任意のベクトルバンドルコネクション（ベクトル束接続）は任意のベクトルカーブ上のセクション（断面）値のみに依存するということの記述と証明
話題
About: ディファレンシャルジェオメトリ（微分幾何）
About: ベクトルバンドルコネクション（ベクトル束接続）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルバンドル（ベクトル束）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルバンドルコネクション（ベクトル束接続）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルバンドル（ベクトル束）に関する、トリビアル化ポイント近傍の定義を知っている。 読者は、\(C^\infty\)セクション（断面）の定義を知っている。
- 読者は、ローカルオペレーターの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)フレーム（枠）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルバンドルコネクション（ベクトル束接続）(\(\Gamma (TM) \times \Gamma (E) \rightarrow \Gamma (E)\))は任意の引数に関してローカルオペレーターであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルバンドル（ベクトル束）に関する任意のトリビアル化ポイント近傍の上方に\(C^\infty\)フレーム（枠）があるという命題を認めている。
読者は、\(C^\infty\)タンジェントベクトルフィールド（接ベクトル場）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルバンドルコネクション（ベクトル束接続）は任意のベクトルカーブ上のセクション（断面）値のみに依存するという命題の記述および定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)ベクトルバンドル（ベクトル束）\((E, M, \pi)\)、M上の任意の\(C^\infty\)タンジェントベクトルフィールド（接ベクトル場）\(X \in \Gamma (TM)\)、E上の任意の\(C^\infty\)セクション（断面）\(s \in \Gamma (E)\)、E上の任意の\(C^\infty\)セクション\(t \in \Gamma (E)\)、E上の任意のコネクション（接続）\(\nabla\)、M上の任意のポイント\(p \in M\)に対して、もしも、M上にpの任意の近傍\(U_p\)およびXを表わす、pを通る、\(U_p\)上の任意のカーブでそこで\(s = t\)であるものがあれば、\((\nabla_X s)_p = (\nabla_X t)_p\)である。
2: 証明
任意のコネクション（接続）は任意の引数に関してローカルオペレーターなので、その結果は、pのあるトリビアル化近傍\(U_p\)で評価すればよい。pのそのトリビアル化近傍の上方には\(C^\infty\)フレーム（枠）{\(e_1, \ldots, e_r\)}がある。pのそのトリビアル化近傍の上方で、\(s = s^ie_i\)および\(t = t^ie_i\)である、ここで、\(s^i, t^i \in C^\infty\)である。\((\nabla_Xs)_p = ( (X{s_i})e_i) (p) + (s_i\nabla_Xe_i) (p)\)および\((\nabla_Xt)_p = ( (X{t_i})e_i) (p) + (t_i\nabla_Xe_i) (p)\)である（ライプニッツルールによる）、しかし、Xはディレクショナルデリバティブ（方向微分係数）なので、\(Xs_i\)または\(Xt_i\)は、Xを表わす任意のカーブ上の\(s_i\)または\(t_i\)の値のみに依存する、しかし、そのカーブ上で\(s_i = t_i\)であるので、pにおいて\(Xs_i = Xt_i\)である。\(s_i (p) = t_i (p)\)でもあるので、\((\nabla_X s)_p = (\nabla_X t)_p\)である。
