クローズドセット（閉集合）たちのインターセクション（共通集合）または有限数ユニオン（和集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のクローズドセット（閉集合）たちのインターセクション（共通集合）または任意の、有限数のクローズドセット（閉集合）たちのユニオン（和集合）は、クローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）Tに対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のクローズドセット（閉集合）たちのインターセクション（共通集合）\(\cap_\alpha C_\alpha\)、ここで\(C_\alpha \subseteq T\)、クローズド（閉）、ここで\({\alpha}\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、または任意の有限数のクローズドセット（閉集合）たちのユニオン（和集合）\(\cup_i C_i\)、ここで\(C_i \subseteq T\)、クローズド（閉）、ここで\({i}\)は任意の有限インデックスセット（集合）、は、クローズド（閉）である。
2: 証明
インターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）\(T \setminus \cap_\alpha C_\alpha\)は、\(T \setminus \cap_\alpha (T \setminus U_\alpha)\)に等しい、ここで\(U_\alpha := T \setminus C_\alpha\)、オープン（開）。しかし、\(\cap_\alpha (T \setminus U_\alpha) = T \setminus \cup_\alpha U_\alpha\)、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。\(\cup_\alpha U_\alpha\)はオープン（開）であるから、\(T \setminus \cup_\alpha U_\alpha\)はクローズド（閉）である、したがって、\(T \setminus \cap_\alpha C_\alpha\)はオープン（開）である。
ユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）\(T \setminus \cup_i C_i\)は、\(T \setminus \cup_i (T \setminus U_i)\)に等しい、ここで\(U_i := T \setminus C_i\)、オープン（開）。しかし、\(\cup_i (T \setminus U_i) = T \setminus \cap_i U_i\)、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。\(\cap_i U_i\)はオープン（開）であるから、\(T \setminus \cap_i U_i\)はクローズド（閉）である、したがって、\(T \setminus \cup_i C_i\)はオープン（開）である。
