ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）トポロジーでコーディネート（座標）たちスペース（空間）に基づいた定義されたものは、ベーシス（基底）の選択に依存しないことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールドたち間マップ（写像）に対して、そのコンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものは、そのコンティヌアス（連続）性の、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるもの、と同値であることの命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）に基づいたコーディネート（座標）たちスペース（空間）のユークリディアントポロジーによって定義されたトポロジーは、ベーシス（基底）の選択に依存しないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(B\): \(= \{b_1, ..., b_d\} \subseteq V\), \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(B'\): \(= \{b'_1, ..., b'_d\} \subseteq V\), \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(f\): \(: V \to \mathbb{R}^d\), \(v = v^j b_j \mapsto (v^1, ..., v^d)\)
\(f'\): \(: V \to \mathbb{R}^d\), \(v = v'^j b'_j \mapsto (v'^1, ..., v'^d)\)
\(O\): \(= \{U \subseteq V \vert f (U) \in \mathbb{R}^d \text{ のトポロジー }\}\)
\(O'\): \(= \{U \subseteq V \vert f' (U) \in \mathbb{R}^d \text{ のトポロジー }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(O = O'\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f' = \phi \circ f\)であることを見る、ここで、\(\phi: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\)は当該コーディネート（座標）たちトランジション（遷移）マップ（写像）、\(\phi\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f\)はバイジェクション（全単射）である。
\(f'\)はバイジェクション（全単射）である。
\(f' = \phi \circ f\)、ここで、\(\phi: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\)は当該バイジェクティブ（全単射）コーディネート（座標）たちトランジション（遷移）マップ（写像）、ここで、以下を満たすコンスタントインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）、つまり、\(\phi: (r^1, ..., r^d)^t \mapsto (M^1_j r^j, ..., M^d_j r^j)\)、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
\(\mathbb{R}^d\)に、ユークリディアンアトラスを持たせ、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）としよう。
\(\phi\)に対するフォーミュラは、\(\phi\)はコーディネート（座標）たちファンクション（関数）に対するノルムの意味においてコンティニュアス（連続）であることを意味する。
したがって、任意の\(C^\infty\)マニフォールドたち間マップ（写像）に対して、そのコンティヌアス（連続）性の、トポロジー上の意味におけるものは、そのコンティヌアス（連続）性の、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちに対するノルムの意味におけるもの、と同値であることの命題によって、\(\phi\)はトポロジーの意味においてコンティニュアス（連続）である。
\(\phi^{-1}: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, (r^1, ..., r^d) \mapsto ({M^{-1}}^1_j r^j, ..., {M^{-1}}^d_j r^j)\)。
したがって、\(\phi^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である、同様に。
したがって、\(\phi\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
ステップ2:
したがって、各\(U \in O\)に対して、\(f' (U) = \phi \circ f (U) \subseteq \mathbb{R}^d\)はオープン（開）である、なぜなら、\(f (U) \subseteq \mathbb{R}^d\)はオープン（開）であり、\(\phi\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
それが意味するのは、\(U \in O'\)。
対称性によって、各\(U' \in O'\)に対して、\(U' \in O\)。
したがって、\(O = O'\)。
