コンパクトトポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペースの中へのコンティヌアスマップ（連続写像）のレンジ（値域）はミニマム（最小）およびマキシマム（最大）を持つことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のミニマム（最小）の定義を知っている。
- 読者は、パーシャリーオーダードセット（半順序集合）のマキシマム（最大）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は当該コドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアンメトリック（計量付き）トポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、当該サブセット（部分集合）はクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、（ハイネ-ボレル定理）、という命題を認めている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）でカノニカル（正典）リニアオーダリング（線形順序）を持つものおよび任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が当該サブセット（部分集合）の外に存在する場合、インフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のあるアキュームレーションポイント（集積点）である、そして、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が当該サブセット（部分集合）の外に存在する場合、サプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のあるアキュームレーションポイント（集積点）である、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が当該サブセット（部分集合）内に存在する場合、インフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）のミニマム（最小）であり、もしも、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が当該サブセット（部分集合）内に存在する場合、サプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）のマキシマム（最大）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペースの中への任意のコンティヌアスマップ（連続写像）のレンジ（値域）はミニマム（最小）およびマキシマム（最大）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(f\): \(: T \to \mathbb{R}\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists r, r' \in \mathbb{R} (r = Min (f (T)) \land r' = Max (f (T)))\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(f (T)\) is a compact subset of \(\mathbb{R}\) and is closed and bounded; Step 2: see that there are the infimum and the supremum of \(f (T)\); Step 3: see that the infimum and the supremum are the minimum and the maximum.
Step 1:
\(f (T)\) is compact on \(\mathbb{R}\), by the proposition that for any continuous map between any topological spaces, the image of any compact subset of the domain is a compact subset of the codomain.
\(f (T)\) is closed and bounded, by the proposition that any subset of any Euclidean metric topological space is compact if and only if the subset is closed and bounded (the Heine-Borel theorem).
Step 2:
As \(f (T)\) is bounded, there are the infimum and the supremum of \(f (T)\), \(Inf (f (T)), Sup (f (T)) \in \mathbb{R}\).
Let us suppose that \(Inf (f (T)) \notin f (T)\).
\(Inf (f (T))\) would be an accumulation point of \(f (T)\), by the proposition that for the \(1\)-dimensional Euclidean topological space with the canonical linear-ordering and any subset, if the infimum of the subset exists out of the subset, the infimum is an accumulation point of the subset, and if the supremum of the subset exists out of the subset, the supremum is an accumulation point of the subset.
But as \(f (T)\) was closed, \(f (T) = \overline{f (T)}\), by the proposition that for any topological space, any subset is closed if and only if the closure of the subset is the subset, but by the proposition that the closure of any subset is the union of the subset and the accumulation points set of the subset, \(Inf (f (T)) \in \overline{f (T)} = f (T)\), because \(Inf (f (T))\) was an accumulation point, a contradiction against \(Inf (f (T)) \notin f (T)\).
So, \(Inf (f (T)) \in f (T)\).
So, \(Inf (f (T)) = Min (f (T))\), by the proposition that for any partially-ordered set and any subset, if the infimum of the subset exists in the subset, the infimum is the minimum of the subset and if the supremum of the subset exists in the subset, the supremum is the maximum of the subset.
Let us suppose that \(Sup (f (T)) \notin f (T)\).
\(Sup (f (T))\) would be an accumulation point of \(f (T)\), by the proposition that for the \(1\)-dimensional Euclidean topological space with the canonical linear-ordering and any subset, if the infimum of the subset exists out of the subset, the infimum is an accumulation point of the subset, and if the supremum of the subset exists out of the subset, the supremum is an accumulation point of the subset.
But as \(f (T)\) was closed, \(f (T) = \overline{f (T)}\), as before, but \(Sup (f (T)) \in \overline{f (T)} = f (T)\), as before, because \(Sup (f (T))\) was an accumulation point, a contradiction against \(Sup (f (T)) \notin f (T)\).
So, \(Sup (f (T)) \in f (T)\).
So, \(Sup (f (T)) = Max (f (T))\), by the proposition that for any partially-ordered set and any subset, if the infimum of the subset exists in the subset, the infimum is the minimum of the subset and if the supremum of the subset exists in the subset, the supremum is the maximum of the subset.
