シンプレックス（単体）は同次元クローズドボール（閉球）にホメオモーフィック（位相同形）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているユークリディアントポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン性は、そのトポロジカルスペース（空間）がどのスーパースペースのサブスペース（部分空間）だとみなされるかに依存しないという命題を認めている。
- 読者は、任意のサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）は、任意のポイントにおいてコンティヌアス（連続）である、もしも、元のマップ（写像）の、当該スーパースペースたちのなんらかのオープンセット（開集合）たちへの拡張であるあるマップ（写像）がそのポイントにおいてコンティヌアス（連続）である場合という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、n次元シンプレックス（単体）は任意のn次元クローズドボール（閉球）にホメオモーフィック（位相同形）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
n次元シンプレックス（単体）\(\Delta^n\)と任意のn次元クローズドボール（閉球）\(\overline{B^n_{p-r}}\)の間に、あるホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f: \Delta^n \rightarrow \overline{B^n_{p-r}}\)がある。
2: 証明
\(\Delta^n\)および\(\overline{B^n_{p-r}}\)は\(\mathbb{R}^n\)のサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）であるが、それらは\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）とみなすことができる、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているユークリディアントポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）であるという命題およびサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン性は、そのトポロジカルスペース（空間）がどのスーパースペースのサブスペース（部分空間）だとみなされるかに依存しないという命題が故に。
\(\mathbb{R}^{n + 1}\)上で、\(\sum_{i = 1, . . ., n + 1} x^i = 1\)が当該\(\mathbb{R}^{n}\)スペース（空間）であり、\(\Delta^n = \{x \in \mathbb{R}^{n + 1}| \sum_{i = 1, . . ., n + 1} x^i = 1, 0 \leq x^i \leq 1\}\); \(\overline{B^n_{p-r}} = \{x \in \mathbb{R}^{n + 1}| \sum_{i = 1, . . ., n + 1} x^i = 1, \sum_{i = 1, . . ., n + 1} (x^i - p^i)^2 \leq r^2\}\)、ここで\(\sum_{i = 1, . . ., n + 1} p^i = 1\)。
\(\Delta^n\)の重心は\(c = (\frac{1}{n + 1}, \frac{1}{n + 1}, . . ., \frac{1}{n + 1})\)である。ファンクション（関数）\(g: \Delta^n \setminus \{c\} \rightarrow \Delta^n, x \mapsto g (x)\)が、\(c\)から\(x\)への輻射線が通過する \(\Delta^n\)の境界点として定義される。\(f\)は、\(c\)に対しては\(p\)、その他に対しては\(p + r {|g (x) - c|}^{-1} (x - c)\)と定義される。
実のところ、\(g (x) = c + (1 - {c^j}^{-1} x^j)^{-1} (x - c)\)、ここで\(j\)は\(x\)の最小コンポーネントのインデックス（もしも、複数の最小があれば、それらから任意の1つを選ぶ）、なぜなら、\(g (x) = c + a (x - c)\)でその最小コンポーネントが0（それが、ある境界上にある条件である）、したがって、\(c^j + a (x^j - c^j) = 0\)、したがって、\(a = - c^j (x^j - c^j)^{-1} = (1 - {c^j}^{-1}x^j)^{-1}\)。
\(f\)は明らかに\(\Delta^n\)と\(\overline{B^n_{p-r}}\)の間のバイジェクション（全単射）である、しかし、任意のサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）は、任意のポイントにおいてコンティヌアス（連続）である、もしも、元のマップ（写像）の、当該スーパースペースたちのなんらかのオープンセット（開集合）たちへの拡張であるあるマップ（写像）がそのポイントにおいてコンティヌアス（連続）である場合という命題を適用するためには、\(f\)のドメイン（定義域）が\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のあるオープンセット（開集合）へ拡張されレンジ（値域）が\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のあるオープンセット（開集合）へ拡張されなければならない。\(f': \mathbb{R}^{n + 1} \rightarrow \mathbb{R}^{n + 1}\)を以下のように定義しよう: \(g\)の拡張として、\(g': \mathbb{R}^{n} \setminus {c} \rightarrow \mathbb{R}^{n}, x \mapsto g' (x)\)は、\(\Delta^n\)の外側では、cからxへの輻射線が通過する\(\Delta^n\)の境界点と定義される（それによって、最小の代わりに最大を選ぶようになるだけである）; \(x'\)が\(x\)の\(\mathbb{R}^{n}\)平面へのプロジェクション（射影）を表わす（それは、\(x - x'\)は(\mathbb{R}^{n}\)平面へ垂直なベクトルであることを意味する）として、\(f'\)は、\(x' = c\)の時には\(p + x - c\)、その他の時には\(p + r {|g' (x') - c|}^{-1} (x' - c) + x - x'\)と定義され、それも明らかにバイジェクション（全単射）である。
\(x \rightarrow x'\)はコンティヌアス（連続）である（\(x\) を中心とする\(\epsilon\)-オープンボール（開球）は、\(x'\)を中心とした\(\epsilon\)-オープンボール（開球）と\(\mathbb{R}^{n}\)平面のインターセクション（共通集合）へマップされる）; \(x \rightarrow g' (x' (x))\)はコンティヌアス（連続）である（最小または最大コンポーネントを取るのはコンティヌアス（連続）である、なぜなら、\(x'\)を中心とする\(\epsilon\)-オープンボール（開球）は各コンポーネント（最小または最大コンポーネントを含めて）の変動が\(\epsilon\)より小さいことを意味する、ベクトル長を取るのはコンティヌアス（連続）、積上の逆を取るのはコンティヌアス（連続）（\(x' = c\)は\(g'\)のドメイン（定義域）内に含まれていない）; したがって、\(f'\)は、\(x' = c\)である時を除いてコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちの合成としてコンティヌアス（連続）であり、\(x'\)が\(c\)に近いときは、\(|{|g' (x') - c|}^{-1} (x' - c)| = {| {|(1 - {c^j}^{-1} x'^j)|}^{-1} |x' - c||}^{-1} |x' - c| = |(1 - {c^j}^{-1} x'^j)| \approx 0\)、したがって、\(f' (x) = p + r {|g' (x') - c|}^{-1} (x' - c) + x - x' \approx p + x - c\)、したがって、\(f'\)は、\(x' = c\)の時にもコンティヌアス（連続）である。
他方で、\(f'^{-1} (y)\)は、\(y' = p\)の時は\(c + y - p\)で、その他の時は\(c + r^{-1} |h' (y') - c| (y' - p) + y - y'\)、ここで\(y'\)は、\(y\)の\(\mathbb{R}^{n}\)平面へのプロジェクション（射影）を表わし、\(h' (y')\)は、\(\Delta^n\)の境界点でそれを介して\(y'\)が\(x'\)からマップされるものを表わす（それは、\(h' (y') = g' (x')\)を意味する）、なぜなら、\(p + r {|g' (x') - c|}^{-1} (x' - c)\)は\(y'\)に他ならず、したがって、\(y' - p = r {|g' (x') - c|}^{-1} (x' - c)\)、そして\(f'^{-1} (y) = c + x' - c + y - y'\)（\(h' (y') = g' (x')\)であるから）、しかし、\(y - y' = x - x'\)、\(\mathbb{R}^{n}\)平面へ垂直なベクトルは変化させられないから。
\(h' (y')\)は、実のところ\(g' (y' - p + c)\)、なぜなら、\(y'\)は\(x'\)から、\(y'\)の\(p\)からの方向が、\(x'\)の\(c\)からの方向と同じであるようにマップされ、当該境界点は、\(g'\)の引数の\(c\)からの方向のみに依存するから。したがって、\(y \mapsto h' (y' (y))\)はコンティヌアス（連続）である、\(y \mapsto g' (y' - p + c)\)がコンティヌアス（連続）だから。したがって、\(f'^{-1} (y)\)はコンティヌアス（連続）である。
結局、任意のサブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）たち間の任意のマップ（写像）は、任意のポイントにおいてコンティヌアス（連続）である、もしも、元のマップ（写像）の、当該スーパースペースたちのなんらかのオープンセット（開集合）たちへの拡張であるあるマップ（写像）がそのポイントにおいてコンティヌアス（連続）である場合という命題により、\(f: \Delta^n \rightarrow \overline{B^n_{p-r}}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
3: 注
任意の妥当な証明は、シンプレックス（単体）をドメイン（定義域）とするある\(n + 1\)変数ファンクション（関数）\(f\)を持ち込めば終わりというほどシンプルではない、なぜなら、\(\mathbb{R}^{n}\)サブスペース（部分空間）トポロジカルスペース（空間）たち間のホメオモーフィズム（位相同形写像）を証明しなければならないのであるが、そのファンクション（関数）は、\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のある非オープン（開）サブセット（部分集合）から\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のある非オープン（開）サブセット（部分集合）へのものであり、そのコンティヌアス（連続）性であるように思えるものは、求められているホメオモーフィズム（位相同形写像）をそれほど自明には保証しない。
