セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）は必ずしもセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）ではないことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、あるマップ（写像）に対して、ある、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）イメージ（像）は必ずしもそのセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）ではないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
ある集合\(S_1\)および\(S_2\)、あるマップ（写像）\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、\(S_1\)のある、不可算かもしれない個数のサブセット（部分集合）たち\(S_{1_i} \subseteq S_1\)に対して、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）\(f (\cap_i S_{1_i})\)は、必ずしも、それらサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）\(\cap_i f (S_{1_i})\)ではない、つまり、必ずしも、\(f (\cap_i S_{1_i}) = \cap_i f (S_{1_i})\)ではない。
2: 証明
1つ反例を示せば十分である。もしも、\(S_1\)内の各要素が同一要素\(p \in S_2\)へマップし、\(S_{1_1}\)は非空真部分集合\(S_{1_1} \subset S_1\)であり、\(S_{1_2}\)は\(S_{1_1}\)の\(S_1\)に関する補集合\(S_{1_2} = S_1 \setminus S_{1_1}\)であれば、\(\cap_i f (S_{1_i}) = {p}\)、しかし、\(\cap_i S_{1_i} = \emptyset\)、したがって、\(f (\cap_i S_{1_i}) = \emptyset\)。
3: 注
\(f (\cup_i S_{1_i}) = \cup_i f (S_{1_i})\)は常に成り立つが、それに対応するインターセクション（共通集合）版は必ずしも成立しない。
