リニアリーオーダードセット（線形順序集合）に対して、サブセット（部分集合）は必ずしもサプリマム（上限）またはインフィマム（下限）を持たないことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニアリーオーダードセット（線形順序集合）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、あるリニアリーオーダードセット（線形順序集合）に対して、あるサブセット（部分集合）は必ずしもサプリマム（上限）またはインフィマム（下限）を持たないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S'\): \(\in \{\text{ 全てのリニアリーオーダードセット（線形順序集合）たち }\}\)で、任意のリニアオーダリング（線形順序）\(\lt'\)を持つもの
\(S\): \(\subseteq S'\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下は成立しない、つまり、\(\exists Sup (S)\)
\(\land\)
必ずしも以下は成立しない、つまり、\(\exists Inf (S)\)
//
2: 注
あるパーシャリーオーダードセット（半順序集合）のあるサブセット（部分集合）はサプリマム（上限）またはインフィマム（下限）を持たないということは容易に想像される、しかし、あるリニアリーオーダードセット（線形順序集合）であることは、あるサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）またはインフィマム（下限）の存在を保証しない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S\)がサプリマム（上限）を持たないある例を見る; ステップ2: \(S\)がインフィマム（下限）を持たないある例を見る。
ステップ1:
\(S' = \mathbb{Q}\)、ラショナルナンバー（有理数）たちセット（集合）、で、カノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）\(\lt'\)を持つもの、としよう。
\(S = \{s \in S' \vert s \lt \sqrt{2}\}\)としよう: \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)、したがって、\(s \lt \sqrt{2}\)は、\(\mathbb{Q}\)に対するオーダリング（順序）によってではなく、\(\mathbb{R}\)（その中に\(\mathbb{Q}\)は包含されている）に対するオーダリング（順序）によってである。
すると、\(S\)はサプリマム（上限）を持たない、なぜなら、\(Ub (S) = \{s' \in S' \vert \sqrt{2} \lt s'\}\)であるところ、\(Ub (S)\)はミニマム（最小）を持たない、なぜなら、各\(s' \in Ub (S)\)に対して、以下を満たすある\(s'' \in S'\)、つまり、\(\sqrt{2} \lt s'' \lt s'\)、がある、それが意味するのは、\(s'' \in Ub (S)\)および\(s'' \lt s'\)。
ステップ2:
\(S' = \mathbb{Q}\)、ラショナルナンバー（自然数）たちセット（集合）、で、カノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）\(\lt'\)を持つもの、としよう。
\(S = \{s \in S' \vert \sqrt{2} \lt s\}\)としよう: \(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)、したがって、\(\sqrt{2} \lt s\)は\(\mathbb{Q}\)に対するオーダリング（順序）によるものではなく、\(\mathbb{R}\)（その中に\(\mathbb{Q}\)は包含されている）に対するオーダリング（順序）によるものである。
すると、\(S\)はインフィマム（下限）を持たない、なぜなら、\(Lb (S) = \{s' \in S' \vert s' \lt \sqrt{2}\}\)であるところ、\(Lb (S)\)はマキシマム（最大）を持たない、なぜなら、各\(s' \in Lb (S)\)に対して、以下を満たすある\(s'' \in S'\)、つまり、\(s' \lt s'' \lt \sqrt{2}\)、がある、それが意味するのは、\(s'' \in Lb (S)\)および\(s' \lt s''\)。
