コンパクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、ポイントたちのシーケンス（列）はコンバージェント（収束する）サブシーケンス（部分列）を持つことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ダイレクテッド（有向）インデックスセット（集合）によるネットのコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）はファーストカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンパクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、ポイントたちの任意のシーケンス（列）はあるコンバージェント（収束する）サブシーケンス（部分列）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\} \cap \{\text{ 全てのコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(s\): \(\mathbb{N} \to M\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists s^` \in \{s \text{ の全てのサブシーケンス（部分列）たち }\}, \exists m \in M (s^` \text{ は } m \text{ へコンバージ（収束）する })\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(M\)はファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）であることを見る; ステップ2: 任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、という命題を適用する。
ステップ1:
\(M\)はあるセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）である、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義によって。
\(M\)はあるファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）である、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）はファーストカウンタブル（可算）であるという命題によって。
ステップ2:
\(M\)はカウンタブル（可算）にコンパクトである、なぜなら、\(M\)はコンパクトである、明らかに。
\(M\)はシーケンシャル（列的）にコンパクトである、任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、という命題によって。
それが意味するのは、任意のシーケンス（列）はあるコンバージェント（収束する）サブシーケンス（部分列）を持つということ。
