パーシャリーオーダードセット（半順序集合）および同一のインデックスセット（集合）を持つ\(2\)個のサブセット（部分集合）たちでサプリマム（上限）たちを持つものたちに対して、もしも、各インデックスに対して、第1サブセット（部分集合）の要素が第2サブセット（部分集合）の要素以下である場合、第1サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は第2サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）以下であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）の定義を知っている。
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のミニマム（最小）が存在する場合、当該ミニマム（最小）はインフィマム（下限）であり、もしも、当該サブセット（部分集合）のマキシマム（最大）が存在する場合、当該マキシマム（最大）はサプリマム（上限）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）に等しいかそれより大きいという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）および任意の同一のインデックスセット（集合）を持つ任意の\(2\)個のサブセット（部分集合）たちでサプリマム（上限）たちを持つものたちに対して、もしも、各インデックスに対して、第1サブセット（部分集合）の要素が第2サブセット（部分集合）の要素以下である場合、第1サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は第2サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）以下であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(S\): \(\in \{\text{ 全てのパーシャリーオーダードセット（半順序集合）たち }\}\)で、任意のパーシャルオーダリング（半順序）\(\lt\)を持つもの
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(S_1\): \(= \{s_{1, j} \in S \vert j \in J\}\)
\(S_2\): \(= \{s_{2, j} \in S \vert j \in J\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists Sup (S_1) \land \exists Sup (S_2) \land \forall j \in J (s_{1, j} \le s_{2, j})\)
\(\implies\)
\(Sup (S_1) \le Sup (S_2)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Ub (S_2) \subseteq Ub (S_1)\)であることを見る; ステップ2: \(Min (Ub (S_1)) \le Min (Ub (S_2))\)であることを見る。
ステップ1:
\(Ub (S_2) \subseteq Ub (S_1)\)、なぜなら、各\(s \in Ub (S_2)\)に対して、各\(j \in J\)に対して、\(s_{2, j} \le s\)、したがって、\(s_{1, j} \le s_{2, j} \le s\)、したがって、\(s \in Ub (S_1)\)。
ステップ2:
\(Sup (S_1) = Min (Ub (S_1)) \le Min (Ub (S_2)) = Sup (S_2)\)、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のミニマム（最小）が存在する場合、当該ミニマム（最小）はインフィマム（下限）であり、もしも、当該サブセット（部分集合）のマキシマム（最大）が存在する場合、当該マキシマム（最大）はサプリマム（上限）であるという命題および任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のインフィマム（下限）に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）および当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）のサプリマム（上限）に等しいかそれより大きいという命題によって。
