353: ユークリディアンノルム付きC^\inftyマニフォールド（多様体）上のオープンセット（開集合）からユークリディアンノルム付きC^\inftyマニフォールド（多様体）へのC^1マップ（写像）はリプシッツ条件をローカルに満たす

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ユークリディアンノルム付きC^\inftyマニフォールド（多様体）上のオープンセット（開集合）からユークリディアンノルム付きC^\inftyマニフォールド（多様体）へのC^1マップ（写像）はリプシッツ条件をローカルに満たすことの記述/証明

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話題

About: ユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ノルム付きユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、ノルム付きスペース（空間）間マップ（写像）のデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
• 読者は、任意のユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）から任意のユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）への任意の微分可能ファンクション（関数）に対する平均値の定理を認めている。
• 読者は、ハイネ-ボレル定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限ってを認めている。
• 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上の任意のオープンセット（開集合）から任意のユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）への任意の$C^1$マップ（写像）は、任意のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）で元のオープンセット（開集合）内に含まれているものの中でリプシッツ条件を満たしているという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）${\mathbb{R}}^{d_1}$、任意のオープンセット（開集合）$U\subset {\mathbb{R}}^{d_1}$、任意のユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）${\mathbb{R}}^{d_2}$に対して、任意の$C^1$マップ（写像）$U\to {\mathbb{R}}^{d_2}$は、任意のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）$U^{\prime }\subseteq U$でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）で$U$内に含まれているもの上でリプシッツ条件を満たす、つまり、以下を満たすあるコンスタントLがある、つまり、任意のポイントたち$p_1,p_2\in U^{\prime }$に対して、$\Vert f(p_2)-f(p_1)\Vert \le L\Vert p_2-p_1\Vert$。

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2: 証明

$U^{\prime }$上で、任意のユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）から任意のユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）への任意の微分可能ファンクション（関数）に対する平均値の定理によって、$\Vert f(p_2)-f(p_1)\Vert \le \Vert Df(p_3)\Vert \Vert p_2-p_1\Vert$、ここで、$p_3$は$p_1$から$p_2$への線分上のあるポイントであり、$\Vert Df(p_3)\Vert$はヤコビアンのマトリックスノルム（ベクトルノルムによって導出された）である。各マトリックス要素は、コンティヌアス（連続）であるので、$U^{\prime }$のクロージャー（閉包）上で最小および最大を持つ、なぜなら、バウンデッド（有界）クローズドセット（閉集合）はコンパクトである、ハイネ-ボレル定理および任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題によって、したがって、$U^{\prime }$上で各マトリックス要素は有限下限および有限上限を持つ、したがって、マトリックスノルムは有限上限Lを持つ。したがって、$\Vert f(p_2)-f(p_1)\Vert \le L\Vert p_2-p_1\Vert$。

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参考資料

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