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同一ドメイン（定義域）から同一コドメイン（余域）の中への\(2\)個のコンティニュアスマップ（連続写像）たちおよびドメイン（定義域）のファイナイト（有限）ディスジョイント（互いに素）クローズドカバー（閉被覆）に対して、もしも、マップ（写像）たちのカバー（被覆）の各要素についてのリストリクション（制限）たちがサブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックである場合、マップ（写像）たちはサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックであることの記述/証明
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非空オープン（開）またはクローズド（閉）サブセット（部分集合）たちの非増加シーケンス（列）シーケンス（列）のインターセクション（共通集合）は必ずしもポイントを包含しないことの記述/証明
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サブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）はセット（集合）全体である、もしも、サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）が空である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
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ホモトピーイクイバレンス（同値写像）たちのコンポジション（合成）はホモトピーイクイバレンス（同値写像）であることの記述/証明
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第1スペース（空間）から第2スペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）および第2スペース（空間）から第3スペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、もしも、第1マップ（写像）および第1マップ（写像）の後に第2マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）がホモトピーイクイバレンス（同値写像）たちである場合、第2マップ（写像）はホモトピーイクイバレンス（同値写像）であることの記述/証明
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第1スペース（空間）から第2スペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）および第2スペース（空間）から第3スペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、もしも、第2マップ（写像）および第1マップ（写像）の後に第2マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）がホモトピーイクイバレンス（同値写像）たちである場合、第1マップ（写像）はホモトピーイクイバレンス（同値写像）であることの記述/証明
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ホモトピーイクイバレンス（同値写像）に対して、ホモトピーイクイバレンス（同値写像）にホモトピックなマップ（写像）はホモトピーイクイバレンス（同値写像）であることの記述/証明
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同一ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）を持つ\(2\)個のコンティニュアスマップ（連続写像）たちおよびドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）たちに対して、もしも、各クラスがクラスの中へマップされマップ（写像）たちが複数ポイントたちクラスたちを包含するサブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックである場合、クオシエント（商）スペース（空間）たち間のインデュースト（誘導された）マップ（写像）たちはサブセット（部分集合）のクオシエント（商）へレラティブ（相対的）にホモトピックであることの記述/証明
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同一ドメイン（定義域）から同一コドメイン（余域）の中への\(2\)個のコンティニュアスマップ（連続写像）たちおよびドメイン（定義域）のディスジョイント（互いに素）オープンカバー（開被覆）に対して、もしも、マップ（写像）たちのカバー（被覆）の各要素についてのリストリクション（制限）たちがサブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックである場合、マップ（写像）たちはサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックであることの記述/証明
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トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアスマップ（連続写像）たちのセット（集合）上において、ドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックであることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であることの記述/証明
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スペース（空間）とローカルにコンパクトハウスドルフスペース（空間）のプロダクトからのコンティニュアスマップ（連続写像）および第1スペース（空間）およびコドメイン（余域）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）たちに対して、もしも、第1スペース（空間）イクイバレンス（同値）クラスがコドメイン（余域）イクイバレンス（同値）クラスの中へマップされる場合、クオシエント（商）スペース（空間）と第2スペース（空間）のプロダクトとクオシエント（商）スペース（空間）の間のインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
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コンティニュアスマップ（連続写像）およびドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）たちに対して、もしも、ドメイン（定義域）イクイバレンス（同値）クラスがコドメイン（余域）イクイバレンス（同値）クラス内にマップされる場合、クオシエント（商）スペース（空間）たち間のインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
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コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）に対して、各コンスタントトポロジカルスペース（空間）エンドモーフィズム（自己準同形写像）はアイデンティティマップ（恒等写像）へホモトピックであることの記述/証明
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コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）からパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の中への\(2\)個のコンティニュアスマップ（連続写像）たちはホモトピックであることの記述/証明
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トポロジカルスペース（空間）からパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の中への\(2\)個のコンスタントマップ（写像）たちはホモトピックであることの記述/証明
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コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）からトポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）はコンスタントマップ（写像）へホモトピックであることの記述/証明
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コントラクティブル（縮められる）トポロジカルスペース（空間）はパスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
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トポロジカルスペース（空間）はコントラクティブル（縮められる）である、もしも、スペース（空間）が\(1\)-ポイントトポロジカルスペース（空間）へホモトピーイクイバレント（同値）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
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トポロジカルスペース（空間）たちのコレクション上のホモトピーイクイバレンス（同値写像）リレーション（関係）の定義
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クオシエント（商）コレクションの定義
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