集合たちのインターセクション（共通集合）のインジェクティブ（単射）マップ（写像）イメージ（像）は集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明
話題
About: 集合
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1\)および\(S_2\)、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）\(f: S_1 \rightarrow S_2\)、\(S_1\)の任意の、不可算かもしれない数の部分集合たち\(S_{1_\alpha} \subseteq S_1\)に対して、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）\(f (\cap_\alpha S_{1_\alpha})\)は、それらサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）\(\cap_\alpha f (S_{1_\alpha})\)である、つまり、\(f (\cap_\alpha S_{1_\alpha}) = \cap_\alpha f (S_{1_\alpha})\)。
2: 証明
任意の要素\(p \in f (\cap_\alpha S_{1_\alpha})\)に対して、以下を満たすある要素\(p' \in \cap_\alpha S_{1_\alpha}\)がある、つまり、\(p = f (p')\)、それが意味するのは、各\(\alpha\)に対して、\(p' \in S_{1_\alpha}\)。したがって、各\(\alpha\)に対して、\(p \in f (S_{1_\alpha})\)、したがって、\(p \in \cap_\alpha f (S_{1_\alpha})\)。
任意の要素\(p \in \cap_\alpha f (S_{1_\alpha})\)に対して、各\(\alpha\)に対して、\(p \in f (S_{1_\alpha})\)、したがって、各\(\alpha\)に対して、以下を満たす\(p'_\alpha \in S_{1_\alpha}\)がある、つまり、\(p = f (p'_\alpha)\)、しかし、\(f\)はインジェクティブ（単射）であるから、全ての\(p'_\alpha\)たちは同一の\(p' \in S_1\)である、したがって、\(p' \in \cap_\alpha S_{1_\alpha}\)、したがって、\(p \in f (\cap_\alpha S_{1_\alpha})\)。
3: 注
本命題のためには、マップ（写像）はインジェクティブ（単射）でなければならない。そうではない場合のためには、別の命題を参照。
