340: リーグループ（群）のC^\infty右アクションによって導出された、ベクトルたちのパラメータによるファミリーとカーブは、同一ベクトルを代表する、もしも、. . .

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リーグループ（群）の$C^{\mathrm{\infty }}$右アクションによって導出された、ベクトルたちのパラメータによるファミリーとカーブは、同一ベクトルを代表する、もしも、. . .ことの記述/証明

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話題

About: マニフォールド（多様体）
About: リーグループ（群）
About: リーグループ（群）のマニフォールド（多様体）への右アクション

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、リーグループ（群）の定義を知っている。
• 読者は、リーグループ（群）の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）への$C^{\mathrm{\infty }}$右アクションの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）Mに任意のリーグループ（群）Gの任意の$C^{\mathrm{\infty }}$右アクションが付いたもの、および、任意の、カーブたちのパラメータによるファミリーから導出されたベクトルたちのパラメータによるファミリー、および、任意のカーブ、で、両方ともG上にいてG上で同一ベクトルを代表するものに対して、G上のカーブたちのパラメータによるファミリーの右アクションから導出されたベクトルたちのパラメータによるファミリー、と、G上のカーブの右アクションとしてのカーブ、は、M上で同一ベクトルを代表するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M$に任意のリーグループ（群）$G$の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$右アクション$\mu :M\times G\to M$を付けたもの、任意の、$G$上の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブたちの$C^{\mathrm{\infty }}$パラメータによるファミリー$c_1(t,t^{\prime })$、ここで$t$はパラメータであり、$t$に依存せず$c_1(t,0)=g\in G$、および、任意の$G$上の$C^{\mathrm{\infty }}$カーブ$c_2(t)$で、$G$上で、$\frac{d}{dt}(\frac{\partial c_1(t,t^{\prime })}{\partial t^{\prime }}{|}_{t^{\prime }=0}){|}_{t=0}=\frac{d{c}_2(t)}{dt}{|}_{t=0}$として同一タンジェントベクトルを代表するものたち、ここで、左手の$\frac{d}{dt}$は、ベクトルたちのパラメータによるファミリーのデリバティブ（微分係数）を意味し、右手の$\frac{\partial }{\partial t}$および$\frac{d}{dt}$は、カーブのタンジェントベクトルを取ることを意味する、に対して、$M$上の、導出された、ベクトルたちのパラメータによるファミリーおよびカーブ、は、$M$上で同一ベクトルを代表する、つまり、$\frac{d}{dt}(\frac{\partial m{c}_1(t,t^{\prime })}{\partial t^{\prime }}{|}_{t^{\prime }=0}){|}_{t=0}=\frac{dm{c}_2(t)}{dt}{|}_{t=0}$、ここで、$\frac{d}{dt}$たちおよび$\frac{\partial }{\partial t^{\prime }}$は同様に意味する。

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2: 証明

$m{c}_1(t,t^{\prime })$は実際、$C^{\mathrm{\infty }}$カーブたちの$C^{\mathrm{\infty }}$パラメータによるファミリーである、なぜなら、それは$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）たちの合成であるから、$c_1(t,t^{\prime })$は$C^{\mathrm{\infty }}$であり$\mu$は$C^{\mathrm{\infty }}$であり、mは固定されていて。

$m{c}_2(t)$は実際、$C^{\mathrm{\infty }}$カーブである、なぜなら、それは$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）たちの合成だから、$c_2(t)$は$C^{\mathrm{\infty }}$であり$\mu$は$C^{\mathrm{\infty }}$であり、$m$は固定されていて。

$G$上の$c_1(t,0)=c_2(0)$周りの任意のチャートに対して、$i$コンポーネント${(\frac{d}{dt}(\frac{\partial c_1(t,t^{\prime })}{\partial t^{\prime }}{|}_{t^{\prime }=0}){|}_{t=0})}^i=\frac{d}{dt}(\frac{\partial c_1^i(t,t^{\prime })}{\partial t^{\prime }}{|}_{t^{\prime }=0}){|}_{t=0}=\frac{d{c}_2^i(t)}{dt}{|}_{t=0}$、ここで、$c_j^i$は$c_j$の$G$チャートによる$i$コンポーネントである。

$M$上の$m{c}_1(t,0)=m{c}_2(0)$周りの任意のチャートに対して、$j$コンポーネント${(\frac{d}{dt}(\frac{\partial m{c}_1(t,t^{\prime })}{\partial t^{\prime }}{|}_{t^{\prime }=0}){|}_{t=0})}^j=\frac{d}{dt}(\frac{\partial (m{c}_1(t,t^{\prime }){)}^j}{\partial t^{\prime }}{|}_{t^{\prime }=0}){|}_{t=0}=\frac{d}{dt}(\frac{\partial {\mu }^j(m,c_1(t,t^{\prime }))}{\partial t^{\prime }}{|}_{t^{\prime }=0}){|}_{t=0}=\frac{d}{dt}(\frac{{\mu }^j(m,c_1(t,t^{\prime }))}{\partial c_1^i}\frac{c_1^i(t,t^{\prime })}{\partial t^{\prime }}{|}_{t^{\prime }=0}){|}_{t=0}$、しかし、$\frac{\partial {\mu }^j}{\partial c_1^i}$は$m$と$c_1$のファンクションであり、$c_1(t,0)$は$t$に依存しない、したがって、$=\frac{\partial {\mu }^j(m,c_1)}{\partial c_1^i}\frac{d}{dt}(\frac{\partial c_1^i(t,t^{\prime })}{\partial t^{\prime }}{|}_{t^{\prime }=0}){|}_{t=0}=\frac{\partial {\mu }^j(m,c_1)}{\partial c_1^i}{|}_{c_1=g}\frac{d{c}_2^i(t)}{dt}{|}_{t=0}$。他方で、${\left(\frac{dm{c}_2(t)}{dt}{|}_{t=0}\right)}^j=\frac{d(m{c}_2(t){)}^j}{dt}{|}_{t=0}=\frac{d{\mu }^j(m,c_2(t))}{dt}{|}_{t=0}=\frac{\partial {\mu }^j(m,c_2)}{\partial c_2^i}{|}_{c_2=g}\frac{d{c}_2^i(t)}{dt}{|}_{t=0}$。$\frac{\partial {\mu }^j}{\partial c_k^i}$はコーディネイトファンクションの問題なので、${\frac{\partial {\mu }^j(m,c_1)}{\partial c_1^i}|}_{c_1=g}={\frac{\partial {\mu }^j(m,c_2)}{\partial c_2^i}|}_{c_2=g}$。

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参考資料

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