315: コンパクトC^\inftyマニフォールド（多様体）に対して、ポイントのシーケンス（列）は、収束するサブシーケンス（部分列）を持つ

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コンパクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、ポイントのシーケンス（列）は、収束するサブシーケンス（部分列）を持つことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）上におけるポイントのシーケンス（列）の収束の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンパクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）に対して、任意の、ポイントのシーケンス（列）は、ある収束するサブシーケンス（部分列）を持つという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコンパクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）Mに対して、任意の、ポイントのシーケンス（列）$S=(p_1,p_2,...)$は、ある収束するサブシーケンス（部分列）を持つ。

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2: 証明

もしも、Sが有限個の要素のみを持っていれば、S自体が収束するサブシーケンス（部分列）であり、最終要素が収束ポイントである。

Sは無限個の要素を持つと仮定する。次を満たすあるポイント$p\in M$がある、つまり、pのあらゆるネイバーフッド（近傍）がSの無限個の要素を持っている、なぜなら、もしもそうでなければ、M上のあらゆるポイントが、Sの有限個の要素のみを含むあるネイバーフッド（近傍）を持つこととなり、そのようなネイバーフッド（近傍）全ての集合はオープンカバー（開被覆）を成すこととなり、それは、ある有限サブカバー（部分カバー）を持つこととなるが、それは不可能である、なぜなら、それでは、Sは有限個の要素のみを持つことになるから。さて、pの周りに任意のチャート$(U_p,\varphi )$を取る、そして、各自然数iに対して、昇順に繰り返して、あるオープンセット（開集合）$U_{p-i}\subseteq U_p$を、$\varphi (U_p)$上の$\varphi (p)$の周りのオープンボール（開球）で半径が$i^{-1}$と、i - 1に対して取った半径の両方より小さいものに対応するように取れる、それが可能なのは、$\varphi (U_p)$が${\mathbb{R}}^n$上でオープン（開）だから。$U_{p-i}$はSの無限個の要素を含んでおり、その内の最初の、まだ取られていない要素を、我々のサブシーケンス（部分列）のi番目要素として取る。こうして、当該サブシーケンス（部分列）のi番目および引き続く要素全てが$U_{p-i}$に含まれる。課題は、pの任意のネイバーフッド（近傍）$U_p^{\prime }$に対して、ある$U_{p-j}\subseteq U_p^{\prime }$を選ぶことである。$\varphi (U_p^{\prime }\cap U_p)$を取る、すると、あるjに対して、オープンボール（開球）$B_{\varphi (p)-j^{-1}}\subseteq \varphi (U_p^{\prime }\cap U_p)$がある、そして$U_{p-j}\subseteq {\varphi }^{-1}(B_{\varphi (p)-j^{-1}})\subseteq U_p^{\prime }\cap U_p\subseteq U_p^{\prime }$。こうして、pの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該サブシーケンス（部分列）のj番目および引き続く要素全てがそのネイバーフッド（近傍）に含まれており、それは、当該サブシーケンス（部分列）はpに収束することを意味している。

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3: 注

$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）はメトリック（計量）を持つようには求められない、収束性は、メトリック（計量）の概念なしに任意のトポロジカルスペース（空間）に対して定義されているから、しかし、それにもかかわらず、当命題はトポロジカルスペース（空間）が$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）であることを要求する、それはチャートを利用するから。

$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の代わりに任意のメトリック（計量）スペース（空間）でもよい、それは、スペース（空間）内に直接にオープンボール（開球）たちを持っているから。

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参考資料

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