356: メジャー（測度）0サブセット（部分集合）の、ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）から同次元またはより高次元ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）へのリプシッツ条件を満たすマップ（写像）イメージ（像）はメジャー（測度）0である

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メジャー（測度）0サブセット（部分集合）の、ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）から同次元またはより高次元ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）へのリプシッツ条件を満たすマップ（写像）イメージ（像）はメジャー（測度）0であることの記述/証明

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話題

About: ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）
About: メジャー（測度）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。

• 読者は、リプシッツ条件の定義を知っている。

• 読者は、メジャー（測度）の定義を知っている。

• 読者は、任意の${\mathbb{R}}^n$ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）上の 任意のエリア（面積）はハイパー正方形たちのみを使って測れる、ハイパー長方形たちの代わりにという命題を認めている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のメジャー（測度）0サブセット（部分集合）の、任意のユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）から同次元またはより高次元ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）へのリプシッツ条件を満たす任意のマップ（写像）下のイメージ（像）はメジャー（測度）0であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）たちにカノニカル（標準）メトリックたちが付いたもの${\mathbb{R}}^n$および${\mathbb{R}}^m$、ここで、$n\le m$、任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq {\mathbb{R}}^n$、任意のリプシッツ条件を満たすマップ（写像）$f:U\to {\mathbb{R}}^m$、任意の測度0サブセット（部分集合）$S\subseteq U$に対して、$S$の$f$下のイメージ（像）$f(S)$はメジャー（測度）$0$である。

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2: 証明

$f$はリプシッツ条件を満たすので、以下を満たすあるコンスタント$L$がある、つまり、任意のポイントたち$p_1,p_2\in U$に対して、$\Vert f(p_2)-f(p_1)\Vert \le L\Vert p_2-p_1\Vert$。$S$はメジャー（測度）0であるので, 任意の${\mathbb{R}}^n$ユークリディアンメトリックスペース（計量空間）上の 任意のエリア（面積）はハイパー正方形たちのみを使って測れる、ハイパー長方形たちの代わりにという命題によって、任意の実数$ϵ>0$に対して、ある可算ディスジョイント（互いに素）ハーフオープンハイパー正方形たち$\{I_i\}$があり、$S\subseteq {\cup }_i{I}_i,\sum _{i}m(I_i)<ϵ$、ここで、$m(\bullet )$は引数のメジャー（測度）。$f(S)\subseteq f({\cup }_i{I}_i)={\cup }_{i}f(I_i)$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、したがって、$m(f(S))\le \sum _{i}m(f(I_i))$。任意のポイントたち$p_1,p_2\in I_i$に対して、$\Vert p_2-p_1\Vert <\sqrt{n{l_i}^2}$、ここで、$l_i$はハイパー正方形の辺長、したがって、$\Vert f(p_2)-f(p_1)\Vert \le L\Vert p_2-p_1\Vert <L\sqrt{n{l_i}^2}$、したがって、$f(I_i)$は、ある$2L\sqrt{n{l_i}^2}$辺長ハイパー正方形にとても安全に含まれている（より小さな可能なハイパー正方形があるという意味）、したがって、$m(f(I_i))<(2L\sqrt{n{l_i}^2}{)}^m$。$\sum _{i}m(f(I_i))<\sum _i(2L\sqrt{n{l_i}^2}{)}^m=(2L\sqrt{n}{)}^m\sum _i{l_i}^m$、しかし、$m(I_i)={l_i}^n$であるので、$\sum _{i}m(f(I_i))<(2L\sqrt{n}{)}^m\sum _i(m(I_i){)}^{m/n}$。任意の十分に小さな$ϵ$に対して、$m(I_i)<1$、したがって、$m/n\ge 1$、$(m(I_i){)}^{m/n}\le m(I_i)$、したがって、$\sum _i(m(I_i){)}^{m/n}<ϵ$、したがって、$\sum _{i}m(f(I_i))<(2L\sqrt{n}{)}^mϵ$。任意の実数${ϵ}^{\prime }>0$に対して、$ϵ$を以下を満たすように選べる、つまり、${ϵ}^{\prime }>(2L\sqrt{n}{)}^mϵ$、すると、$\sum _{i}m(f(I_i))<{ϵ}^{\prime }$、したがって、$m(f(S))<{ϵ}^{\prime }$。

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3: 注

$m<n$の場合、本命題は成立しない。反例として、$n=3,m=2$で、${\mathbb{R}}^2$は${\mathbb{R}}^3$中の$z=0$平面、$U={\mathbb{R}}^3$、$f$はプロジェクション（射影）とする。$f$は$L=1$でリプシッツ条件を満たす。$z=0$平面上のある正方形は${\mathbb{R}}^3$上でメジャー（測度）$0$であり、その$f$下イメージ（像）は${\mathbb{R}}^2$上で同一正方形であり、そのメジャー（測度）は${\mathbb{R}}^2$上で$0$でない。

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参考資料

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