パーシャリーオーダードセット（半順序集合）およびサブセット（部分集合）に対して、もしも、サブセット（部分集合）の各要素がセット（集合）の要素以下でありサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、サプリマム（上限）は要素以下であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）の各要素が当該セット（集合）の任意の要素以下であり当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サプリマム（上限）は当該要素以下であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S'\): \(\in \{\text{ 全てのパーシャリーオーダードセット（半順序集合）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq S'\)
\(s'\): \(\in S'\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\forall s \in S (s \le s')\)
\(\land\)
\(\exists Sup (S)\)
)
\(\implies\)
\(Sup (S) \le s'\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(s'\)は\(S\)のあるアッパーバウンド（上限）であることを見、本命題を結論する。
ステップ1:
\(s' \in Ub (S)\)、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のアッパーバウンド（上限）たちのセット（集合）の定義によって。
しかし、\(Sup (S) = Min (Ub (S))\)、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）によって、それが意味するのは、各\(p \in Ub (S)\)に対して、\(Sup (S) \le p\)、そして、\(s'\)はそうしたある\(p\)であるから、\(Sup (S) \le s'\)。
