ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）上のエリア（面積）はハイパー正方形たちのみを使って測れる、ハイパー長方形たちの代わりに、ことの記述/証明
話題
About: ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）
About: メジャー（測度）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(\mathbb{R}^n\)ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）上の 任意のエリア（面積）はハイパー正方形たちのみを使って測れる、ハイパー長方形たちの代わりにという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(\mathbb{R}^n\)ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）上の任意のエリア（面積）\(a\)に対して、\(a\)はハイパー正方形たちを使って測ることができる。
2: 証拠
測度論によるエリア（面積）の通常の定義によると、任意の実数\(\epsilon \gt 0\)に対して、当該エリアをカバーする、以下を満たす、ある可算個ディスジョイント（互いに素）なハーフオープン（半開）インターバル（区間）たち（ハイパー長方形たち）\(\{R_i\}\)がある、つまり、\(m (R_i) - a \lt \epsilon\)、ここで、\(m (\bullet)\) は引数のメジャー（測度）を意味する。
任意のハイパー長方形のエリア（面積）は、カバーする有限数ハイパー正方形たちのエリア（面積）で任意の精度で近似できるという命題によって、ある、カバーする有限数ハイパー正方形たち\(\{S_{i_j}\}\)を以下を満たすように選べる、つまり、\(\sum _j m (S_{i_j}) - m (R_i) \lt \frac{1}{k} m (R_i)\)、ここで、\(k\) は任意の自然数。
すると、\(\sum _i (\sum _j m (S_{i_j})) - a \lt \sum _i (m (R_i) + \frac{1}{k} m (R_i)) - a = \sum _i \frac{k + 1}{k} m (R_i) - a = \frac{k + 1}{k} \sum _i m (R_i) - a \lt \frac{k + 1}{k} (a + \epsilon) - a\)。私たちは\(k\)および\(\epsilon\)を以下を満たすように選びたい、つまり、任意の\(\epsilon'\)に対して、\(\frac{k + 1}{k} (a + \epsilon) - a \leq \epsilon'\). \(\frac{1}{k} a + \frac{k + 1}{k} \epsilon \leq \epsilon'\); 私たちは以下のように選ぶ\(\frac{1}{k} a \leq \frac{\epsilon'}{2}\)および\(\frac{k + 1}{k} \epsilon \leq \frac{\epsilon'}{2}\)、それは可能である、\(k \geq \frac{2a}{\epsilon'}\)および\(\epsilon \leq \frac{k}{k + 1}\frac{\epsilon'}{2}\)によって。
それらハイパー正方形たちは可算である、なぜなら、それらを、例えば、\({S_{i_j}}\)に対して、まず\(i + j\)、次に\(i\)という順でカウントできるから、\(S_{1_1}, S_{1_2}, S_{2_1}, S_{1_3}, S_{2_2}, S_{3_1}, . . .\)のように。
したがって、任意の実数\(\epsilon' \gt 0\)に対して、以下を満たす、ある可算数ハイパー正方形たち\({S_{i_j}}\)がある、つまり、\(\sum _i \sum _j S_{i_j} - a \lt \epsilon'\)。
