パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）でインデュースト（誘導された）パーシャルオーダリング（半順序）を持つものの定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）でインデュースト（誘導された）パーシャルオーダリング（半順序）を持つものの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( S'\): \(\in \{\text{ 全てのパーシャリーオーダードセット（半順序集合）たち }\}\)で、任意のパーシャルオーダリング（半順序）\(\lt'\)を持つもの
\(*S\): \(\subseteq S'\)で、パーシャルオーダリング（半順序）\(\lt := \lt' \cap (S \times S)\)を持つもの
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(\lt\)は本当にパーシャルオーダリング（半順序）であることを見よう。
注意として、任意のパーシャルオーダリング（半順序）はあるリレーション（関係）である、それは、何らかのオーダード（順序付き）ペアたちのあるセット（集合）である。
\(\lt' \subseteq S' \times S'\)。
したがって、\(\lt' \cap (S \times S)\)は意味をなしている、そして、\(\lt \subseteq S \times S\)はあるリレーション（関係）である。
\(\lt\)は、パーシャルオーダリング（半順序）であるための条件たちを満たすことを見よう。
1) \(\lt\)はイリフレクシブ（反射的でない）である: 任意の要素\(s \in S\)に対して、\(\lnot s \lt s\)、なぜなら、\(s \in S'\)、そして、\(\lnot s \lt' s\)、それが意味するのは、\((s, s) \notin \lt'\)、そして、\((s, s) \notin \lt' \cap (S \times S) = \lt\)。
2) \(\lt\)はトランジティブ（推移的）である: 以下を満たす任意の要素たち\(s_1, s_2, s_3 \in S\)、つまり、\(s_1 \lt s_2\)および\(s_2 \lt s_3\)、に対して、\(s_1 \lt s_3\)、なぜなら、\(s_1, s_2, s_3 \in S'\)および\(s_1 \lt' s_3\)、それが意味するのは、\((s_1, s_3) \in \lt'\)、そして、\((s_1, s_3) \in \lt' \cap (S \times S) = \lt\)。
