56: ベクトルたちフィールド（場）はC^\inftyである、もしも、任意のC^\inftyファンクション（関数）へのオペレーション結果がC^\inftyである場合、そしてその場合に限って

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ベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのオペレーション結果が$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、チャートの定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）の定義の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）全体上のある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないあるネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのオペレーション結果が$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M$に対して、任意のベクトルたちフィールド（場）$V$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が$C^{\mathrm{\infty }}$であると仮定しよう。任意のポイント$p\in M$において、あるチャート$(U_p,x^1,...,x^n)$がある。そこでは、$V=V^j\frac{\partial }{\partial x^j}$。各コーディネート（座標）ファンクション（関数）$x^j:U_p\to \mathbb{R}$は$U_p$上の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）であり、$M$上のある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$\widetilde{x^j}:M\to \mathbb{R}$で$p$のより小さいかもしれないあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p^{\prime }\subseteq U_p$上で$x^j$に等しいものがある、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）全体上のある$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないあるネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題によって。$U_p^{\prime }$上で、$V\widetilde{x^j}=V^i\frac{\partial \widetilde{x^j}}{\partial x^i}=V^j$、$C^{\mathrm{\infty }}$、仮定によって、そして、$V$は$U_p^{\prime }$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である。$V$は$M$上の任意のポイントのあるネイバーフッド（近傍）上で$C^{\mathrm{\infty }}$であるから」、$V$は$M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$V$は$C^{\mathrm{\infty }}$であると仮定しよう。任意のポイント$p\in M$において、あるチャート$(U_p,x^1,...,x^n)$がある。そこでは、$V=V^j\frac{\partial }{\partial x^j}$、ここで、$\{V^i\}$は$C^{\mathrm{\infty }}$。$M$上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$f$に対して、$U_p$上で、$Vf=V^j\frac{\partial f}{\partial x^j}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。$Vf$は$M$の任意のポイントのあるネイバーフッド（近傍）上で$C^{\mathrm{\infty }}$であるから、それは、$M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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参考資料

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