4: コネクション（接続）はベクトルカーブ上のセクション（断面）値のみに依存する

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任意のベクトルバンドルコネクション（ベクトル束接続）は任意のベクトルカーブ上のセクション（断面）値のみに依存するということの記述と証明

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話題

About: ディファレンシャルジェオメトリ（微分幾何）
About: ベクトルバンドルコネクション（ベクトル束接続）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルバンドル（ベクトル束）の定義を知っている。
• 読者は、ベクトルバンドルコネクション（ベクトル束接続）の定義を知っている。
• 読者は、ベクトルバンドル（ベクトル束）に関する、トリビアル化ポイント近傍の定義を知っている。
読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）の定義を知っている。

読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$タンジェントベクトルフィールド（接ベクトル場）の定義を知っている。


• 読者は、ローカルオペレーターの定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$フレーム（枠）の定義を知っている。
• 読者は、任意のベクトルバンドルコネクション（ベクトル束接続）($\mathrm{\Gamma }(TM)\times \mathrm{\Gamma }(E)\to \mathrm{\Gamma }(E)$)は任意の引数に関してローカルオペレーターであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のベクトルバンドル（ベクトル束）に関する任意のトリビアル化ポイント近傍の上方に$C^{\mathrm{\infty }}$フレーム（枠）があるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のベクトルバンドルコネクション（ベクトル束接続）は任意のベクトルカーブ上のセクション（断面）値のみに依存するという命題の記述および定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルバンドル（ベクトル束）$(E,M,\pi )$、M上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$タンジェントベクトルフィールド（接ベクトル場）$X\in \mathrm{\Gamma }(TM)$、E上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）$s\in \mathrm{\Gamma }(E)$、E上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$セクション$t\in \mathrm{\Gamma }(E)$、E上の任意のコネクション（接続）$\mathrm{\nabla }$、M上の任意のポイント$p\in M$に対して、もしも、M上にpの任意の近傍$U_p$およびXを表わす、pを通る、$U_p$上の任意のカーブでそこで$s=t$であるものがあれば、$({\mathrm{\nabla }}_{X}s{)}_p=({\mathrm{\nabla }}_{X}t{)}_p$である。

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2: 証明

任意のコネクション（接続）は任意の引数に関してローカルオペレーターなので、その結果は、pのあるトリビアル化近傍$U_p$で評価すればよい。pのそのトリビアル化近傍の上方には$C^{\mathrm{\infty }}$フレーム（枠）{$e_1,\dots ,e_r$}がある。pのそのトリビアル化近傍の上方で、$s=s^i{e}_i$および$t=t^i{e}_i$である、ここで、$s^i,t^i\in C^{\mathrm{\infty }}$である。$({\mathrm{\nabla }}_{X}s{)}_p=((X{s}_i)e_i)(p)+(s_i{\mathrm{\nabla }}_X{e}_i)(p)$および$({\mathrm{\nabla }}_{X}t{)}_p=((X{t}_i)e_i)(p)+(t_i{\mathrm{\nabla }}_X{e}_i)(p)$である（ライプニッツルールによる）、しかし、Xはディレクショナルデリバティブ（方向微分係数）なので、$X{s}_i$または$X{t}_i$は、Xを表わす任意のカーブ上の$s_i$または$t_i$の値のみに依存する、しかし、そのカーブ上で$s_i=t_i$であるので、pにおいて$X{s}_i=X{t}_i$である。$s_i(p)=t_i(p)$でもあるので、$({\mathrm{\nabla }}_{X}s{)}_p=({\mathrm{\nabla }}_{X}t{)}_p$である。

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参考資料

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