リーグループ（群）上方の左インバリアント（不変）ベクトルフィールド（場）は\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリーグループ（群）上方の任意の左インバリアント（不変）ベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのリーグループ（群）たち }\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての左インバリアント（不変）ベクトルたちフィールド（場）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(V \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f\)に対して、\(V (f)\)は\(C^\infty\)ファンクション（関数）であることを見る、以下を満たすある\(C^\infty\)カーブ\(c: I \to G\)、つまり、\(c (0) = e\)および\(c' (0) = V_e\)、を取ることによって、そして、任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題を適用する。
ステップ1:
以下を満たすある\(C^\infty\)カーブ\(c: I \to G\)、つまり、\(c (0) = e\)および\(c' (0) = V_e\)、がある。
\(g \in G\)を任意のものとしよう。
\(l_g: G \to G\)を、\(g\)による左トランスレーション（移動）としよう。
\(l_g \circ c (t)\)は、以下を満たすある\(C^\infty\)カーブ、つまり、\(l_g \circ c (0) = g\)および\((l_g \circ c)' (0) = V_g\)、である、なぜなら、\((l_g \circ c)' (0) = d l_g c' (0)\)、よく知られているとおり、\(= d l_g V_1 = V_g\)、なぜなら、\(V\)は左インバリアント（不変）である。
任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f: G \to \mathbb{R}\)に対して、\(V (f) (g) = V_g f = d f (l_g \circ c (t)) / d t \vert_0 := A_1\)。
\(f (l_g \circ c (t)): I \times G \to \mathbb{R}, (t, g) \mapsto f (l_g \circ c (t))\)は\(C^\infty\)マップ（写像）である、\(C^\infty\)マップ（写像）たちのコンポジション（合成）\(I \times G \to G \times G \to G \to \mathbb{R}\)として。
したがって、\(A_1\)は、\(g\)に関して\(C^\infty\)マップ（関数）である。
したがって、\(V\)は\(C^\infty\)である、任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
