セット（集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）はセット（集合）たちのプリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）\(S_1\)および\(S_2\)に対して、任意のマップ（写像）\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、\(S_2\)の任意の、不可算かもしれない個数のサブセット（部分集合）たち\(S_{2_i} \subseteq S_2\)に対して、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のマップ（写像）プリイメージ（前像）\(f^{-1} (\cup_i S_{2_i})\)は、それらサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）\(\cup_i f^{-1} (S_{2_i})\)である、つまり、\(f^{-1} (\cup_i S_{2_i}) = \cup_i f^{-1} (S_{2_i})\)。
2: 証明
任意の要素\(p \in f^{-1} (\cup_i S_{2_i})\)に対して、\(f (p) \in \cup_{i} S_{2_i})\)、したがって、あるiに対して\(f (p) \in S_{2_i}\)、したがって、\(p \in f^{-1} (S_{2_i})\)、したがって、\(p \in \cup_i f^{-1} (S_{2_i})\)。任意の要素\(p \in \cup_i f^{-1} (S_{2_i})\)に対して、あるiに対して、\(p \in f^{-1} (S_{2_i})\)、したがって、\(f (p) \in S_{2_i}\)、したがって、\(f (p) \in \cup_i S_{2_i}\)、したがって、\(p \in f^{-1} (\cup_i S_{2_i})\)。
3: 注
\(\cup_i S_{2_i}\)内に"リミット（極限）要素"（それは、どの\(S_{2_i}\)にも属さないが、ある要素シーケンスが無限にそれに近づくというもの）などというものはないということに留意することが重要である。
