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トポロジカルグループ(群)に対して、\(1\)におけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)はこれらのプロパティたちを満たす、そして、ポイントに\(1\)におけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)を掛けたものはポイントにおけるネイバーフッド(近傍)たちベーシス(基底)であることの記述/証明
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グループ(群)でトポロジーを持ちコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))、要素、要素のネイバーフッド(近傍)に対して、\(1\)のシンメトリック(対称)ネイバーフッド(近傍)で要素に\(1\)のネイバーフッド(近傍)を左から掛けて\(1\)のネイバーフッド(近傍)のインバース(逆)を右から掛けたものが要素のネイバーフッド(近傍)に包含されているものがあることの記述/証明
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グループ(群)でトポロジーを持ちコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、インバージョン(逆)マップ(写像)、要素による左または右からのマルチプリケーション(乗法)マップ(写像)、要素によるコンジュゲーション(共役)マップ(写像)たちはホメオモーフィズム(位相同形写像)たちであることの記述/証明
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グループ(群)でトポロジーを持ちコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、\(1\)のネイバーフッド(近傍)、ポジティブ(正)ナチュラルナンバー(自然数)に対して、\(1\)のシンメトリック(対称)ネイバーフッド(近傍)でそのナチュラルナンバー(自然数)乗がネイバーフッド(近傍)内に包含されているものがあることの記述/証明
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グループ(群)でトポロジーを持ちコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、ファイナイト(有限)マルチプリケーション(積)マップ(写像)はコンティニュアス(連続)であることの記述/証明
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グループ(群)でトポロジーを持ちコンティニュアス(連続)オペレーションたちを持つもの(特に、トポロジカルグループ(群))に対して、\(1\)のシンメトリック(対称)ネイバーフッド(近傍)たちのセット(集合)は\(1\)におけるネイバーフッド(近傍)ベーシス(基底)であることの記述/証明
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トポロジカルスペース(空間)に対して、コネクテッド(連結された)サブスペース(部分空間)たちでポイントを共有しているものたちのユニオン(和集合)はコネクテッド(連結された)であることの記述/証明
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プロダクトトポロジカルスペース(空間)に対して、プロジェクション(射影)はコンティニュアス(連続)であることの記述/証明
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トポロジカルスペース(空間)およびポイントに対して、ポイントのファイナイト(有限)個のネイバーフッド(近傍)たちのインターセクション(共通集合)はポイントのネイバーフッド(近傍)であることの記述/証明
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トポロジカルグループ(群)の定義
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グループ(群)に対して、サブセット(部分集合)のインバース(逆)はインバース(逆)マップ(写像)の下でサブセット(部分集合)のイメージ(像)であり、サブセット(部分集合)のダブルインバース(逆)はサブセット(部分集合)であることの記述/証明
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グループ(群)およびサブセット(部分集合)たちに対して、サブセット(部分集合)たちのユニオン(和集合)のインバース(逆)はサブセット(部分集合)たちのインバース(逆)たちのユニオン(和集合)であることの記述/証明
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グループ(群)およびサブセット(部分集合)たちに対して、サブセット(部分集合)たちのインターセクション(共通集合)のインバース(逆)はサブセット(部分集合)たちのインバース(逆)たちのインターセクション(共通集合)であることの記述/証明
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グループ(群)に対して、サブセット(部分集合)と、2個のサブセット(部分集合)たちのインターセクション(共通集合)のプロダクト(積)は、第1サブセット(部分集合)と第2サブセット(部分集合)のプロダクト(積)と第1サブセット(部分集合)と第3サブセット(部分集合)のプロダクト(積)のインターセクション(共通集合)に包含されているが、必ずしもそれに等しくないことの記述/証明
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グループ(群)のシンメトリック(対称)サブセット(部分集合)の定義
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グループ(群)のサブセット(部分集合)のインバース(逆)の定義
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トポロジカルスペース(空間)、サブスペース(部分空間)のサブセット(部分集合)に対して、サブセット(部分集合)のサブスペース(部分空間)上のクロージャー(閉包)はサブセット(部分集合)のベーススペース(空間)上のクロージャー(閉包)に包含されていることの記述/証明
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トポロジカルスペース(空間)たち間のコンティニュアス(連続)マップ(写像)に対して、サブセット(部分集合)のクロージャー(閉包)のイメージ(像)はサブセット(部分集合)のイメージ(像)のクロージャー(閉包)内に包含されていることの記述/証明
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トポロジカルスペース(空間)のサブセット(部分集合)上のダイレクテッド(有向)インデックスセット(集合)によるネットでスペース(空間)上でコンバージする(収束する)ものに対して、コンバージェンス(収束ポイント)はサブセット(部分集合)のクロージャー(閉包)上にあることの記述/証明
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ディスジョイント(互いに素な)ユニオン(和集合)トポロジカルスペース(空間)に対して、サブセット(部分集合)たちのディスジョイント(互いに素な)ユニオン(和集合)のクロージャー(閉包)はサブセット(部分集合)たちのクロージャー(閉包)たちのディスジョイント(互いに素な)ユニオン(和集合)であることの記述/証明
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