ヒルベルトスペース（空間）、非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、ヒルベルトスペース（空間）上のポイントに対して、サブセット（部分集合）上のユニークなポイントでポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがあることの記述/証明
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2025年3月30日日曜日
1061: ヒルベルトスペース（空間）、非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、ヒルベルトスペース（空間）上のポイントに対して、サブセット（部分集合）上のユニークなポイントでポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがある
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ヒルベルトスペース（空間）、非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、ヒルベルトスペース（空間）上のポイントに対して、サブセット（部分集合）上のユニークなポイントでポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがあることの記述/証明
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ヒルベルトスペース（空間）、非空クローズド（閉）コンベックス（凸）サブセット（部分集合）、ヒルベルトスペース（空間）上のポイントに対して、サブセット（部分集合）上のユニークなポイントでポイントへのディスタンス（距離）が最小であるものがあることの記述/証明
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1060: コンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでドメイン（定義域）上のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、ネットのイメージ（像）はポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）はポイントのイメージ（像）である
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コンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでドメイン（定義域）上のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、ネットのイメージ（像）はポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）はポイントのイメージ（像）であることの記述/証明
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コンティニュアス（連続）マップ（写像）およびダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットでドメイン（定義域）上のポイントへコンバージ（収束）するものに対して、ネットのイメージ（像）はポイントのイメージ（像）へコンバージ（収束）し、もしも、コドメイン（余域）がハウスドルフである場合、ネットのイメージ（像）のコンバージェンス（収束ポイント）はポイントのイメージ（像）であることの記述/証明
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1059: メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して
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メトリック（計量）はコンティニュアス（連続）である、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーに関して、という命題の記述および証明を得る。
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1058: ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則
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ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルム付きのもの上のパラレログラム（平行四辺形）法則の記述/証明
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1057: メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフである
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メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）はハウスドルフであることの記述/証明
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1056: テンソルたちのテンソルプロダクトのリアル（実）パラメータによるデリベイションはライプニッツルールを満たす
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テンソルたちのテンソルプロダクトのリアル（実）パラメータによるデリベイションはライプニッツルールを満たすことの記述/証明
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1055: ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）からタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、タンジェント（接）ベクトルはファンクション（関数）に、ベクトルたちがプロジェクテッド（射影された）ファンクション（関数）たちへオペレート（作用）したものたちのサム（合計）としてオペレート（作用）する
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ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）からタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、タンジェント（接）ベクトルはファンクション（関数）に、ベクトルたちがプロジェクテッド（射影された）ファンクション（関数）たちへオペレート（作用）したものたちのサム（合計）としてオペレート（作用）することの記述/証明
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ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）からタンジェント（接）ベクトルたちスペース（空間）たちのダイレクトサムの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）に対して、タンジェント（接）ベクトルはファンクション（関数）に、ベクトルたちがプロジェクテッド（射影された）ファンクション（関数）たちへオペレート（作用）したものたちのサム（合計）としてオペレート（作用）することの記述/証明
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1054: ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）からプロジェクテッド（射影された）\(C^\infty\)マップ（写像）、ポイントに基づいて\(j\)-番目を除きドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって
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ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）からプロジェクテッド（射影された）\(C^\infty\)マップ（写像）、ポイントに基づいて\(j\)-番目を除きドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって、の定義
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1053: ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）からインデュースト（誘導された）\(C^\infty\)マップ（写像）、ポイントに基づいていくつかのドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって
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ファイナイト（有限）-プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からの\(C^\infty\)マップ（写像）からインデュースト（誘導された）\(C^\infty\)マップ（写像）、ポイントに基づいていくつかのドメイン（定義域）コンポーネントたちを固定することによって、の定義
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1052: トポロジカルスペース（空間）たち間のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）でコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）の中へマップされるものに対して、ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のオープンネイバーフッド（開近傍）でオープンサブセット（開部分集合）の中へマップされるものがある
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トポロジカルスペース（空間）たち間のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）でコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）の中へマップされるものに対して、ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のオープンネイバーフッド（開近傍）でオープンサブセット（開部分集合）の中へマップされるものがあることの記述/証明
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トポロジカルスペース（空間）たち間のコンティニュアス（連続）マップ（写像）およびドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）でコドメイン（余域）のオープンサブセット（開部分集合）の中へマップされるものに対して、ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）のオープンネイバーフッド（開近傍）でオープンサブセット（開部分集合）の中へマップされるものがあることの記述/証明
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1051: トポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントからファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちのポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされる
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トポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントからファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちのポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされることの記述/証明
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1050: トポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントからファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントマップ（写像）たちのポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされる
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トポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントからファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントマップ（写像）たちのポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされることの記述/証明
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トポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントからファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントマップ（写像）たちのポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされることの記述/証明
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1049: トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）
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トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義
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2025年3月23日日曜日
1048: リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）である
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リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）であることの記述/証明
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リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）であることの記述/証明
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1047: ヒルベルトスペース（空間）
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ヒルベルトスペース（空間）の定義
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ヒルベルトスペース（空間）の定義
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1046: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、レギュラードメイン、インクルージョン（封入）、2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちに対して、ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）はプシュフォワードされエクステンデッド（拡張された）ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）をプルバックしたものである
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、レギュラードメイン、インクルージョン（封入）、2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちに対して、ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）はプシュフォワードされエクステンデッド（拡張された）ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）をプルバックしたものであることの記述/証明
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1045: フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は\(k\)個のコベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である
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フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は\(k\)個のコベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明
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フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちおよびフィールド（体）に関するテンソルたちスペース（空間）は\(k\)個のコベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であることの記述/証明
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1044: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）および対応するチャートたちに対して、\((0, q)\)-テンソルたちのプルバックの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれである
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）および対応するチャートたちに対して、\((0, q)\)-テンソルたちのプルバックの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであることの記述/証明
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1043: \((0, q)\)-テンソルのポイントにおける\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の\(C^\infty\)マップ（写像）によるプルバック
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\((0, q)\)-テンソルのポイントにおける\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の\(C^\infty\)マップ（写像）によるプルバックの定義
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1042: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）および対応するチャートたちに対して、ディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれである
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)マップ（写像）および対応するチャートたちに対して、ディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであることの記述/証明
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