コネクテッド（連結された）リーグループ（群）上のポイントは、エクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）の有限数積として表わすことができることの記述/証明
話題
About: リーグループ（群）
About: ベクトルたちフィールド（場）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リーグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リーアルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、リーグループ（群）上のエクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）リーグループ（群）上の任意の2ポイントは、有限数の、以下を満たすセグメントによって接続できる、つまり、それぞれはある左インバリアント（不変）ベクトルたちフィールド（場）インテグラルカーブ（積分曲線）のセグメントである、という命題を認めている。
- 読者は、任意のリーグループ（群）上の、任意の左インバリアント（不変）ベクトルたちフィールド（場）の、任意のポイントから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）は、そのベクトルたちフィールド（場）の、eから開始するインテグラルカーブ（積分曲線）に、そのポイントを左から掛けたものであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）リーグループ（群）上の任意のポイントは、有限数のエクスポーネンシャル（指数）マップ（写像）の積として表わすことができるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコネクテッド（連結された）リーグループGに対して、任意のポイント\(p \in G\)は、\(p = exp (V_{0, e}) exp (V_{1, e}) . . . exp (V_{k, e})\)として表わすことができる。
2: 証明
pは、eと、各々が、ある左インバリアント（不変）ベクトルたちフィールド（場）のインテグラルカーブ（積分曲線）である、有限数のセグメントによって接続できる、\(p_0 := e \rightarrow p_1 \rightarrow . . . \rightarrow p_{k + 1} := p\)を介して。\(p_{i + 1} = p_i exp V_{i, e}\)。\(p = p_{k + 1} = p_0 exp V_{0, e} exp V_{1, e} . . . exp V_{k, e}\)。
