ハイパー長方形のエリア（面積）は、カバーする有限数ハイパー正方形たちのエリア（面積）で任意の精度で近似できることの記述/証明
話題
About: ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のハイパー長方形のエリア（面積）は、カバーする有限数ハイパー正方形たちのエリア（面積）で任意の精度で近似できるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(\mathbb{R}^n\)ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）上の任意のハイパー長方形のエリア（面積）\(a\)は、ハイパー長方形をカバーするいくつかの有限数ハイパー正方形のエリア（面積）\(a_i\)で任意の精度で近似できる、つまり、任意の実数\(\epsilon \gt 0\)に対して、\(\sum _i a_i - a \lt \epsilon\)。
2: 証明
当該ハイパー長方形の辺長たちを\(l_1, l_2, . . ., l_n\)で表わす。任意の実数\(l_s \gt 0\)および各辺インデックス\(1 \leq i \leq n\)に対して、以下を満たす、非負のユニークな整数\(k_i (l_s)\)およびユニークな実数\(0 \leq l'_i (l_s) \lt l_s\)がある、つまり、\(k_i (l_s) l_s = l'_i (l_s) + l_i\)、それが意味するのは、\(l_i\)長は、\(l_s\)の\(k_i (l_s)\)回分でカバーされ、\(l'_i (l_s)\)だけ超過するということ、ここで。ユニークな存在は意味に基づいて明らか。
さて、\(l_s\)は、ハイパー長方形をカバーする（ハイパー長方形のある頂点から開始して、各\(i\)方向に\(k_i (l_s)\)回で、\(\)i方向に\(l'_i (l_s)\)超過する）同一サイズハイパー正方形たちの辺長である。
超過エリア（面積）が近似の誤差であり、それは、\(e (l_s) = \prod _i l_s k_i (l_s) - \prod _i l_i\)。しかし、超過エリア（面積）を直接に計算すると、\(e (l_s) \lt \sum _i l'_i (l_s) \prod _{j \neq i} (l'_j (l_s) + l_j)\)、一部のエリア（面積）たちを複数回加算して。\(l_s \leq 1\)と仮定して（それを私たちは自由にできる）、\(\sum _i l'_i (l_s) \prod _{j \neq i} (l'_j (l_s) + l_j) \lt \sum _i l_s \prod _ {j \neq i} (l_s + l_j) \lt l_s \sum _i \prod _ {j \neq i} (1 + l_j)\)。
\(L:= \sum _i \prod _ {j \neq i} (1 + l_j)\)はハイパー長方形の形状にのみ依存するので、私たちは\(l_s\)を\(min (1, \frac{\epsilon}{L})\)と選ぶ、すると、\(e (l_s) \lt l_s L \leq \epsilon\)。
