コンパクトトポロジカルスペース（空間）から\(\mathbb{R}\)へのコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジーの定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）のコンティヌアス（連続）イメージ（像）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、ハイネ-ボレル定理: \(\mathbb{R}^n\)の任意のサブセット（部分集合）がコンパクトであるのは、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限るという命題を認めている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）がクローズド（閉）であるのは、それがそのクロージャー（閉包）に等しい場合、そしてその場合に限るという命題を認めている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は、当該サブセット（部分集合）と、当該サブセット（部分集合）の全てのアキュームレイションポイント（集積点）の集合のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から、ユークリディアントポロジー付きの\mathbb{R}への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）T、ユークリディアントポロジー付きの\(\mathbb{R}\)、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）\(f: T \rightarrow \mathbb{R}\)に対して、\(f (T)\)は最小および最大を持つ。
2: 証明
任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）のコンティヌアス（連続）イメージ（像）はコンパクトであるという命題によって、\(f (T)\)は\(\mathbb{R}\)上でコンパクトである。By ハイネ-ボレル定理: \(\mathbb{R}^n\)の任意のサブセット（部分集合）がコンパクトであるのは、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限るという命題によって、\(f (T)\)はクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である。\(f (T)\)はバウンデッド（有界）であるので、\(f (T)\)の下限および上限\(inf f (T), sup f (T) \lt \infty\)がある。\(inf f (T)\)は\(f (T)\)の最小であるかアキュームレイションポイント（集積点）であるかだが、\(f (T)\)はクローズド（閉）なので、任意のサブセット（部分集合）がクローズド（閉）であるのは、それがそのクロージャー（閉包）に等しい場合、そしてその場合に限るという命題によって、\(f (T) = \overline{f (T)}\)、ここで\(\overline{f (T)}\)は\(f (T)\)のクロージャー（閉包）である、しかし、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は、当該サブセット（部分集合）と、当該サブセット（部分集合）の全てのアキュームレイションポイント（集積点）の集合のユニオン（和集合）であるという命題によって、\(\overline{f (T)} = f (T) \cup ac (f (T))\)、ここで\(ac (f (T))\)は\(f (T)\)の全てのアキュームレイションポイント（集積点）の集合である、したがって、もしも、\(inf f (T)\)がアキュームレイションポイント（集積点）であれば、それは、どのみち\(f (T)\)に含まれており、したがって、最小である。同様に、\(sup f (T)\)は最大である。
