有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）の、コーディネイト（座標）スペース（空間）に基づいて定義されたトポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しないことの記述/証明
話題
About: ベクトルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）に基づいたコーディネイト（座標）スペース（空間）のユークリディアントポロジーによって定義されたトポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）\(V\)、任意のベーシス（基底）\((b_1, b_2, . . ., b_d)\)、当該ベーシス（基底）に基づいたコーディネイト（座標）スペース（空間）のユークリディアントポロジーによって定義されたトポロジー\(T\)に対して、当該トポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しない。
2: 証明
Vから当該コーディネイト（座標）スペース（空間）へのマップ（写像）はバイジェクション（全単射）\(f: V \rightarrow \mathbb{R}^d\)である。任意の他のベーシス（基底）\((b'_1, b'_2, . . ., b'_d)\)に対して、\(V\)からそのコーディネイト（座標）スペース（空間）へのマップ（写像）はバイジェクション（全単射）\(f': V \rightarrow \mathbb{R}^d = \phi \circ f\)、ここで、\(\phi\)はバイジェクティブ（全単射）コーディネイト（座標）トランジション（移行）マップ（写像）\(\phi: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d\)、である。それらコーディネイト（座標）スペース（空間）たちにはユークリディアントポロジーたちおよびユークリディアンアトラス（座標近傍系）たちが与えられ、\(V\)にはそれらユークリディアントポロジーたちに基づいてトポロジーたち\(T\)および\(T'\)が与えられるが、それが意味するのは、\(V\)の任意のサブセット（部分集合）がオープン（開）であるのは、もしも、当該コーディネイト（座標）スペース（空間）の対応するサブセット（部分集合）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってであるということ。
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間マップ（写像）に対して、その、トポロジー上の意味におけるコンティヌアス（連続）性は、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちのノルム上の意味におけるコンティヌアス（連続）性と同等であるという命題によって、\(\phi\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、その、および、そのインバース（逆）のコーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちは、リニア（線形）でありコンティヌアス（連続）であるから。したがって、それらコーディネイト（座標）スペース（空間）たちの内の1つの中の任意のオープンセット（開集合）は、他方の中のあるオープンセット（開集合）に対応する、したがって、\(T\)上でオープン（開）であるものはすべて\(T'\)上でオープン（開）であり、逆も成り立つ。,
