\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のラフ（粗い）ベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のラフ（粗い）ベクトルたちフィールド（場）の定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、全体上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意のラフ（粗い）ベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）へのオペレーション結果が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\((TM, M, \pi)\): \(= \text{ 当該 } C^\infty \text{ タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束） }\)
\(s\): \(: M \to TM\), \(\in \{\pi \text{ の全てのラフ（粗い）セクション（断面）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(s \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マップ（写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall f \in \{M \text{ 上方の全ての } C^\infty \text{ ファンクション（関数）たち }\} (s f \in \{M \text{ 上方の全ての } C^\infty \text{ ファンクション（関数）たち }\})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(s f\)は\(C^\infty\)であると仮定し、\(s\)は\(C^\infty\)であることを見る、あるチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)およびインデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_m) \subseteq TM, \widetilde{\phi_m})\)を取ることによって; ステップ2: \(s\)は\(C^\infty\)であると仮定し、\(s f\)は\(C^\infty\)であることを見る、あるチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)およびインデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_m) \subseteq TM, \widetilde{\phi_m})\)を取ることによって。
ステップ1:
\(s f\)は\(C^\infty\)であると仮定しよう。
\(m \in M\)を任意のものとしよう。
\(m\)周りのあるチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)およびインデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_m) \subseteq TM, \widetilde{\phi_m})\)がある。
そこ上方で\(s = s^j \partial / \partial x^j\)。
各コーディネートファンクション（関数）\(x^j: U_m \to \mathbb{R}\)は\(C^\infty\)ファンクション（関数）である。
\(M\)上方のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(\widetilde{x^j}: M \to \mathbb{R}\)で\(m\)のあるより小さいかもしれないオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_m \subseteq U_m\)上で\(x^j\)に等しいものがある、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のポイントオープンネイバーフッド（開近傍）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、全体上のある\(C^\infty\)ファンクション（関数）で当該ポイントのより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上で元のファンクション（関数）に等しいものが存在するという命題によって。
\(U'_m\)上方で、\(s \widetilde{x^l} = s^j \partial / \partial x^j \widetilde{x^l} = s^j \partial / \partial x^j x^l = s^j \delta^l_j = s^l\)、\(U'_m\)上方で\(C^\infty\)、仮定によって。
したがって、チャートたち\((U'_m \subseteq M, \phi_m \vert_{U'_m})\)および\((\pi^{-1} (U'_m) \subseteq TM, \widetilde{\phi_m \vert_{U'_m}})\)に関して\(s\)のコンポーネントたちファンクション（関数）は\(C^\infty\)である。
したがって、\(s\)は\(M\)上方で\(C^\infty\)である。
ステップ2:
\(s\)は\(C^\infty\)であると仮定しよう。
\(m \in M\)を任意のポイントとしよう。
\(m\)周りのあるチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)およびインデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U_m) \subseteq TM, \widetilde{\phi_m})\)がある。
\(U_m\)上方で、\(s = s^j \partial / \partial x^j\)、ここで、\(s^j: U_m \to \mathbb{R}\)は\(C^\infty\)である。
\(U_m\)上方で、\(s f = s^j \partial / \partial x^j f = s^j \partial_j f\)、それは、\(C^\infty\)である。
\(s f\)は\(M\)上方の各ポイントのあるネイバーフッド（近傍）上方で\(C^\infty\)であるから、それは、\(M\)上方で\(C^\infty\)である。
