コーディネイト（座標）トポロジーたちを持つトポロジカルスペース（空間）たち間の'リアル（実）ベクトルスペース（空間）たち-リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）はホメオモーフィック（位相同形写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）に基づいたコーディネイト（座標）スペース（空間）のユークリディアントポロジーによって定義されたトポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しないという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間マップ（写像）に対して、その、トポロジー上の意味におけるコンティヌアス（連続）性は、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちのノルム上の意味におけるコンティヌアス（連続）性と同等であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2つの有限次元ベクトルスペース（空間）トポロジカルスペース（空間）たち（コーディネイト（座標）ベースのトポロジーを持った）に対して、それらの間の任意の'リアル（実）ベクトルスペース（空間）たち-リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）たち\(V_1\)および\(V_2\)で、コーディネイト（座標）スペース（空間）たちのユークリディアントポロジーたちによって定義されたトポロジーたちでもって、トポロジカルスペース（空間）たち\(T_1\)および\(T_2\)にされたもの（それらトポロジーたちはベーシス（基底）たちの選択には依存しないことは既に証明されている）に対して、任意の'リアル（実）ベクトルスペース（空間）たち-リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
2: 証明
\(T_1\)および\(T_2\)は、それらのコーディネイト（座標）スペース（空間）たちをチャートオープンセット（開集合）たちとして、自然に\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）である。\(f\)はリニア（線形）であるから、その、\(T_1\)コーディネイト（座標）スペース（空間）から\(T_2\)コーディネイト（座標）スペース（空間）へのコーディネイト（座標）ファンクション（関数）はリニア（線形）である、したがって、ノルムの意味にてコンティヌアス（連続）である。したがって、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間マップ（写像）に対して、その、トポロジー上の意味におけるコンティヌアス（連続）性は、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちのノルム上の意味におけるコンティヌアス（連続）性と同等であるという命題によって、\(f\)はトポロジー上の意味においてコンティヌアス（連続）である。同様に、\(f^{-1}\)はコンティヌアス（連続）である。
