354: ハイパー長方形のエリア（面積）は、カバーする有限数ハイパー正方形たちのエリア（面積）で任意の精度で近似できる

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ハイパー長方形のエリア（面積）は、カバーする有限数ハイパー正方形たちのエリア（面積）で任意の精度で近似できることの記述/証明

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話題

About: ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のハイパー長方形のエリア（面積）は、カバーする有限数ハイパー正方形たちのエリア（面積）で任意の精度で近似できるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の${\mathbb{R}}^n$ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）上の任意のハイパー長方形のエリア（面積）$a$は、ハイパー長方形をカバーするいくつかの有限数ハイパー正方形のエリア（面積）$a_i$で任意の精度で近似できる、つまり、任意の実数$ϵ>0$に対して、$\sum _i{a}_i-a<ϵ$。

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2: 証明

当該ハイパー長方形の辺長たちを$l_1,l_2,...,l_n$で表わす。任意の実数$l_s>0$および各辺インデックス$1\le i\le n$に対して、以下を満たす、非負のユニークな整数$k_i(l_s)$およびユニークな実数$0\le l_i^{\prime }(l_s)<l_s$がある、つまり、$k_i(l_s)l_s=l_i^{\prime }(l_s)+l_i$、それが意味するのは、$l_i$長は、$l_s$の$k_i(l_s)$回分でカバーされ、$l_i^{\prime }(l_s)$だけ超過するということ、ここで。ユニークな存在は意味に基づいて明らか。

さて、$l_s$は、ハイパー長方形をカバーする（ハイパー長方形のある頂点から開始して、各$i$方向に$k_i(l_s)$回で、$$i方向に$l_i^{\prime }(l_s)$超過する）同一サイズハイパー正方形たちの辺長である。

超過エリア（面積）が近似の誤差であり、それは、$e(l_s)=\prod _i{l}_s{k}_i(l_s)-\prod _i{l}_i$。しかし、超過エリア（面積）を直接に計算すると、$e(l_s)<\sum _i{l}_i^{\prime }(l_s)\prod _{j\ne i}(l_j^{\prime }(l_s)+l_j)$、一部のエリア（面積）たちを複数回加算して。$l_s\le 1$と仮定して（それを私たちは自由にできる）、$\sum _i{l}_i^{\prime }(l_s)\prod _{j\ne i}(l_j^{\prime }(l_s)+l_j)<\sum _i{l}_s\prod _{j\ne i}(l_s+l_j)<l_s\sum _i\prod _{j\ne i}(1+l_j)$。

$L:=\sum _i\prod _{j\ne i}(1+l_j)$はハイパー長方形の形状にのみ依存するので、私たちは$l_s$を$min(1,\frac{ϵ}{L})$と選ぶ、すると、$e(l_s)<l_{s}L\le ϵ$。

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参考資料

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