リニア（線形）バイジェクション（全単射）によって関連付けられる有限次元ベクトルスペース（空間）たちは同一次元のものであることの記述/証明
話題
About: ベクトルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、クラメールの定理を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、以下を満たす2つの有限次元ベクトルスペース（空間）たち、つまり、それらの内の一方から他方へリニア（線形）バイジェクション（全単射）がある、は同一次元のものであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
以下を満たす任意の有限次元ベクトルスペース（空間）たち\(V_1\)および\(V_2\)、つまり、任意のリニア（線形）バイジェクション（全単射）\(f: V_1 \rightarrow V_2\)がある、に対して、\(V_1\)および\(V_2\)の次元たちは同一である。
2: 証明
\(V_1\)に対するあるベーシス（基底）\((b_{11}, b_{12}, . . ., b_{1d_1})\)および\(V_2\)に対するあるベーシス（基底）\((b_{21}, b_{22}, . . ., b_{2d_2})\)がある。.任意の\(v_1 \in V_1\)は\(v_1 = {v_1}^i b_{1i}\)。\(f (v_1) = {v_1}^i f (b_{1i})\)。\(f (b_{1i}) = {f^j}_i b_{2j}\)。\(f (v_1) = {v_1}^i {f^j}_i b_{2j} = {v_2}^i b_{2i}\)。\(\begin{pmatrix} {f^1}_1 & . . . & {f^1}_{d_1} \\ . . . & . . . & . . . \\ {f^{d_2}}_1 & . . . & {f^{d_2}}_{d_1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {v_1}^1 \\ . . . \\ {v_1}^{d_1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {v_2}^1 \\ . . . \\ {v_2}^{d_2} \end{pmatrix}\)。クラメールの定理によって、もしも、\(\begin{pmatrix} {f^j}_i \end{pmatrix}\)のランクkが\(k \lt d_1\)だったら、同定理の\(v_1\)の解の存在条件が満足されていると仮定して（それは実際満足されていなければならない）、\(v_1\)の解が\({v_1}^{k + 1} , . . ., {v_1}^{d_1}\)を恣意的としてあることになるが、それは\(f\)はインジェクティブ（単射）でなかったことを意味する、したがって、\(k = d_1\)、したがって、\(d_1 \le d_2\)。クラメールの定理によって、もしも、\(d_1 \lt d_2\)であったら、一部の行および一部の列が同定理にしたがって既に並べ替えられてあると仮定して、\(det \begin{pmatrix} {f^1}_1 & . . . & {f^1}_{d_1} & {v_2}^1 \\ . . . & . . . & . . . & . . . \\ {f^{d_1}}_1 & . . . & {f^{d_1}}_{d_1} & {v_2}^{d_1} \\ {f^{d_1 + 1}}_1 & . . . & {f^{d_1 + 1}}_{d_1} & {v_2}^{d_1 + 1} \end{pmatrix} = 0\)、\(v_1\)の何らかの解が存在するためには、しかし、それは可能な\(v_2\)全てに対して可能ではないだろう、なぜなら、\({v_2}^{d_1 + 1}\)についての代数的余因子は0でなく、したがって、その行列式はある\({v_2}^{d_1 + 1}\)を選ぶ）ことで0からそらすことが出来る、そしてそれは、\(f\)はサージェクティブではなかったことを意味する、したがって、\(d_1 = d_2\)。
