316: コンパクトトポロジカルスペース（空間）から\mathbb{R}へのコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つ

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コンパクトトポロジカルスペース（空間）から$\mathbb{R}$へのコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ユークリディアントポロジーの定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）のコンティヌアス（連続）イメージ（像）はコンパクトであるという命題を認めている。
• 読者は、ハイネ-ボレル定理: ${\mathbb{R}}^n$の任意のサブセット（部分集合）がコンパクトであるのは、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限るという命題を認めている。
• 読者は、任意のサブセット（部分集合）がクローズド（閉）であるのは、それがそのクロージャー（閉包）に等しい場合、そしてその場合に限るという命題を認めている。
• 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は、当該サブセット（部分集合）と、当該サブセット（部分集合）の全てのアキュームレイションポイント（集積点）の集合のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から、ユークリディアントポロジー付きの\mathbb{R}への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）T、ユークリディアントポロジー付きの$\mathbb{R}$、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）$f:T\to \mathbb{R}$に対して、$f(T)$は最小および最大を持つ。

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2: 証明

任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）のコンティヌアス（連続）イメージ（像）はコンパクトであるという命題によって、$f(T)$は$\mathbb{R}$上でコンパクトである。By ハイネ-ボレル定理: ${\mathbb{R}}^n$の任意のサブセット（部分集合）がコンパクトであるのは、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限るという命題によって、$f(T)$はクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である。$f(T)$はバウンデッド（有界）であるので、$f(T)$の下限および上限$inff(T),supf(T)<\mathrm{\infty }$がある。$inff(T)$は$f(T)$の最小であるかアキュームレイションポイント（集積点）であるかだが、$f(T)$はクローズド（閉）なので、任意のサブセット（部分集合）がクローズド（閉）であるのは、それがそのクロージャー（閉包）に等しい場合、そしてその場合に限るという命題によって、$f(T)=\overline{f(T)}$、ここで$\overline{f(T)}$は$f(T)$のクロージャー（閉包）である、しかし、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は、当該サブセット（部分集合）と、当該サブセット（部分集合）の全てのアキュームレイションポイント（集積点）の集合のユニオン（和集合）であるという命題によって、$\overline{f(T)}=f(T)\cup ac(f(T))$、ここで$ac(f(T))$は$f(T)$の全てのアキュームレイションポイント（集積点）の集合である、したがって、もしも、$inff(T)$がアキュームレイションポイント（集積点）であれば、それは、どのみち$f(T)$に含まれており、したがって、最小である。同様に、$supf(T)$は最大である。

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参考資料

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