リニアリーオーダードセット（線形順序集合）のサブセット（部分集合）でインデュースト（誘導された）リニアオーダリング（線形順序）を持つものの定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニアリーオーダードセット（線形順序集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リニアリーオーダードセット（線形順序集合）のサブセット（部分集合）でインデュースト（誘導された）リニアオーダリング（線形順序）を持つものの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( S'\): \(\in \{\text{ 全てのリニアリーオーダードセット（線形順序集合）たち }\}\)で、任意のリニアオーダリング（線形順序）\(\lt'\)を持つもの
\(*S\): \(\subseteq S'\)で、リニアオーダリング（線形順序）\(\lt := \lt' \cap (S \times S)\)を持つもの
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(\lt\)は本当にあるリニアオーダリング（線形順序）であることを見よう。
注意として、任意のリニアオーダリング（線形順序）はあるリレーション（関係）である、それは、何らかのオーダード（順序付き）ペアたちのあるセット（集合）である。
\(\lt' \subseteq S' \times S'\)。
したがって、\(\lt' \cap (S \times S)\)は意味をなしている、そして、\(\lt \subseteq S \times S\)はあるリレーション（関係）である。
\(\lt\)はあるリニアオーダリング（線形順序）であるためのコンディションたちを満たしていることを見よう。
1) \(\lt\)は任意の要素\(s_1 \in S\)に対して3分性である: 任意の要素\(s_2, \in S\)に対して、排他的に、\(s_1 \lt s_2\)、\(s_1 = s_2\)、\(s_2 \lt s_1\)のいずれか、なぜなら、\(s_1, s_2 \in S'\)であるから、排他的に、\(s_1 \lt' s_2\)、\(s_1 = s_2\)、\(s_2 \lt' s_1\)のいずれか、それが意味するのは、排他的に、\((s_1, s_2) \in \lt'\)、\(s_1 = s_2\)、\((s_2, s_1) \in \lt'\)のいずれか、それが含意するのは、排他的に、\((s_1, s_2) \in \lt' \cap (S \times S) = \lt\)、\(s_1 = s_2\)、\((s_2, s_1) \in \lt' \cap (S \times S) = \lt\)のいずれか、それが意味するのは、排他的に、\(s_1 \lt s_2\)、\(s_1 = s_2\)、\(s_2 \lt s_1\)のいずれか。
2) \(\lt\)はトランジティブ（推移的）である: 以下を満たす任意の要素たち\(s_1, s_2, s_3 \in S\)、つまり、\(s_1 \lt s_2\)および\(s_2 \lt s_3\)、に対して、\(s_1 \lt s_3\)、なぜなら、\(s_1, s_2, s_3 \in S'\)であるところ、\(s_1 \lt s_2\)および\(s_2 \lt s_3\)は\((s_1, s_2) \in \lt = \lt' \cap (S \times S)\)および\((s_2, s_3) \in \lt = \lt' \cap (S \times S)\)を意味する、それが含意するのは、\((s_1, s_2) \in \lt'\)および\((s_2, s_3) \in \lt'\)、それが意味するのは、\(s_1 \lt' s_2\)および\(s_2 \lt' s_3\)、したがって、\(s_1 \lt' s_3\)、それが意味するのは、\((s_1, s_3) \in \lt'\)、したがって、\((s_1, s_3) \in \lt' \cap (S \times S) = \lt\)、それが意味するのは、\(s_1 \lt s_3\)。
