によるマルチプリケーション（乗法）を取ったものはグループ（群）のサブグループ（部分群）である
サブセット（部分集合）はサブセット（部分集合）のマップ（写像）イメージ（像）のプリイメージ（前像）に包含される
サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）は第2サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）マイナス第1サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）である
サブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）たちのシーケンス（列）のユニオン（和集合）は、それぞれが第1サブセット（部分集合）マイナスシーケンス（列）の部分的ユニオン（和集合）であるサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）である
リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のポイントたちのアファインインディペンデント（独立）セット（集合）のサブセット（部分集合）はアファインインディペンデント（独立）である
ファースト（第1）カテゴリーサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）はファースト（第1）カテゴリーのものである
必ずしもオープン（開）でないトポロジカルサブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合
オープン（開）トポロジカルサブスペース（空間）のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）上でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って
プロダクトトポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、それがクローズドサブセット（部分集合）たちでその内のファイナイト（有限）個のみがスペース（空間）全体でないもののプロダクトたちのファイナイト（有限）ユニオン（和集合）たちのインターセクション（共通集合）である場合、そしてその場合に限って
クオシエントトポロジースペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のクオシエントマップ（写像）下のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って
\(R^{d-k}\)のサブセット（部分集合）は、もしも、\(R^k\)とサブセット（部分集合）のプロダクト（積）がオープンであれば、オープンである
アジャンクション（付加）トポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）はオープンである、もしも、サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）のプロジェクション（射影）たちが条件を満たしてオープンである場合、そしてその場合に限って
ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、その、コンプレックスの各要素とのインターセクション（共通集合）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って
トポロジカルサブスペース（部分空間）上のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のクローズドセット（閉集合）であってそれのサブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）がサブセット（部分集合）であるものがある場合、そして、その場合に限って
コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）を包含しコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）に包含されているサブスペース（部分空間）はコネクテッド（連結された）である
セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）はセカンドカウンタブル（可算）である
ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）ODEに対するインターバル（区間）上のユニークなグローバル解の存在に対する十分条件たち
レシデュアル（残余）サブセット（部分集合）のスーパーセット（集合）はレシデュアル（残余）である
\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおけるタンジェントベクトルは、\(C^\infty\)カーブのベロシティーである、特に、ハーフクローズド（半閉）インターバル（空間）からのカーブ、特に、コーディネート（座標）たちにおいてリニア（線形）なカーブ
ジェネラルリニア（線形）グループ（群）の恒等変換元におけるタンジェントスペース（空間）とジェネラルリニア（線形）リーアルジェブラ（多元環）との間のアイソモーフィズム（同型写像）
2つのデデキントカットたちの間にラショナル（有理）およびイラショナル（無理）デデキントカットたちがある
全てのセット（集合）たちを包含するセット（集合）はない
2ポイントたちのトポロジカルコネクテッド性はイクイバレンス（同値）リレーション（関係）である
2ポイントたちのトポロジカルパスコネクテッド（連結された）性はイクイバレンスリレーション（等価関係）である
トポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、クローズドセット（閉集合）たちのコレクションで任意のファイナイト（有限）数メンバーたちのインターセクション（共通集合）が空でないどんなものに対しても、コレクションのインターセクション（共通集合）が空でない場合、そしてその場合に限って
トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、クウォシェント（商）スペース（空間）およびクウォシェント（商）スペース（空間）の各要素がコネクテッド（連結された）である場合
トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）である、もしも、そのオープン（開）かつクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちはそれと空集合だけである場合、そしてその場合に限って
トポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、それがシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである場合
トポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）が\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って
トポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、クローズドセット（閉集合）およびそれを包含オープンセット（開集合）に対して、クローズドセット（閉集合）を包含するオープンセット（開集合）（その〜）がある場合、そしてその場合に限って
トポロジカルサブスペース（部分空間）はローカルにクローズド（閉）である、もしも、それがベーススペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）である場合、そして、その場合に限って
パラコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのトポロジカルサムはパラコンパクトである
サブセット（部分集合）のトランジティブ（推移的）クロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）を包含するトランジティブ（推移的）セット（集合）である
オーディナル（順序）数たちのアンバウンデッドな（範囲限定されていない）コレクションはセット（集合）ではない
2つのコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）である、もしも、サブスペース（部分空間）上のポイントの各ネイバーフッド（近傍）が他のサブスペース（部分空間）のポイントを包含する場合
サブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）である
ダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）リアル（実）インターバル（区間）たちセット（集合）のユニオン（和集合）はリアル（実）インターバル（区間）である
インデックス付けられたサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）マイナス同じインデックスたちセット（集合）でインデックス付けられたサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は各インデックスに対するサブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）に包含されている
パスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）パスコネクテッド（連結された）である、もしも、各サブスペース（部分空間）からポイントを抽出したサブスペース（部分空間）がパスコネクテッド（連結された）である場合
モノイドアイデンティティ要素の唯一存在
コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）のユニバーサルプロパティ
クウォシェント（商）マップ（写像）のユニバーサルプロパティ
\(C^\infty\)カーブに沿ったベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って
ベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って
リストリクテッド（制限された）タンジェントベクトルたちバンドル（束）上のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、スーパーマニフォールド（多様体）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果がレギュラーサブマニフォールド（正規部分多様体）上で\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題
\(C^\infty\)カーブに沿ったベロシティーベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である
ウェルオーダード（整列集合）サブセット（部分集合）にインクルージョン（包含）オーダリング（順序）を付けたものはベースセット（集合）内のチェイン（鎖）である
バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のチャートインデュースト（誘導された）ベーシス（基底）ベクトルとは何であるか
カーブのクローズドバウンダリーポイント（閉境界点）におけるベロシティーとは何であるか
リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、それはベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）によってスパンされる（張られる）
リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないセット（集合）によってスパンされる（張られる）コンベックスセット（集合）がアファインシンプレックス（単体）である時、ポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちが全てポジティブ（正）であるものは、シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）上にある、しかし、ポイントでその元のコエフィシェント（係数）たちの内の1つが0であるものは、必ずしもシンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）バウンダリー（境界）上にない
ポイントのイメージ（像）がサブセット（部分集合）のイメージ（像）上にあるとき、ポイントはサブセット（部分集合）上にある、もしも、マップ（写像）がサブセット（部分集合）のイメージ（像）に関してインジェクティブ（単射）である場合
なぜ、ユークリディアンノルム付きスペース（空間）ODEに対してローカル解の存在がグローバルな存在を保証しないか
ノーマル（正規）サブグループ（部分群）に関して、コセット（剰余類）たちのセット（集合）はグループ（群）を形成する
サブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の要素によるコセット（剰余類）はコセット（剰余類）に等しい、もしも、要素が後者コセット（剰余類）のメンバーである場合、そしてその場合に限って
nディメンショナル（次元）クォータニオン（4元数）ジェネラルリニア（線形）グループ（群）は、非ゼロデターミナント（行列式）対応する2n x 2nコンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのセット（集合）へ'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であり、後者によって代表することができる
nスフィア（球）はパスコネクテッド（連結された）である

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参考資料

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