317: クローズドセット（閉集合）たちのインターセクション（共通集合）または有限数ユニオン（和集合）はクローズド（閉）である

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クローズドセット（閉集合）たちのインターセクション（共通集合）または有限数ユニオン（和集合）はクローズド（閉）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のクローズドセット（閉集合）たちのインターセクション（共通集合）または任意の、有限数のクローズドセット（閉集合）たちのユニオン（和集合）は、クローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）Tに対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のクローズドセット（閉集合）たちのインターセクション（共通集合）${\cap }_{\alpha }{C}_{\alpha }$、ここで$C_{\alpha }\subseteq T$、クローズド（閉）、ここで$\alpha$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、または任意の有限数のクローズドセット（閉集合）たちのユニオン（和集合）${\cup }_i{C}_i$、ここで$C_i\subseteq T$、クローズド（閉）、ここで$i$は任意の有限インデックスセット（集合）、は、クローズド（閉）である。

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2: 証明

インターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）$T\setminus {\cap }_{\alpha }{C}_{\alpha }$は、$T\setminus {\cap }_{\alpha }(T\setminus U_{\alpha })$に等しい、ここで$U_{\alpha }:=T\setminus C_{\alpha }$、オープン（開）。しかし、${\cap }_{\alpha }(T\setminus U_{\alpha })=T\setminus {\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$、任意のセット（集合）にたいして、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。${\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$はオープン（開）であるから、$T\setminus {\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$はクローズド（閉）である、したがって、$T\setminus {\cap }_{\alpha }{C}_{\alpha }$はオープン（開）である。

ユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）$T\setminus {\cup }_i{C}_i$は、$T\setminus {\cup }_i(T\setminus U_i)$に等しい、ここで$U_i:=T\setminus C_i$、オープン（開）。しかし、${\cup }_i(T\setminus U_i)=T\setminus {\cap }_i{U}_i$、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。${\cap }_i{U}_i$はオープン（開）であるから、$T\setminus {\cap }_i{U}_i$はクローズド（閉）である、したがって、$T\setminus {\cup }_i{C}_i$はオープン（開）である。

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参考資料

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