複素数たち間の絶対差は追加の複素数との絶対差たち間の差以上であることの記述/証明
話題
About: 複素数
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、複素数の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の複素数たち間の絶対差は、一方と任意の追加の複素数間の絶対差と他方とその追加複素数間の絶対差間の差以上であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の複素数たち\(c_1\)および\(c_2\)に対して、\(|c_1 - c_2| \geq |c_1 - c_3| - |c_2 - c_3|\)、任意の複素数\(c_3\)について。
2: 証明
任意の複素数たち\(c_4\)および\(c_5\)に対して、\(|c_4| + |c_5| \geq |c_4 + c_5|\)。したがって、\(|c_4| \geq |c_4 + c_5| - |c_5|\)。しかし、任意の複素数たち\(c_1\)および\(c_2\)を以下を満たすように選ぶことができる、つまり、\(c_4 = c_1 - c_2\)、\(c_4\)は任意だから、すると、\(|c_1 - c_2| \geq |c_1 - c_2 + c_5| - |c_5| \implies |c_1 - c_2| \geq |c_1 - (c_2 - c_5)| - |c_2 - (c_2 - c_5)|\)、したがって、\(c_3 := c_2 - c_5\)を定義するが、それは任意の複素数であり得る、なぜなら\(c_5\)は恣意的だから、したがって、\(|c_1 - c_2| \geq |c_1 - c_3| - |c_2 - c_3|\)、任意の複素数たち\(c_1\)、\(c_2\)、\(c_3\)に対して。
3: 注
任意の実数は複素数だから、本命題は実数たちに対しても成立する。
