スタンダードシンプレックス（単体）は同次元クローズドボール（閉球）にホメオモーフィック（位相同形）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、n次元スタンダードシンプレックス（単体）は任意のn次元クローズドボール（閉球）にホメオモーフィック（位相同形）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^{n + 1}\): \(= \text{ ユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)で、ユークリディアントポロジーを持ったもの
\(\Delta^n\): \(= \text{ スタンダードnシンプレックス（単体） }\), \(\subseteq \mathbb{R}^{n + 1}\)、\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持ったもの
\(\mathbb{R}^n\): \(= \text{ ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(\overline{B^n_{p, r}}\): \(= \text{ クローズドボール（閉球） }\), \(\subseteq \mathbb{R}^n\), \(\mathbb{R}^n\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持ったもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists f: \Delta^n \to \overline{B^n_{p, r}} (f \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形）たち }\})\)
//
2: 自然言語記述
ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）\(\mathbb{R}^{n + 1}\)で、ユークリディアントポロジーを持ったもの、スタンダードnシンプレックス（単体）\(\Delta^n \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}\)で、\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持ったもの、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^n\)、クローズドボール（閉球）\(\overline{B^n_{p, r}} \subseteq \mathbb{R}^n\)で、\(\mathbb{R}^n\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持ったものに対して、あるホメオモーフィズム（位相同形）\(f: \Delta^n \to \overline{B^n_{p, r}}\)がある。
3: 証明
\(\mathbb{R}^n\)は\(\mathbb{R}^{n + 1}\)の中にネストできる、\(\mathbb{R}^n \times \{0\}\)を以下を満たすように回転し平行移動して、つまり、\(\mathbb{R}^{n} = \{(x^1, ..., x^{n + 1}) \in \mathbb{R}^{n + 1} \vert \sum_{j \in \{1, ..., n + 1\}} x^j = 1\}\): 原点を包含し、ベクトル\((1 / (n + 1), ..., 1 / (n + 1)) \in \mathbb{R}^{n + 1}\)に垂直なハイパープレイン（超平面）を考える、それが含意するのは、\((x^1, ..., x^{n + 1}) (1 / (n + 1), ..., 1 / (n + 1)) = x^1 1 / (n + 1) + ... + x^{n + 1} 1 / (n + 1) = 1 / (n + 1) (x^1 + ... + x^{n + 1}) = 0\)、それが含意するのは、\(x^1 + ... + x^{n + 1} = 0\)、そしてそれをベクトルたち\((1 / (n + 1), ..., 1 / (n + 1)) \in \mathbb{R}^{n + 1}\)によって平行移動する、それが含意するのは、\(x^1 + ... + x^{n + 1} = 1\)。すると、\(\mathbb{R}^n\)は\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
\(\overline{B^n_{p, r}} \subseteq \mathbb{R}^n \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}\)は\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって。
\(\Delta^n = \{x \in \mathbb{R}^{n + 1} \vert \sum_{j \in \{1, . . ., n + 1\}} x^j = 1 \land 0 \leq x^j\}\)。\(\overline{B^n_{p, r}} = \{x \in \mathbb{R}^{n + 1} \vert \sum_{j \in \{1, . . ., n + 1\}} x^j = 1 \land \sum_{j \in \{1, . . ., n + 1\}} (x^j - p^j)^2 \leq r^2\}\)、ここで、\(\sum_{j \in \{1, . . ., n + 1\}} p^j = 1\)。
\(\Delta^n\)のバリセンター（重心）は\(c = (1 / (n + 1), . . ., 1 / (n + 1))\)である。マップ（写像）\(g: \Delta^n \setminus \{c\} \to \Delta^n\)は、\(\Delta^n\)のバウンダリー（境界）ポイントで\(c\)から\(x\)への輻射線が通過するものと定義する。\(f\)は、\(c\)に対しては、\(p\)、その他の場合は、\(p + r {\vert g (x) - c \vert}^{-1} (x - c)\)と定義する。
実のところ、\(g (x) = c + (1 - {c^k}^{-1} x^k)^{-1} (x - c)\)である、ここで、\(k\)は\(x\)のミニマム（最小）コンポーネントのインデックス（もしも、複数のミニマム（最小）たちがある場合、それらの内の任意の1つを選ぶ）、なぜなら、\(g (x) = c + a (x - c)\)でそのミニマム（最小）コンポーネントは0（\(0 \lt a\)であり、明らかに、xのミニマム（最小）コンポーネントは\(g (x)\)のミニマム（最小）コンポーネントに対応する）、それが、あるバウンダリー（境界）上にあることの条件である、したがって、\(c^k + a (x^k - c^k) = 0\)、したがって、\(a = - c^k (x^k - c^k)^{-1} = (1 - {c^k}^{-1}x^k)^{-1}\)。
\(f\)は明らかに\(\Delta^n\)と\(\overline{B^n_{p, r}}\)の間のバイジェクション（全単射）である。
任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題を適用しよう。
\(\mathbb{R}^{n + 1}\)はカノニカル（自然）に\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）である。\(\mathbb{R}^{n + 1}\)に対するスタンダードチャート\((\mathbb{R}^{n + 1} \subseteq \mathbb{R}^{n + 1}, id)\)を取ろう。\(g\)の拡張\(g': \mathbb{R}^n \setminus {c} \to \mathbb{R}^n\)を以下のように定義しよう、つまり、\(\Delta^n\)の外では、値は、\(\Delta^n\)のバウンダリー（境界）ポイントで、\(c\)から\(x\)への輻射線が通過するである: 前と同様に、\(g' (x) = c + (1 - {c^k}^{-1} x^k)^{-1} (x - c)\)、ここで、\(k\)は\(x\)のミニマム（最小）コンポーネントのインデックス。\(f\)の拡張\(f': \mathbb{R}^{n + 1} \to \mathbb{R}^{n + 1}\)を以下のように定義しよう、つまり、\(x - c\)の\(\mathbb{R}^{n}\)ハイパープレイン（超平面）へのプロジェクション（射影）を\(x'\)と表記（それが意味するのは、\(x - c - x'\)は\(\mathbb{R}^{n}\)ハイパープレイン（超平面）に垂直なベクトルであるということ）し、\(x' = 0\)である時は、\(p + x - c\)、そして、その他の場合は、\(p + r {\vert g' (c + x') - c \vert}^{-1} x' + x - c - x'\)。
明らかに\(f'\)は実際に\(\Delta^n\)上で\(f\)へリストリクテッド（制限された）である。
\(f'\)は明らかにバイジェクション（全単射）である。
\(x \mapsto x'\)はコンティニュアス（連続）である（\(x\)を中心とした\(\epsilon\)オープンボール（開球）は\(c + x'\)を中心とした\(\epsilon\)オープンボール（開球）と\(\mathbb{R}^{n}\)ハイパープレイン（超平面）のインターセクション（共通集合）へマップ（写像）され、\(c + x' \mapsto x'\)はコンティニュアス（連続）である）; \(x \mapsto g' (c + x' (x))\)はコンティニュアス（連続）である（ミニマム（最小）コンポーネントを取ることはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(c + x'\)を中心とした\(\epsilon\)オープンボール（開球）は各コンポーネントの変動（ミニマム（最小）コンポーネントも含む）が\(\epsilon\)より小さいことを意味し、マルチプリケーション（積）インバース（逆）を取ることはコンティニュアス（連続）である）; ベクトル長を取ることはコンティニュアス（連続）であり、マルチプリケーション（積）インバース（逆）を取ることはコンティニュアス（連続）である; したがって、\(f'\)は\(x' = 0\)のおけるのを除いてコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンパウンド（合成）として、そして、\(x'\)が\(0\)に近い時は、\(\vert {\vert g' (c + x') - c \vert}^{-1} x' \vert = {\vert {\vert (1 - {c^j}^{-1} (c^j + x'^j)) \vert}^{-1} \vert x' \vert \vert}^{-1} \vert x' \vert = \vert (1 - {c^j}^{-1} (c^j + x'^j)) \vert \approx 0\)、したがって、\(f' (x) = p + r {|g' (c + x') - c|}^{-1} x' + x - c - x' \approx p + x - c\)、したがって、\(f'\)は\(x' = 0\)においてもコンティニュアス（連続）である。
他方、\(y - p\)の\(\mathbb{R}^{n}\)ハイパープレイン（超平面）へのプロジェクション（射影）を\(y'\)と表記し、\(\Delta^n\)のバウンダリー（境界）ポイントで、それを介して\(p + y'\)が\(c + x'\)からマップされるものを\(h' (p + y')\)と表記し（それが含意するのは、\(h' (p + y') = g' (c + x')\)）、\(f'^{-1} (y)\)は、\(y' = 0\)の時は、\(c + y - p\)で、その他の場合は、\(c + r^{-1} \vert h' (p + y') - c \vert y' + y - p - y'\)である、なぜなら、\(p + r {|g' (c + x') - c|}^{-1} x'\)は\(p + y'\)に他ならない、したがって、\(y' = r {|g' (c + x') - c|}^{-1} x'\)、そして、\(f'^{-1} (y) = x = c + x' + x - c - x' = c + x' + y - p - y'\)、なぜなら、\(y - p - y' = x - c - x'\)、\(\mathbb{R}^{n}\)ハイパープレイン（超平面）へ垂直なベクトルは変化しないから。
\(h' (p + y')\)は実のところ、\(g' (c + y')\)である、なぜなら、\(p + y'\)は\(c + x'\)から、\(p + y'\)の\(p\)からの方向が\(c + x'\)の\(c\)からの方向と同じであるようにマップされ、当該バウンダリー（境界）ポイントは、\(g'\)引数の\(c\)からの方向のみに依存する。したがって、\(y \mapsto h' (p + y' (y))\)はコンティニュアス（連続）である、\(y \mapsto g' (c + y')\)がコンティニュアス（連続）であるから; \(y'\)が0に近い時は、\(c + r^{-1} \vert h' (p + y') - c \vert y' + y - p - y' = c + r^{-1} \vert g' (c + y') - c \vert y' + y - p - y' \approx c + y - p\)。したがって、\(f'^{-1} (y)\)はコンティニュアス（連続）である。
\(f'\)はホメオモーフィズム（位相同形）であるから、リストリクション（制限）\(f' \vert_{\Delta^n}: \Delta^n \to \overline{B^n_{p, r}}\)はホメオモーフィズム（位相同形）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
結局、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題によって、\(f: \Delta^n \to \overline{B^n_{p, r}}\)はホメオモーフィズム（位相同形）である: \(\phi'_p = id\)および\(\phi'_{f (p)} = id\)であるから、\(\phi'_p\)および\(\phi'_{f (p)}\)は目立たないが、\(f'\)は実際にコーディネート（座標）たちファンクション（関数）である。
4: 注
私たちは、\(f\)のホメオモーフィズム（位相同形）を、その、\(\mathbb{R}^{n + 1}\)に対するコーディネート（座標）たちによる表現から直接に主張することができなかった、なぜなら、それらコーディネート（座標）たちは、\(\Delta^n\)や\(\overline{B^n_{p, r}}\)に対するものではない。したがって、私たちは、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題を用い、それが\(f'\)を持つことを求めた。
\(f'\)は、全体としてホメオモーフィック（位相同形）である必要は特になかった: 単に\(f'\)のリストリクション（制限）がホメオモーフィック（位相同形）である必要があった、しかしそれにも関わらず、私たちは、全体としてホメオモーフィック（位相同形）な\(f'\)を確立した、なぜなら、そうできたから。
\(\Delta^n\)のバウンダリー（境界）で\(\Delta^n\)のサブスペース（部分空間）としたもの（それは、\(\mathbb{R}^{n + 1}\)のサブスペース（部分空間）でもある）は、\(\overline{B^n_{p, r}}\)のバウンダリー（境界）で\(\overline{B^n_{p, r}}\)のサブスペース（部分空間）としたもの（それは、\(\mathbb{R}^n\)のサブスペース（部分空間）でもある）、それは、\(S^n\)へホメオモーフィック（位相同形）である、へホメオモーフィック（位相同形）である、なぜなら、\(f\)は当該バウンダリー（境界）を当該バウンダリー（境界）の上へマップし、\(f\)の当該ドメイン（定義域）および当該コドメイン（余域）に関してのリストリクション（制限）はホメオモーフィック（位相同形）である。
