モノイドアイデンティティ要素の唯一存在の記述/証明
話題
About: モノイド
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モノイドの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のモノイド内には唯一つのアイデンティティ要素があるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のモノイド\((S, \bullet)\)に対して、唯一つのアイデンティティ要素\(i \in S\)がある。
2: 証明
以下を満たす任意の要素\(p_1 \in S\)、つまり、任意の要素\(p_2 \in S\) に対して\(p_1 \bullet p_2 = p_2 \bullet p_1 = p_2\)、に対して、\(p_2\)はiでもよい、したがって、\(p_1 \bullet i = i\)、しかし\(p_1 \bullet i = p_1\)なので、\(p_1 = i\)。
