345: コーディネイト（座標）トポロジーたちを持つトポロジカルスペース（空間）たち間の'リアル（実）ベクトルスペース（空間）たち-リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）はホメオモーフィック（位相同形写像）である

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コーディネイト（座標）トポロジーたちを持つトポロジカルスペース（空間）たち間の'リアル（実）ベクトルスペース（空間）たち-リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）はホメオモーフィック（位相同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ベクトルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）に基づいたコーディネイト（座標）スペース（空間）のユークリディアントポロジーによって定義されたトポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しないという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間マップ（写像）に対して、その、トポロジー上の意味におけるコンティヌアス（連続）性は、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちのノルム上の意味におけるコンティヌアス（連続）性と同等であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の2つの有限次元ベクトルスペース（空間）トポロジカルスペース（空間）たち（コーディネイト（座標）ベースのトポロジーを持った）に対して、それらの間の任意の'リアル（実）ベクトルスペース（空間）たち-リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）たち$V_1$および$V_2$で、コーディネイト（座標）スペース（空間）たちのユークリディアントポロジーたちによって定義されたトポロジーたちでもって、トポロジカルスペース（空間）たち$T_1$および$T_2$にされたもの（それらトポロジーたちはベーシス（基底）たちの選択には依存しないことは既に証明されている）に対して、任意の'リアル（実）ベクトルスペース（空間）たち-リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）$f:T_1\to T_2$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。

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2: 証明

$T_1$および$T_2$は、それらのコーディネイト（座標）スペース（空間）たちをチャートオープンセット（開集合）たちとして、自然に$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）である。$f$はリニア（線形）であるから、その、$T_1$コーディネイト（座標）スペース（空間）から$T_2$コーディネイト（座標）スペース（空間）へのコーディネイト（座標）ファンクション（関数）はリニア（線形）である、したがって、ノルムの意味にてコンティヌアス（連続）である。したがって、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間マップ（写像）に対して、その、トポロジー上の意味におけるコンティヌアス（連続）性は、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちのノルム上の意味におけるコンティヌアス（連続）性と同等であるという命題によって、$f$はトポロジー上の意味においてコンティヌアス（連続）である。同様に、$f^{-1}$はコンティヌアス（連続）である。

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参考資料

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