343: 集合たちのインターセクション（共通集合）のインジェクティブ（単射）マップ（写像）イメージ（像）は集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）である

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集合たちのインターセクション（共通集合）のインジェクティブ（単射）マップ（写像）イメージ（像）は集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であることの記述/証明

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話題

About: 集合
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）に対して、任意の集合たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）はそれら集合たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1$および$S_2$、任意のインジェクティブ（単射）マップ（写像）$f:S_1\to S_2$、$S_1$の任意の、不可算かもしれない数の部分集合たち$S_{1_{\alpha }}\subseteq S_1$に対して、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のマップ（写像）イメージ（像）$f({\cap }_{\alpha }{S}_{1_{\alpha }})$は、それらサブセット（部分集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのインターセクション（共通集合）${\cap }_{\alpha }f(S_{1_{\alpha }})$である、つまり、$f({\cap }_{\alpha }{S}_{1_{\alpha }})={\cap }_{\alpha }f(S_{1_{\alpha }})$。

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2: 証明

任意の要素$p\in f({\cap }_{\alpha }{S}_{1_{\alpha }})$に対して、以下を満たすある要素$p^{\prime }\in {\cap }_{\alpha }{S}_{1_{\alpha }}$がある、つまり、$p=f(p^{\prime })$、それが意味するのは、各$\alpha$に対して、$p^{\prime }\in S_{1_{\alpha }}$。したがって、各$\alpha$に対して、$p\in f(S_{1_{\alpha }})$、したがって、$p\in {\cap }_{\alpha }f(S_{1_{\alpha }})$。

任意の要素$p\in {\cap }_{\alpha }f(S_{1_{\alpha }})$に対して、各$\alpha$に対して、$p\in f(S_{1_{\alpha }})$、したがって、各$\alpha$に対して、以下を満たす$p_{\alpha }^{\prime }\in S_{1_{\alpha }}$がある、つまり、$p=f(p_{\alpha }^{\prime })$、しかし、$f$はインジェクティブ（単射）であるから、全ての$p_{\alpha }^{\prime }$たちは同一の$p^{\prime }\in S_1$である、したがって、$p^{\prime }\in {\cap }_{\alpha }{S}_{1_{\alpha }}$、したがって、$p\in f({\cap }_{\alpha }{S}_{1_{\alpha }})$。

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3: 注

本命題のためには、マップ（写像）はインジェクティブ（単射）でなければならない。そうではない場合のためには、別の命題を参照。

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参考資料

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