リーグループ（群）上の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）は\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: リーグループ（群）
About: ベクトルフィールド（場）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリーグループ（群）上の任意の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）は\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のリーグループ（群）Gに対して、任意の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）Vは\(C^\infty\)である。
2: 証明
以下を満たすある\(C^\infty\)カーブ\(c: I \rightarrow G\)がある、つまり、\(c (0) = e\)および\(c' (0) = V_e\)。任意の\(g \in G\)に対して、gc (t)は以下を満たす\(C^\infty\)カーブである、つまり、\(gc (0) = g\)および\((gc)' (0) = V_g\)、なぜなら、\((gc)' (0) = l_{g*} c' (0) = l_{g*} V_e = V_g\)、マップ（写像）のディファレンシエイション（微分）に対するチェインルール（連鎖法則）によって。任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）fに対して、\((Vf) (g) = V_g f = \frac{df (gc (t))}{dt}|_{0} := A_1\)。\(f (gc (t)): I \times G \rightarrow \mathbb{R}, (t, g) \mapsto f (gc (t))\)は、\(C^\infty\)マップ（写像）の合成\(I \times G \rightarrow G \times G \rightarrow G \rightarrow \mathbb{R}\)として\(C^\infty\)ファンクション（関数）であり、\(A_1\)は、gに関して\(C^\infty\)ファンクション（関数）である。任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対するオペレーション結果が\(C^\infty\)であるので、Vは\(C^\infty\)である。
