コネクション（接続）はベクトルカーブ上のセクション（断面）値たちのみに依存することの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）コネクション（接続）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）および\(C^\infty\)ローカルトリビアライゼーションの定義を知っている。
- 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）のセクション（断面）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）上のローカル\(C^\infty\)フレームの定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方の任意のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、そこ上方の任意の\(C^\infty\)フレームに関する係数たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）コネクション（接続）は任意のベクトルカーブ上のセクション（断面）値たちのみに依存するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((E, M, \pi)\): \(\in \{\text{ ランク } k \text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}\)
\(V\): \(: M \to TM\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちフィールド（場）たち }\}\)
\(s_1\): \(: M \to E\), \(\in \{\pi \text{ の全ての } C^\infty \text{ セクション（断面）たち }\}\)
\(s_2\): \(: M \to E\), \(\in \{\pi \text{ の全ての } C^\infty \text{ セクション（断面）たち }\}\)
\(\nabla\): \(\in \{E \text{ 上の全てのコネクション（接続）たち }\}\)
\(m\): \(\in M\)
\(U_m\): \(\in \{m \text{ の } M \text{ 上の全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}\)
\(I\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ の全てのインターバル（区間）たち }\}\)
\(\gamma\): \(: I \to U_m\), \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)で、\(m = \gamma (0) \land d \gamma / d t \vert_0 = V (m)\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(s_1 \vert_{\gamma (I)} = s_2 \vert_{\gamma (I)}\)
\(\implies\)
\((\nabla_V s_1)_m = (\nabla_V s_2)_m\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(m\)の\(E\)に対する以下を満たす任意のトリビアライジングオープンネイバーフッド（開近傍）であるローカル\(C^\infty\)フレーム\((e_1, ..., e_k)\)を持つもの、つまり、\(U^`_m \subseteq U_m\)、を取る; ステップ2: \((\nabla_V s_1)_m = (V ({s_1}^j) e_j) (m) + ({s_1}^j \nabla_V e_j) (m)\)および\((\nabla_V s_2)_m = (V ({s_2}^j) e_j) (m) + ({s_2}^j \nabla_V e_j) (m)\)であることを見、本命題を結論する。
ステップ1:
\(U^`_m \subseteq M\)を、\(m\)の\(E\)に対するあるトリビアライジングオープンネイバーフッド（開近傍）であるローカル\(C^\infty\)フレーム\((e_1, ..., e_k)\)を持つものとしよう、それは可能である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題によって。
\(U^`_m \subseteq U_m\)としよう、それは可能である、なぜなら、そうでなければ、\(U^`_m \cap U_m\)を\(U_m\)の代わりに取ればよい。
ステップ2:
\(U^`_m\)上方で、\(s_1 = {s_1}^j e_j\)および\(s_2 = {s_2}^j e_j\)、ここで、\({s_1}^j: U^`_m \to \mathbb{R}\)および\({s_2}^j: U^`_m \to \mathbb{R}\)は\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方の任意のセクション（断面）は\(C^\infty\)である、もしも、そこ上方の任意の\(C^\infty\)フレームに関する係数たちが\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\((\nabla_V s_1)_m = (V ({s_1}^j) e_j) (m) + ({s_1}^j \nabla_V e_j) (m)\)、ライプニッツルールによって; \((\nabla_V s_2)_m = (V ({s_2}^j) e_j) (m) + ({s_2}^j \nabla_V e_j) (m)\)、同様に。
\(V\)は\(\gamma\)によって代表されているので、\(V ({s_1}^j)\)および\(V ({s_2}^j)\)は\({s_1}^j\)および\({s_2}^j\)の\(\gamma (I)\)上の値たちのみに依存する、しかし、\(s_1 \vert_{\gamma (I)} = s_2 \vert_{\gamma (I)}\)であるから、\(m\)において\(V ({s_1}^j) = V ({s_2}^j)\)である。
\(s_1 \vert_{\gamma (I)} = s_2 \vert_{\gamma (I)}\)であるから、\(({s_1}^j \nabla_V e_j) (m) = ({s_2}^j \nabla_V e_j) (m)\)。
したがって、\((\nabla_V s_1)_m = (V ({s_1}^j) e_j) (m) + ({s_1}^j \nabla_V e_j) (m) = (V ({s_2}^j) e_j) (m) + ({s_2}^j \nabla_V e_j) (m) = (\nabla_V s_2)_m\)。
