2022年5月22日日曜日

293: セット（集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はセット（集合）たちのプリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）である

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セット（集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はセット（集合）たちのプリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明

話題


About: セット（集合）
About: マップ（写像）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のセット（集合）S1およびS2に対して、任意のマップ（写像）f:S1→S2、S2の任意の、不可算かもしれない個数のサブセット（部分集合）たちS2i⊆S2に対して、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）f−1(∪iS2i)は、それらサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）∪if−1(S2i)である、つまり、f−1(∪iS2i)=∪if−1(S2i)。

2: 証明


任意の要素p∈f−1(∪iS2i)に対して、f(p)∈∪iS2i)、したがって、あるiに対してf(p)∈S2i、したがって、p∈f−1(S2i)、したがって、p∈∪if−1(S2i)。任意の要素p∈∪if−1(S2i)に対して、あるiに対して、p∈f−1(S2i)、したがって、f(p)∈S2i、したがって、f(p)∈∪iS2i、したがって、p∈f−1(∪iS2i)。

3: 注


∪iS2i内に"リミット（極限）要素"（それは、どのS2iにも属さないが、ある要素シーケンスが無限にそれに近づくというもの）などというものはないということに留意することが重要である。

参考資料
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