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オープンインターバル（開区間）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でユークリディアンノルムを持つものの中へのディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対して、ポイントイメージ（像）のノルムは、非ネガティブ（負）インターバル（区間）間ディファレンシャブルマップ（微分可能写像）によってアッパーバウンデッド（上から限られる）である、もしも、非ネガティブ（負）インターバル（区間）間リプシッツマップ（写像）で特定コンディションたちを満たすものがある場合、ことの記述/証明
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
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パーシャリーオーダードリング（半順序環）、ファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちで同一インデックスセット（集合）を持つもの、サブセット（部分集合）たちの合計としてのサブセット（部分集合）で同じインデックスセット（集合）を持つものに対して、サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）はサブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちの合計に等しいかそれより小さく、サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）はサブセット（部分集合）たちのインフィマム（下限）たちの合計に等しいかそれより大きいことの記述/証明
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リニアリーオーダードリング（線形順序環）の定義
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パーシャリーオーダードリング（半順序環）の定義
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ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）からノルム付きベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のポイントにおけるデリバティブ（微分係数）の定義
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ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中への\(C^1\)マップ（写像）に対する平均値定理の記述/証明
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クローズドインターバル（閉区間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中へのディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対する平均値定理の記述/証明
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
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ローカルマキシマム（最大値）またはミニマム（最小値）ポイントにおけるパーシャルデリバティブ（微分係数）たちに対するフェルマーの定理の記述/証明
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ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）でポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）であるものの定義
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ユークリディアン\(c^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(c^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）であるものの定義
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
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リニアリーオーダードリング（線形順序環）、ファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちで同一インデックスセット（集合）を持つもの、サブセット（部分集合）たちの合計としてのサブセット（部分集合）で同じインデックスセット（集合）を持つものに対して、サブセット（部分集合）のマキシマム（最大値）はサブセット（部分集合）たちのマキシマム（最大値）たちの合計に等しいかそれより小さく、サブセット（部分集合）のミニマム（最小値）はサブセット（部分集合）たちのミニマム（最小値）たちの合計に等しいかそれより大きいことの記述/証明
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リニアリーオーダードセット（線形順序集合）に対して、非空ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）はマキシマム（最大）およびミニマム（最小）を持つことの記述/証明
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リニアリーオーダードセット（線形順序集合）に対して、サブセット（部分集合）は必ずしもサプリマム（上限）またはインフィマム（下限）を持たないことの記述/証明
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リニアリーオーダードセット（線形順序集合）およびサブセット（部分集合）に対して、セット（集合）の要素はサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）である、もしも、要素がサブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより小さく、要素より大きいセット（集合）の各要素に対して、より小さいサブセット（部分集合）の要素がある場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
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リニアリーオーダードセット（線形順序集合）およびサブセット（部分集合）に対して、セット（集合）の要素はサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、要素がサブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、要素より小さいセット（集合）の各要素に対して、より大きいサブセット（部分集合）の要素がある場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
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パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）の定義
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パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）の定義
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リニアリーオーダードセット（線形順序集合）のサブセット（部分集合）でインデュースト（誘導された）リニアオーダリング（線形順序）を持つものの定義
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パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）でインデュースト（誘導された）パーシャルオーダリング（半順序）を持つものの定義
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パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のミニマム（最小）の定義
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