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グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））からノルム付きベクトルたちスペース（空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものの中へのコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、もしも、非ゼロたちのプリイメージ（前像）がドメイン（定義域）のコンパクトサブセット（部分集合）内に包含されている場合、マップ（写像）はユニフォームにコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
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グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））からノルム付きベクトルたちスペース（空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものの中へのユニフォームにコンティニュアス（連続）なマップ（写像）の定義
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トポロジカルスペース（空間）およびサブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のベーススペース（空間）上におけるクロージャー（閉包）でサブスペース（部分空間）内に包含されているものはサブスペース（部分空間）上におけるクロージャー（閉包）であることの記述/証明
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グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は、サブセット（部分集合）に\(1\)の任意のネイバーフッド（近傍）を左または右から掛けたものに包含されていることの記述/証明
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グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、要素を\(1\)の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）によって左または右から掛けたものは要素の（オープン（開））ネイバーフッド（近傍）であることの記述/証明
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ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットに対して、コンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちのコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そして、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされることの記述/証明
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グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、コンパクトサブセット（部分集合）のインバース（逆）はコンパクトであり、コンパクトサブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）積はコンパクトであることの記述/証明
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トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアスマップ（連続写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）はコドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であることの記述/証明
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トポロジカルグループ（群）および\(2\)個のディスジョイント（互いに素）コンパクトサブセット（部分集合）たちに対して、\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でコンパクトサブセット（部分集合）たちにネイバーフッド（近傍）を左からネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものたちがディスジョイント（互いに素）であるものがあることの記述/証明
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グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））およびコンパクトサブセット（部分集合）でオープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものに対して、\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でコンパクトサブセット（部分集合）にネイバーフッド（近傍）を左からネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものがオープンサブセット（開集合）内に包含されているものがあることの記述/証明
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グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、オープンサブセット（開部分集合）にサブセット（部分集合）を左または右から掛けたものはオープンサブセット（開部分集合）であることの記述/証明
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グループ（群）に対して、シンメトリック（対称）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はシンメトリック（対称）であることの記述/証明
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間\(C^\infty\)カバリングマップ（写像）に対して、\(C^\infty\)ユニティのパーティション、コドメイン（余域）上方のイーブンにカバーされたチャートたちカバーに従属する、のプルバックは、\(C^\infty\)ユニティのパーティション、ドメイン（定義域）上方のチャートたちカバーに従属する、であることの記述/証明
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トポロジカルスペース（空間）、クローズドサブセット（閉部分集合）、オープンサブセット（開部分集合）たちのディスジョイント（互いに素）セット（集合）でそのユニオン（和集合）がクローズドサブセット（閉部分集合）を包含するものに対して、クローズドサブセット（閉部分集合）と各オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）はスペース（空間）上でクローズド（閉）であることの記述/証明
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トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトたちはホメオモーフィズム（位相同形写像）の意味でアソシアティブ（結合的）であることの記述/証明
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、オープンサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、に対して、イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、とオープンサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、のインターセクション（共通集合）は、オープンサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、であることの記述/証明
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、イマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、はマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、であることの記述/証明
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\(C^\infty\)イマージョンたちのコンポジション（合成）は\(C^\infty\)イマージョンであることの記述/証明
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のイマーストサブマニフォールド、バウンダリー（境界）付き、に対して、サブセット（部分集合）でサブスペース（部分空間）トポロジーによってオープン（開）であるものはオープン（開）であり、それはエンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、である、もしも、オープンサブセット（開部分集合）はサブスペース（部分空間）トポロジーによってオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
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ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちのファイナイト（有限）-'ダイレクトサム'上のプロダクトノルムの定義
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