インデックス付けられたサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）マイナス同じインデックスたちセット（集合）でインデックス付けられたサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は各インデックスに対するサブセット（部分集合）マイナスサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）に包含されていることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）および任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）に対して、当該インデックスたちセット（集合）でインデックス付けられた任意のサブセット（部分集合）たち（サブセット（部分集合）たちの第1セット（集合））のユニオン（和集合）マイナス当該インデックスたちセット（集合）でインデックス付けられた任意のサブセット（部分集合）たち（サブセット（部分集合）たちの第2セット（集合））のユニオン（和集合）は、各インデックスに対する第1セット（集合）からのサブセット（部分集合）マイナス第2セット（集合）からのサブセット（部分集合）のユニオン（和集合）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）\(S\)、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）\(A\)、サブセット（集合）たちの任意のセット（集合）たち\(\{S_\alpha\vert \alpha \in A\}\)および\(\{S'_\alpha\vert \alpha \in A\}\)に対して、\(\cup_{\alpha \in A} S_\alpha \setminus \cup_{\alpha \in A} S'_\alpha \subseteq \cup_{\alpha \in A} (S_\alpha \setminus S'_\alpha)\)。
2: 証明
任意の要素\(p \in \cup_{\alpha \in A} S_\alpha \setminus \cup_{\alpha \in A} S'_\alpha\)に対して、ある\(\alpha\)に対して\(p \in S_\alpha\)、そして、各\(\alpha\)に対して\(p \notin S'_\alpha\)。ある\(\alpha\)に対して\(p \in S_\alpha \setminus S'_\alpha\)、\(p \in \cup_{\alpha \in A} (S_\alpha \setminus S'_\alpha)\)。
3: 注
当該は一般的に成立しない、なぜなら、任意の\(p \in \cup_{\alpha \in A} (S_\alpha \setminus S'_\alpha)\)に対して、ある\(\alpha\)に対して\(p \in S_\alpha \setminus S'_\alpha\)、その\(\alpha\)に対して\(p \in S_\alpha\)および\(p \notin S'_\alpha\)、しかし、もしも、ある\(\beta \neq \alpha\)に対して\(p \in S'_\beta\)であれば、\(p \notin \cup_{\alpha \in A} S_\alpha \setminus \cup_{\alpha \in A} S'_\alpha\)である。
