344: 有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）の、コーディネイト（座標）スペース（空間）に基づいて定義されたトポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しない

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有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）の、コーディネイト（座標）スペース（空間）に基づいて定義されたトポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しないことの記述/証明

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話題

About: ベクトルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ベクトルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間マップ（写像）に対して、その、トポロジー上の意味におけるコンティヌアス（連続）性は、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちのノルム上の意味におけるコンティヌアス（連続）性と同等であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）に基づいたコーディネイト（座標）スペース（空間）のユークリディアントポロジーによって定義されたトポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しないという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の有限次元リアル（実）ベクトルスペース（空間）$V$、任意のベーシス（基底）$(b_1,b_2,...,b_d)$、当該ベーシス（基底）に基づいたコーディネイト（座標）スペース（空間）のユークリディアントポロジーによって定義されたトポロジー$T$に対して、当該トポロジーはベーシス（基底）の選択に依存しない。

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2: 証明

Vから当該コーディネイト（座標）スペース（空間）へのマップ（写像）はバイジェクション（全単射）$f:V\to {\mathbb{R}}^d$である。任意の他のベーシス（基底）$(b_1^{\prime },b_2^{\prime },...,b_d^{\prime })$に対して、$V$からそのコーディネイト（座標）スペース（空間）へのマップ（写像）はバイジェクション（全単射）$f^{\prime }:V\to {\mathbb{R}}^d=\varphi \circ f$、ここで、$\varphi$はバイジェクティブ（全単射）コーディネイト（座標）トランジション（移行）マップ（写像）$\varphi :{\mathbb{R}}^d\to {\mathbb{R}}^d$、である。それらコーディネイト（座標）スペース（空間）たちにはユークリディアントポロジーたちおよびユークリディアンアトラス（座標近傍系）たちが与えられ、$V$にはそれらユークリディアントポロジーたちに基づいてトポロジーたち$T$および$T^{\prime }$が与えられるが、それが意味するのは、$V$の任意のサブセット（部分集合）がオープン（開）であるのは、もしも、当該コーディネイト（座標）スペース（空間）の対応するサブセット（部分集合）がオープン（開）である場合、そしてその場合に限ってであるということ。

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間マップ（写像）に対して、その、トポロジー上の意味におけるコンティヌアス（連続）性は、コーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちのノルム上の意味におけるコンティヌアス（連続）性と同等であるという命題によって、$\varphi$はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、その、および、そのインバース（逆）のコーディネイト（座標）ファンクション（関数）たちは、リニア（線形）でありコンティヌアス（連続）であるから。したがって、それらコーディネイト（座標）スペース（空間）たちの内の1つの中の任意のオープンセット（開集合）は、他方の中のあるオープンセット（開集合）に対応する、したがって、$T$上でオープン（開）であるものはすべて$T^{\prime }$上でオープン（開）であり、逆も成り立つ。,

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参考資料

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