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ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で\(1\)個の共有された要素を持つ\(2\)個のベーシス（基底）たちを持つもの、シンメトリック（対称）またはアンチシンメトリック（反対称）\((0, 2)\)-テンソルで共有された要素によるそのインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）が\(0\)であるものに対して、もしも、テンソルの、一方のサブスペース（部分空間）上のリストリクション（制限）がノンディジェネレート（非縮退）である場合、他方のリストリクション（制限）はノンディジェネレート（非縮退）であることの記述/証明
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ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもののデンスサブセット（密部分集合）から同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのセルフアジョイントリニアマップ（線型写像）に対して、もしも、マップ（写像）がサージェクティブ（全射）である場合、マップ（写像）はバイジェクティブ（全単射）であることの記述/証明
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ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもののデンスサブセット（密部分集合）から同一ベクトルたちスペース（空間）の中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）のアジョイントのカーネル（核）はマップ（写像）のレンジ（値域）のオーソゴーナル（直交）コンプリメント（補）であることの記述/証明
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ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持ちインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの、デンスサブセット（密部分集合）からスペース（空間）の中へのマップ（写像）、デンスサブセット（密部分集合）で第1サブセット（部分集合）を包含するものからスペース（空間）の中へのマップ（写像）でそのアジョイントがスペース（空間）をドメイン（定義域）として持つものに対して、\(2\)個のマップ（写像）たちの和のアジョイントは\(2\)個のマップ（写像）たちのアジョイントたちの和であることの記述/証明
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\(d'\)-ディメンショナル（次元）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、\(d\)-ディメンショナル（次元）イマーストサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、サブマニフォールド（部分多様体）上のポイントに対して、もしも、ベースマニフォールド（多様体）上のチャートでそのサブマニフォールド（部分多様体）上のリストリクション（制限）が\(d' - d\)コンポーネントたちに関してコンスタントであるものがある場合、サブマニフォールド（部分多様体）上のタンジェント（接）スペース（空間）はスタンダードベーシス（標準基底）の\(d\)コンポーネントたちによってスパン（張る）されることの記述/証明
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ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちでノルムたちによってインデュースト（誘導された）トポロジーたちを持つものたちのファイナイト（有限）-ダイレクトサムに対して、プロダクトノルムはプロダクトトポロジーをインデュース（誘導）することの記述/証明
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ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きベクトルたちスペース（空間）からノルム付きベクトルたちスペース（空間）の中へのリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
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ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間マップ（写像）に対して、マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、マップ（写像）はノルムたちによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）たちによってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）としてコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
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コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムはカノニカル（正典）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムであるとみなすことができることの記述/証明
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リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムで、'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）によってインデュースト（誘導された）もの、の定義
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コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でベーシス（基底）を持つものに対して、カノニカル（正典）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）は、コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）とそれに\(i\)を掛けたもののユニオン（和集合）であるベーシス（基底）を持つことの記述/証明
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コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、もしも、レンジ（値域）が\(2\)個のポイントたちを包含している場合、レンジ（値域）はポイントたち間の任意のポイントを包含することの記述/証明
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびコタンジェントベクトルたちバンドル（束）上のローカル\(C^\infty\)フレームに対して、プリデュアルローカルフレームは\(C^\infty\)であることの記述/証明
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
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ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対する、コベクトルたちスペース（空間）のベーシス（基底）のプリデュアルベーシス（基底）の定義
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、およびタンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）上のローカル\(C^\infty\)フレームに対して、デュアルローカルフレームは\(C^\infty\)であることの記述/証明
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\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
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トポロジカルスペース（空間）およびディスジョイント（互いに素）オープンサブセット（開部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）でサブスペース（部分空間）とみなしたものは、サブセット（部分集合）サブスペース（部分空間）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）であることの記述/証明
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トポロジカルスペース（空間）およびディスジョイント（互いに素）サブセット（部分集合）たちに対して、サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）でサブスペース（部分空間）とみなしたものは、必ずしも、サブセット（部分集合）サブスペース（部分空間）たちのディスジョイント（互いに素な）ユニオン（和集合）トポロジカルスペース（空間）ではないことの記述/証明
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フリーアーベリアングループ（アーベル群）の定義
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グループ（群）
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リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）、コンベックスサブセット（凸部分集合）、コンベックスサブセット（凸部分集合）上のファイナイト（有限）個ポイントたちに対して、ポイントたちのコンベックスコンビネーションはコンベックスサブセット（凸部分集合）上にあることの記述/証明
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アーベリアングループ（アーベル群）のサブグループ（部分群）はノーマルサブグループ（正規部分群）であることの記述/証明
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グループ（群）
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