355: ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）上のエリア（面積）はハイパー正方形たちのみを使って測れる、ハイパー長方形たちの代わりに

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ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）上のエリア（面積）はハイパー正方形たちのみを使って測れる、ハイパー長方形たちの代わりに、ことの記述/証明

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話題

About: ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）
About: メジャー（測度）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証拠

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開始コンテキスト

• 読者は、任意のハイパー長方形のエリア（面積）は、カバーする有限数ハイパー正方形たちのエリア（面積）で任意の精度で近似できるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の${\mathbb{R}}^n$ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）上の 任意のエリア（面積）はハイパー正方形たちのみを使って測れる、ハイパー長方形たちの代わりにという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の${\mathbb{R}}^n$ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）上の任意のエリア（面積）$a$に対して、$a$はハイパー正方形たちを使って測ることができる。

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2: 証拠

測度論によるエリア（面積）の通常の定義によると、任意の実数$ϵ>0$に対して、当該エリアをカバーする、以下を満たす、ある可算個ディスジョイント（互いに素）なハーフオープン（半開）インターバル（区間）たち（ハイパー長方形たち）$\{R_i\}$がある、つまり、$m(R_i)-a<ϵ$、ここで、$m(\bullet )$ は引数のメジャー（測度）を意味する。

任意のハイパー長方形のエリア（面積）は、カバーする有限数ハイパー正方形たちのエリア（面積）で任意の精度で近似できるという命題によって、ある、カバーする有限数ハイパー正方形たち$\{S_{i_j}\}$を以下を満たすように選べる、つまり、$\sum _{j}m(S_{i_j})-m(R_i)<\frac{1}{k}m(R_i)$、ここで、$k$ は任意の自然数。

すると、$\sum _i(\sum _{j}m(S_{i_j}))-a<\sum _i(m(R_i)+\frac{1}{k}m(R_i))-a=\sum _i\frac{k+1}{k}m(R_i)-a=\frac{k+1}{k}\sum _{i}m(R_i)-a<\frac{k+1}{k}(a+ϵ)-a$。私たちは$k$および$ϵ$を以下を満たすように選びたい、つまり、任意の${ϵ}^{\prime }$に対して、$\frac{k+1}{k}(a+ϵ)-a\le {ϵ}^{\prime }$. $\frac{1}{k}a+\frac{k+1}{k}ϵ\le {ϵ}^{\prime }$; 私たちは以下のように選ぶ$\frac{1}{k}a\le \frac{{ϵ}^{\prime }}{2}$および$\frac{k+1}{k}ϵ\le \frac{{ϵ}^{\prime }}{2}$、それは可能である、$k\ge \frac{2a}{{ϵ}^{\prime }}$および$ϵ\le \frac{k}{k+1}\frac{{ϵ}^{\prime }}{2}$によって。

それらハイパー正方形たちは可算である、なぜなら、それらを、例えば、$S_{i_j}$に対して、まず$i+j$、次に$i$という順でカウントできるから、$S_{1_1},S_{1_2},S_{2_1},S_{1_3},S_{2_2},S_{3_1},...$のように。

したがって、任意の実数${ϵ}^{\prime }>0$に対して、以下を満たす、ある可算数ハイパー正方形たち$S_{i_j}$がある、つまり、$\sum _i\sum _j{S}_{i_j}-a<{ϵ}^{\prime }$。

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参考資料

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