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リニアリーオーダードフィールド（線形順序体）、ファイナイト（有限）数のセット（集合）たちで同一ファイナイト（有限）インデックスセット（集合）を持つものたち、セット（集合）たちの合計としてのセット（集合）で同じインデックスセット（集合）を持つものに対して、セット（集合）のマキシマム（最大）はセット（集合）たちのマキシマム（最大）たちの合計に等しいかそれより小さく、セット（集合）のミニマム（最小）はセット（集合）たちのミニマム（最小）たちの合計に等しいかそれより大きいことの記述/証明
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リニアリーオーダードセット（線形順序集合）に対して、非空ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）はマキシマム（最大）およびミニマム（最小）を持つことの記述/証明
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セット（集合）
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リニアリーオーダードセット（線形順序集合）に対して、サブセット（部分集合）は必ずしもサプリマム（上限）またはインフィマム（下限）を持たないことの記述/証明
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リニアリーオーダードセット（線形順序集合）およびサブセット（部分集合）に対して、セット（集合）の要素はサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）である、もしも、要素がサブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより小さく、要素より大きいセット（集合）の各要素に対して、より小さいサブセット（部分集合）の要素がある場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
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リニアリーオーダードセット（線形順序集合）およびサブセット（部分集合）に対して、セット（集合）の要素はサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、要素がサブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、要素より小さいセット（集合）の各要素に対して、より大きいサブセット（部分集合）の要素がある場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
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パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）の定義
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パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）の定義
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リニアリーオーダードセット（線形順序集合）のサブセット（部分集合）でインデュースト（誘導された）リニアオーダリング（線形順序）を持つものの定義
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パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）でインデュースト（誘導された）パーシャルオーダリング（半順序）を持つものの定義
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パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のミニマム（最小）の定義
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パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のマキシマム（最大）の定義
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パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のローワーバウンド（下限）たちのセット（集合）の定義
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パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のアッパーバウンド（上限）たちのセット（集合）の定義
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パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のミニマル（極小）要素たちのセット（集合）の定義
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コンパクトパラメータスペース（空間）を持つ、ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）のサブスペース（部分空間）からユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）のサブスペース（部分空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）でローカルにリプシッツ評価たちを満たすものに対して、コンパクトサブスペース（部分空間）上へのリストリクション（制限）はリプシッツ評価たちを満たすことの記述/証明
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メトリックスペース（計量付き空間）
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トポロジカルスペース（空間）
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オープンマップ（開写像）たちのファイナイト（有限）プロダクトはオープン（開）であることの記述/証明
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トポロジカルスペース（空間）
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プロダクトマップ（写像）に対して、プロダクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は、コンポーネントサブセット（部分集合）たちのコンポーネントたちマップ（写像）たち下のイメージ（像）たちのプロダクトであることの記述/証明
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セット（集合）
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\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の\(C^\infty\)ローカルセクション（断面）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
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ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、スペース（空間）からスペース（空間）の中へのマップ（写像）はユニタリである、もしも、マップ（写像）はオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）に関するユニタリマトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
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同一リング（環）上方のモジュール（加群）で\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つものからモジュール（加群）で\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、マップ（写像）は\(d_2 \times d_1\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
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モジュール（加群）
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マトリックス（行列）たちスペース（空間）
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