272: リーグループ（群）上の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）はC^inftyである

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リーグループ（群）上の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$であることの記述/証明

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話題

About: リーグループ（群）
About: ベクトルフィールド（場）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リーグループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルフィールド（場）の定義を知っている。
• 読者は、任意のベクトルフィールド（場）は次の場合、そしてその場合のみ$C^{\mathrm{\infty }}$である、つまり、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）に対するオペレーション結果ファンクション（関数）が$C^{\mathrm{\infty }}$である、という命題.を認めている。
• 読者は、 マップ（写像）のディファレンシエイション（微分）に対するチェインルール（連鎖法則）を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリーグループ（群）上の任意の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のリーグループ（群）Gに対して、任意の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）Vは$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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2: 証明

以下を満たすある$C^{\mathrm{\infty }}$カーブ$c:I\to G$がある、つまり、$c(0)=e$および$c^{\prime }(0)=V_e$。任意の$g\in G$に対して、gc (t)は以下を満たす$C^{\mathrm{\infty }}$カーブである、つまり、$gc(0)=g$および$(gc{)}^{\prime }(0)=V_g$、なぜなら、$(gc{)}^{\prime }(0)=l_{g\ast }{c}^{\prime }(0)=l_{g\ast }{V}_e=V_g$、マップ（写像）のディファレンシエイション（微分）に対するチェインルール（連鎖法則）によって。任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）fに対して、$(Vf)(g)=V_{g}f=\frac{df(gc(t))}{dt}{|}_0:=A_1$。$f(gc(t)):I\times G\to \mathbb{R},(t,g)\mapsto f(gc(t))$は、$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）の合成$I\times G\to G\times G\to G\to \mathbb{R}$として$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）であり、$A_1$は、gに関して$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）である。任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）に対するオペレーション結果が$C^{\mathrm{\infty }}$であるので、Vは$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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参考資料

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