294: セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）は必ずしもセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）ではない

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セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）は必ずしもセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）ではないことの記述/証明

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話題

About: セット（集合）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、あるマップ（写像）に対して、ある、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）イメージ（像）は必ずしもそのセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）ではないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

ある集合$S_1$および$S_2$、あるマップ（写像）$f:S_1\to S_2$、$S_1$のある、不可算かもしれない個数のサブセット（部分集合）たち$S_{1_i}\subseteq S_1$に対して、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）$f({\cap }_i{S}_{1_i})$は、必ずしも、それらサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）${\cap }_{i}f(S_{1_i})$ではない、つまり、必ずしも、$f({\cap }_i{S}_{1_i})={\cap }_{i}f(S_{1_i})$ではない。

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2: 証明

1つ反例を示せば十分である。もしも、$S_1$内の各要素が同一要素$p\in S_2$へマップし、$S_{1_1}$は非空真部分集合$S_{1_1}\subset S_1$であり、$S_{1_2}$は$S_{1_1}$の$S_1$に関する補集合$S_{1_2}=S_1\setminus S_{1_1}$であれば、${\cap }_{i}f(S_{1_i})=p$、しかし、${\cap }_i{S}_{1_i}=\mathrm{\varnothing }$、したがって、$f({\cap }_i{S}_{1_i})=\mathrm{\varnothing }$。

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3: 注

$f({\cup }_i{S}_{1_i})={\cup }_{i}f(S_{1_i})$は常に成り立つが、それに対応するインターセクション（共通集合）版は必ずしも成立しない。

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参考資料

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