ベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
- 読者は、チャートの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）の定義の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）全体上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないあるネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)に対して、任意のベクトルたちフィールド（場）\(V\)は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのそのオペレーション結果が\(C^\infty\)であると仮定しよう。任意のポイント\(p \in M\)において、あるチャート\((U_p, x^1, . . ., x^n )\)がある。そこでは、\(V = V^j \frac{\partial}{\partial x^j}\)。各コーディネート（座標）ファンクション（関数）\(x^j: U_p \to \mathbb{R}\)は\(U_p\)上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）であり、\(M\)上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(\tilde{x^j}: M \to \mathbb{R}\)で\(p\)のより小さいかもしれないあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_p \subseteq U_p\)上で\(x^j\)に等しいものがある、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）全体上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないあるネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題によって。\(U'_p\)上で、\(V \tilde{x^j} = V^i \frac{\partial \tilde{x^j}}{\partial x^i} = V^j\)、\(C^\infty\)、仮定によって、そして、\(V\)は\(U'_p\)上で\(C^\infty\)である。\(V\)は\(M\)上の任意のポイントのあるネイバーフッド（近傍）上で\(C^\infty\)であるから」、\(V\)は\(M\)上で\(C^\infty\)である。
\(V\)は\(C^\infty\)であると仮定しよう。任意のポイント\(p \in M\)において、あるチャート\((U_p, x^1, . . ., x^n )\)がある。そこでは、\(V = V^j \frac{\partial}{\partial x^j}\)、ここで、\(\{V^i\}\)は\(C^\infty\)。\(M\)上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f\)に対して、\(U_p\)上で、\(V f = V^j \frac{\partial f}{\partial x^j}\)は\(C^\infty\)である。\(V f\)は\(M\)の任意のポイントのあるネイバーフッド（近傍）上で\(C^\infty\)であるから、それは、\(M\)上で\(C^\infty\)である。
