ファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)リアル(実)ベクトルたちスペース(空間)トポロジーでコーディネート(座標)たちスペース(空間)に基づいた定義されたものは、ベーシス(基底)の選択に依存しないことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース(空間)
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)リアル(実)ベクトルたちスペース(空間)に対するカノニカル(自然な)トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)ベクトルたちスペース(空間)に対して、ベーシス(基底)たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション(遷移)はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールドたち間マップ(写像)に対して、そのコンティヌアス(連続)性の、トポロジー上の意味におけるものは、そのコンティヌアス(連続)性の、コーディネイト(座標)ファンクション(関数)たちに対するノルムの意味におけるもの、と同値であることの命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)リアル(実)ベクトルたちスペース(空間)に対して、任意のベーシス(基底)に基づいたコーディネート(座標)たちスペース(空間)のユークリディアントポロジーによって定義されたトポロジーは、ベーシス(基底)の選択に依存しないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ(実体)たち:
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル(次元)リアル(実)ベクトルたちスペース(空間)たち }\}\)
\(B\): \(= \{b_1, ..., b_d\} \subseteq V\), \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス(基底)たち }\}\)
\(B'\): \(= \{b'_1, ..., b'_d\} \subseteq V\), \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス(基底)たち }\}\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース(空間) }\)
\(f\): \(: V \to \mathbb{R}^d\), \(v = v^j b_j \mapsto (v^1, ..., v^d)\)
\(f'\): \(: V \to \mathbb{R}^d\), \(v = v'^j b'_j \mapsto (v'^1, ..., v'^d)\)
\(O\): \(= \{U \subseteq V \vert f (U) \in \mathbb{R}^d \text{ のトポロジー }\}\)
\(O'\): \(= \{U \subseteq V \vert f' (U) \in \mathbb{R}^d \text{ のトポロジー }\}\)
//
ステートメント(言明)たち:
\(O = O'\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f' = \phi \circ f\)であることを見る、ここで、\(\phi: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\)は当該コーディネート(座標)たちトランジション(遷移)マップ(写像)、\(\phi\)はホメオモーフィズム(位相同形写像)であることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f\)はバイジェクション(全単射)である。
\(f'\)はバイジェクション(全単射)である。
\(f' = \phi \circ f\)、ここで、\(\phi: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d\)は当該バイジェクティブ(全単射)コーディネート(座標)たちトランジション(遷移)マップ(写像)、ここで、以下を満たすコンスタントインバーティブル(可逆)マトリックス(行列)、つまり、\(\phi: (r^1, ..., r^d)^t \mapsto (M^1_j r^j, ..., M^d_j r^j)\)、任意のファイナイト(有限)-ディメンショナル(次元)ベクトルたちスペース(空間)に対して、ベーシス(基底)たちの任意の変更に関する任意のベクトルのコンポーネントたちのトランジション(遷移)はこれであるという命題によって。
\(\mathbb{R}^d\)に、ユークリディアンアトラスを持たせ、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)としよう。
\(\phi\)に対するフォーミュラは、\(\phi\)はコーディネート(座標)たちファンクション(関数)に対するノルムの意味においてコンティニュアス(連続)であることを意味する。
したがって、任意の\(C^\infty\)マニフォールドたち間マップ(写像)に対して、そのコンティヌアス(連続)性の、トポロジー上の意味におけるものは、そのコンティヌアス(連続)性の、コーディネイト(座標)ファンクション(関数)たちに対するノルムの意味におけるもの、と同値であることの命題によって、\(\phi\)はトポロジーの意味においてコンティニュアス(連続)である。
\(\phi^{-1}: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, (r^1, ..., r^d) \mapsto ({M^{-1}}^1_j r^j, ..., {M^{-1}}^d_j r^j)\)。
したがって、\(\phi^{-1}\)はコンティニュアス(連続)である、同様に。
したがって、\(\phi\)はホメオモーフィズム(位相同形写像)である。
ステップ2:
したがって、各\(U \in O\)に対して、\(f' (U) = \phi \circ f (U) \subseteq \mathbb{R}^d\)はオープン(開)である、なぜなら、\(f (U) \subseteq \mathbb{R}^d\)はオープン(開)であり、\(\phi\)はホメオモーフィズム(位相同形写像)である。
それが意味するのは、\(U \in O'\)。
対称性によって、各\(U' \in O'\)に対して、\(U' \in O\)。
したがって、\(O = O'\)。