506: 構造化された記述たちのルールたち

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構造化された記述たちのルールたちの記述

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話題

About: 記法

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述たちを求める動機
• 2: 命題たちの'構造化された記述'たちのルールたち
• 3: 定義たちの'構造化された記述'たちのルールたち
• 4: 発展途中のものである

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開始コンテキスト

• なし

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、構造化された記述たちのルールたちの記述を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述たちを求める動機

私たちは、本シリーズ内の'記述'（または'自然言語記述'）を読む時、フォーマットが、コンテンツを可能な限り速やかに理解するのに最適でないとしばしば感じ、読むのがもっと効率的なフォーマットがあるはずだと考え始めた。

最も重要なポイントは、記述たちが同一の構造にて表現されることであり、すると、何の情報にはどこを見れば良いかを知っていることになるだろう。

確かに、一部の人々は私たちのものとは違う構造を好むだろうが、彼らが私たちの構造を嫌ったとしても、それでも、彼らは、何の情報にはどこを見れば良いかを知っていることになるだろう。

1つのアイデアは、命題の中の全てのエンティティ（実体）は第1ブロック内にリストされ、ステートメント（言明）たちは第2ブロック内にリストされるということである。すると、どんなエンティティ（実体）たちが当該命題内に関わっているのかを私たちは用意に理解できるだろう。

各ブロックは視覚的に親切であるべきである。例えば、エンティティ（実体）たちは行単位でリストされるべきである、それは、読者がエンティティ（実体）たちを速やかに把握したり、ステートメント（言明）たちを見ている時にあるエンティティ（実体）を見つけ出したりするのに寄与するだろう; 2つのステートメント（言明）たちは同じ行内にあるべきでなく、それらの間の論理的接続子（'$\wedge$'または'$\vee$'）はそれだけで1行を占めるべきであり、各ステートメント（言明）の仮定部と結論部は同じ行にいるべきでなく、それらの間の含意方向マーク（'$⟹$'または'$⟺$'）はそれだけで1行を占めるべきである、それは、読者がステートメント（言明）たちの論理的構成を速やかに把握するのに寄与するだろう。

別のアイデアは、記法たちは簡潔で一貫しているということである。例えば、私たちは、"$r\in \mathbb{R}$"と書くべきか、"$r$は任意の実数である"と書くべきか？私たちは、前者を選ぶ。実際、"~は任意の~である"は$\text{ ~ }\in \{\text{ 全ての~たち }\}$として表現できるはずだ。確かに、コレクション$\{\text{ 全ての~たち }\}$が$\mathbb{R}$のようであれば、それは簡潔であるが、もしもコレクションがそうした標準的記法を持たなかったらどうだろうか？えーと、私たちは、それにも関わらず、$T\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$のような記法を採択しよう、一貫性のために（一貫性が簡潔性に優先）。それに、表現$\text{ ~ }\in \{\text{ 全ての~たち }\}$は、より厳密であるように著者に強いる利点があるようだ: 例えば、著者はしばしば"$U$は任意のオープンサブセット（開部分集合）である。"と書く誘惑にかられるが、$U\in \{T\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$と書くよう強いられる気がする: 場合によって、当該サブセット（部分集合）がどのスペース（空間）上でオープン（開）であるかが曖昧になる。

最初は、著者は、命題たちの'構造化された記述'たちだけのことを考えていたが、それを定義たちの'構造化された記述'たちにも拡張した。確かに、多くの単純な定義たちは特に'構造化された記述'たちを必要としないが、一部の複雑な定義たちには有効になり得る。

'構造化された記述'は論理的に完全である、それが意味するのは、'自然言語記述'と比べて何の情報も欠如していない。

したがって、'構造化された記述'は'自然言語記述'無しでも自ら十分であり、少しの間、私たちは両方を示すかもしれないが、'自然言語記述'はそのうち放棄されるだろう、多分。

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2: 命題たちの'構造化された記述'たちのルールたち

第1のルールとして、著者は、より良い可読性を実現するために一部のルールたちを破る裁量を持つ、なぜなら、目的の全体はより良い可読性であって、ルールたちを守ることではない。

以下は例である。

エンティティ（実体）たち:
$T^{\prime }$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$A$: $\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}$
$B^{\prime }$: $\in \{T^{\prime }\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}$、$=\{B_{\alpha }^{\prime }\subseteq T^{\prime }|\alpha \in A\}$
$T$: $\subseteq T^{\prime }$、サブスペース（部分空間）トポロジーを持ったもの
$B$: $\{B_{\alpha }^{\prime }\cap T|\alpha \in A\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$B\in \{T\text{ の全てのベーシス（基底）たち }\}$。
//

エンティティ（実体）たちは1行単位にリストされる。

場合によって、著者は、あるエンティティ（実体）を'エンティティ（実体）たち'ブロック内にリストするべきか思いまどう: 例えば、上記の$A$は独立してリストされるべきか、それとも、それは$B^{\prime }$のための行内に言及されていればよいのか？えーと、それはケースによる: 著者はそれを独立にリストしたが、その理由は、それが$B$のためにも使われていること。それに、$T^{\prime }$のトポロジーのようなエンティティ（実体）は明示的にリストされるべきでないのか？えーと、それは、それが'証明'内で明示的に言及されるかによる、そして、たとえされても、著者はそれに$T^{\prime }$行内で言及するように選択するかもしれない、それを独立にリストするのでなく。著者は、2つのメジャーなエンティティ（実体）たちを1行内に入れる必要を感じないが、実際のケースたちの中ではなんらかの微妙なことがあり得、そこでは第1のルールが適用される。

"$\in \{\text{ 全ての~たち }\}$"が使われる、"任意の~である"ではなく。注意として、それが意味するのは、"任意の~"であって"ある~"ではない。"ある~である"は、"$\mathrm{\exists }\in \{\text{ 全ての~たち }\}$"として表現される。

そこの"$\{\text{ ~ }\}$"は、必ずしも"セット（集合）"を意味せずコレクションを意味する（'セット（集合）'と'コレクション'の違いについては、これを参照）、したがって、"$\{\text{ トポロジカルスペース（空間）たち }\}$"は本当にはセット（集合）ではない、とかの心配は無用である。

"//"マークたちはブロックたちの終了たちを示す、それは、不要に思われるかもしれない、もしも、ブロックたちの間に何も挿入されず、ステートメント（言明）たちブロックの後の何かがステートメント（言明）たちブロックの一部であると混同されない保証があるのであれば、しかし、著者は、あるコメントがブロック間に挿入されるというようなケースたちを想定するので、マークたちは必要とされる。

上記のステートメント（言明）たちブロックは、1つのステートメント（言明）しか持たないが、複数のステートメント（言明）たちを持ちその内のいくつかは条件付きである時、それは以下のようになる。

ステートメント（言明）たち:
(
~
$⟹$
~
)
$\wedge$
~
//

含意方向マーク"$⟹$"または"$⟺$"は原則としてそれだけで1行を占める、それは視覚的に仮定部と結論部を分けるだろう、しかし、何らかのマイナーな含意方向マークたちが行内に埋め込まれることを禁止するものではない、第1のルールにしたがって。

任意の数の括弧たちが、曖昧さを避けるために使用できる。著者は常に"$()$"を使用し"$$"や"$[]$"は使用しない、その目的のためには。

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3: 定義たちの'構造化された記述'たちのルールたち

定義たちの'構造化された記述'たちのルールたちはほとんど命題たちの'構造化された記述'たちのためのルールたちと同じである、しかし、いくつかの相違たちがある。

定義の'構造化された記述'は'コンディションたち'ブロックを持つ、'ステートメント（言明）たち'ブロックの代わりに。

以下は例である。

エンティティ（実体）たち:
$T_1$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_2$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$p$: $\in T_1$
$\ast f$: $:T_1\to T_2$
//

コンディションたち:
以下を満たす$\mathrm{\forall }{U}_{f(p)}\subseteq T_2$、つまり、$U_{f(p)}\in \{f(p)\mathrm{の}\text{ 全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}$、以下を満たす$\mathrm{\exists }{U}_p\subseteq T_1$、つまり、$U_p\in \{p\mathrm{の}\text{ 全てのネイバーフッド（近傍）たち}\}$ $\wedge$ $f(U_p)\subseteq U_{f(p)}$。
//

複数の関係エンティティ（実体）たちがあり得る中で、それらの内の1つだけが本当にの中で定義されているエンティティ（実体）であり、当該エンティティ（実体）は"*"で示されている。

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4: 発展途中のものである

これは、定義たちおよび命題たちの記述たちがより速やかに理解されるようにする試みであり、ルールたちは、著者が記述たちを書き・読みするにつれて改善されるだろう。

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参考資料

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