95: スタンダードシンプレックス（単体）は同次元クローズドボール（閉球）にホメオモーフィック（位相同形）である

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スタンダードシンプレックス（単体）は同次元クローズドボール（閉球）にホメオモーフィック（位相同形）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ホメオモーフィズム（位相同形写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題を認めている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、n次元スタンダードシンプレックス（単体）は任意のn次元クローズドボール（閉球）にホメオモーフィック（位相同形）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
${\mathbb{R}}^{n+1}$: $=\text{ ユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }$で、ユークリディアントポロジーを持ったもの
${\mathrm{\Delta }}^n$: $=\text{ スタンダードnシンプレックス（単体） }$, $\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$、${\mathbb{R}}^{n+1}$のサブスペース（部分空間）トポロジーを持ったもの
${\mathbb{R}}^n$: $=\text{ ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }$
$\overline{B_{p,r}^n}$: $=\text{ クローズドボール（閉球） }$, $\subseteq {\mathbb{R}}^n$, ${\mathbb{R}}^n$のサブスペース（部分空間）トポロジーを持ったもの
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ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }f:{\mathrm{\Delta }}^n\to \overline{B_{p,r}^n}(f\in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形）たち }\})$
//

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2: 自然言語記述

ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）${\mathbb{R}}^{n+1}$で、ユークリディアントポロジーを持ったもの、スタンダードnシンプレックス（単体）${\mathrm{\Delta }}^n\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$で、${\mathbb{R}}^{n+1}$のサブスペース（部分空間）トポロジーを持ったもの、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）${\mathbb{R}}^n$、クローズドボール（閉球）$\overline{B_{p,r}^n}\subseteq {\mathbb{R}}^n$で、${\mathbb{R}}^n$のサブスペース（部分空間）トポロジーを持ったものに対して、あるホメオモーフィズム（位相同形）$f:{\mathrm{\Delta }}^n\to \overline{B_{p,r}^n}$がある。

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3: 証明

${\mathbb{R}}^n$は${\mathbb{R}}^{n+1}$の中にネストできる、${\mathbb{R}}^n\times \{0\}$を以下を満たすように回転し平行移動して、つまり、${\mathbb{R}}^n=\{(x^1,...,x^{n+1})\in {\mathbb{R}}^{n+1}|\sum _{j\in \{1,...,n+1\}}{x}^j=1\}$: 原点を包含し、ベクトル$(1/(n+1),...,1/(n+1))\in {\mathbb{R}}^{n+1}$に垂直なハイパープレイン（超平面）を考える、それが含意するのは、$(x^1,...,x^{n+1})(1/(n+1),...,1/(n+1))=x^{1}1/(n+1)+...+x^{n+1}1/(n+1)=1/(n+1)(x^1+...+x^{n+1})=0$、それが含意するのは、$x^1+...+x^{n+1}=0$、そしてそれをベクトルたち$(1/(n+1),...,1/(n+1))\in {\mathbb{R}}^{n+1}$によって平行移動する、それが含意するのは、$x^1+...+x^{n+1}=1$。すると、${\mathbb{R}}^n$は${\mathbb{R}}^{n+1}$のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題によって。

$\overline{B_{p,r}^n}\subseteq {\mathbb{R}}^n\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1}$は${\mathbb{R}}^{n+1}$のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって。

${\mathrm{\Delta }}^n=\{x\in {\mathbb{R}}^{n+1}|\sum _{j\in \{1,...,n+1\}}{x}^j=1\wedge 0\le x^j\}$。$\overline{B_{p,r}^n}=\{x\in {\mathbb{R}}^{n+1}|\sum _{j\in \{1,...,n+1\}}{x}^j=1\wedge \sum _{j\in \{1,...,n+1\}}(x^j-p^j{)}^2\le r^2\}$、ここで、$\sum _{j\in \{1,...,n+1\}}{p}^j=1$。

${\mathrm{\Delta }}^n$のバリセンター（重心）は$c=(1/(n+1),...,1/(n+1))$である。マップ（写像）$g:{\mathrm{\Delta }}^n\setminus \{c\}\to {\mathrm{\Delta }}^n$は、${\mathrm{\Delta }}^n$のバウンダリー（境界）ポイントで$c$から$x$への輻射線が通過するものと定義する。$f$は、$c$に対しては、$p$、その他の場合は、$p+r{|g(x)-c|}^{-1}(x-c)$と定義する。

実のところ、$g(x)=c+(1-{c^k}^{-1}{x}^k{)}^{-1}(x-c)$である、ここで、$k$は$x$のミニマム（最小）コンポーネントのインデックス（もしも、複数のミニマム（最小）たちがある場合、それらの内の任意の1つを選ぶ）、なぜなら、$g(x)=c+a(x-c)$でそのミニマム（最小）コンポーネントは0（$0<a$であり、明らかに、xのミニマム（最小）コンポーネントは$g(x)$のミニマム（最小）コンポーネントに対応する）、それが、あるバウンダリー（境界）上にあることの条件である、したがって、$c^k+a(x^k-c^k)=0$、したがって、$a=-c^k(x^k-c^k{)}^{-1}=(1-{c^k}^{-1}{x}^k{)}^{-1}$。

$f$は明らかに${\mathrm{\Delta }}^n$と$\overline{B_{p,r}^n}$の間のバイジェクション（全単射）である。

任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題を適用しよう。

${\mathbb{R}}^{n+1}$はカノニカル（自然）に$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）である。${\mathbb{R}}^{n+1}$に対するスタンダードチャート$({\mathbb{R}}^{n+1}\subseteq {\mathbb{R}}^{n+1},id)$を取ろう。$g$の拡張$g^{\prime }:{\mathbb{R}}^n\setminus c\to {\mathbb{R}}^n$を以下のように定義しよう、つまり、${\mathrm{\Delta }}^n$の外では、値は、${\mathrm{\Delta }}^n$のバウンダリー（境界）ポイントで、$c$から$x$への輻射線が通過するである: 前と同様に、$g^{\prime }(x)=c+(1-{c^k}^{-1}{x}^k{)}^{-1}(x-c)$、ここで、$k$は$x$のミニマム（最小）コンポーネントのインデックス。$f$の拡張$f^{\prime }:{\mathbb{R}}^{n+1}\to {\mathbb{R}}^{n+1}$を以下のように定義しよう、つまり、$x-c$の${\mathbb{R}}^n$ハイパープレイン（超平面）へのプロジェクション（射影）を$x^{\prime }$と表記（それが意味するのは、$x-c-x^{\prime }$は${\mathbb{R}}^n$ハイパープレイン（超平面）に垂直なベクトルであるということ）し、$x^{\prime }=0$である時は、$p+x-c$、そして、その他の場合は、$p+r{|g^{\prime }(c+x^{\prime })-c|}^{-1}{x}^{\prime }+x-c-x^{\prime }$。

明らかに$f^{\prime }$は実際に${\mathrm{\Delta }}^n$上で$f$へリストリクテッド（制限された）である。

$f^{\prime }$は明らかにバイジェクション（全単射）である。

$x\mapsto x^{\prime }$はコンティニュアス（連続）である（$x$を中心とした$ϵ$オープンボール（開球）は$c+x^{\prime }$を中心とした$ϵ$オープンボール（開球）と${\mathbb{R}}^n$ハイパープレイン（超平面）のインターセクション（共通集合）へマップ（写像）され、$c+x^{\prime }\mapsto x^{\prime }$はコンティニュアス（連続）である）; $x\mapsto g^{\prime }(c+x^{\prime }(x))$はコンティニュアス（連続）である（ミニマム（最小）コンポーネントを取ることはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、$c+x^{\prime }$を中心とした$ϵ$オープンボール（開球）は各コンポーネントの変動（ミニマム（最小）コンポーネントも含む）が$ϵ$より小さいことを意味し、マルチプリケーション（積）インバース（逆）を取ることはコンティニュアス（連続）である）; ベクトル長を取ることはコンティニュアス（連続）であり、マルチプリケーション（積）インバース（逆）を取ることはコンティニュアス（連続）である; したがって、$f^{\prime }$は$x^{\prime }=0$のおけるのを除いてコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンパウンド（合成）として、そして、$x^{\prime }$が$0$に近い時は、$|{|g^{\prime }(c+x^{\prime })-c|}^{-1}{x}^{\prime }|={|{|(1-{c^j}^{-1}(c^j+x^{\prime j}))|}^{-1}|x^{\prime }||}^{-1}|x^{\prime }|=|(1-{c^j}^{-1}(c^j+x^{\prime j}))|\approx 0$、したがって、$f^{\prime }(x)=p+r{|g^{\prime }(c+x^{\prime })-c|}^{-1}{x}^{\prime }+x-c-x^{\prime }\approx p+x-c$、したがって、$f^{\prime }$は$x^{\prime }=0$においてもコンティニュアス（連続）である。

他方、$y-p$の${\mathbb{R}}^n$ハイパープレイン（超平面）へのプロジェクション（射影）を$y^{\prime }$と表記し、${\mathrm{\Delta }}^n$のバウンダリー（境界）ポイントで、それを介して$p+y^{\prime }$が$c+x^{\prime }$からマップされるものを$h^{\prime }(p+y^{\prime })$と表記し（それが含意するのは、$h^{\prime }(p+y^{\prime })=g^{\prime }(c+x^{\prime })$）、$f^{\prime -1}(y)$は、$y^{\prime }=0$の時は、$c+y-p$で、その他の場合は、$c+r^{-1}|h^{\prime }(p+y^{\prime })-c|y^{\prime }+y-p-y^{\prime }$である、なぜなら、$p+r{|g^{\prime }(c+x^{\prime })-c|}^{-1}{x}^{\prime }$は$p+y^{\prime }$に他ならない、したがって、$y^{\prime }=r{|g^{\prime }(c+x^{\prime })-c|}^{-1}{x}^{\prime }$、そして、$f^{\prime -1}(y)=x=c+x^{\prime }+x-c-x^{\prime }=c+x^{\prime }+y-p-y^{\prime }$、なぜなら、$y-p-y^{\prime }=x-c-x^{\prime }$、${\mathbb{R}}^n$ハイパープレイン（超平面）へ垂直なベクトルは変化しないから。

$h^{\prime }(p+y^{\prime })$は実のところ、$g^{\prime }(c+y^{\prime })$である、なぜなら、$p+y^{\prime }$は$c+x^{\prime }$から、$p+y^{\prime }$の$p$からの方向が$c+x^{\prime }$の$c$からの方向と同じであるようにマップされ、当該バウンダリー（境界）ポイントは、$g^{\prime }$引数の$c$からの方向のみに依存する。したがって、$y\mapsto h^{\prime }(p+y^{\prime }(y))$はコンティニュアス（連続）である、$y\mapsto g^{\prime }(c+y^{\prime })$がコンティニュアス（連続）であるから; $y^{\prime }$が0に近い時は、$c+r^{-1}|h^{\prime }(p+y^{\prime })-c|y^{\prime }+y-p-y^{\prime }=c+r^{-1}|g^{\prime }(c+y^{\prime })-c|y^{\prime }+y-p-y^{\prime }\approx c+y-p$。したがって、$f^{\prime -1}(y)$はコンティニュアス（連続）である。

$f^{\prime }$はホメオモーフィズム（位相同形）であるから、リストリクション（制限）$f^{\prime }{|}_{{\mathrm{\Delta }}^n}:{\mathrm{\Delta }}^n\to \overline{B_{p,r}^n}$はホメオモーフィズム（位相同形）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。

結局、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題によって、$f:{\mathrm{\Delta }}^n\to \overline{B_{p,r}^n}$はホメオモーフィズム（位相同形）である: ${\varphi }_p^{\prime }=id$および${\varphi }_{f(p)}^{\prime }=id$であるから、${\varphi }_p^{\prime }$および${\varphi }_{f(p)}^{\prime }$は目立たないが、$f^{\prime }$は実際にコーディネート（座標）たちファンクション（関数）である。

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4: 注

私たちは、$f$のホメオモーフィズム（位相同形）を、その、${\mathbb{R}}^{n+1}$に対するコーディネート（座標）たちによる表現から直接に主張することができなかった、なぜなら、それらコーディネート（座標）たちは、${\mathrm{\Delta }}^n$や$\overline{B_{p,r}^n}$に対するものではない。したがって、私たちは、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題を用い、それが$f^{\prime }$を持つことを求めた。

$f^{\prime }$は、全体としてホメオモーフィック（位相同形）である必要は特になかった: 単に$f^{\prime }$のリストリクション（制限）がホメオモーフィック（位相同形）である必要があった、しかしそれにも関わらず、私たちは、全体としてホメオモーフィック（位相同形）な$f^{\prime }$を確立した、なぜなら、そうできたから。

${\mathrm{\Delta }}^n$のバウンダリー（境界）で${\mathrm{\Delta }}^n$のサブスペース（部分空間）としたもの（それは、${\mathbb{R}}^{n+1}$のサブスペース（部分空間）でもある）は、$\overline{B_{p,r}^n}$のバウンダリー（境界）で$\overline{B_{p,r}^n}$のサブスペース（部分空間）としたもの（それは、${\mathbb{R}}^n$のサブスペース（部分空間）でもある）、それは、$S^n$へホメオモーフィック（位相同形）である、へホメオモーフィック（位相同形）である、なぜなら、$f$は当該バウンダリー（境界）を当該バウンダリー（境界）の上へマップし、$f$の当該ドメイン（定義域）および当該コドメイン（余域）に関してのリストリクション（制限）はホメオモーフィック（位相同形）である。

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参考資料

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