コンパクトトポロジカルスペース（空間）のクローズド（閉）ディスクリート（離散）サブスペース（部分空間）は有限数ポイントたちのみを持つことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ディスクリート（離散）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）は、無限数ポイントたちを持つ任意のサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、それはそれ自身のクロージャー（閉包）に等しい場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）と、当該サブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）たちの集合の、ユニオン（和集合）に等しいという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズド（閉）ディスクリート（離散）サブスペース（部分空間）は有限数ポイントのみを持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）および\(T\)および任意のクローズド（閉）ディスクリート（離散）サブスペース（部分空間）\(S \subseteq T\)に対して、\(S\)は有限数ポイントたちのみを持つ。
2: 証明
\(S\) は無限数ポイントたちを持つと仮定する。任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）は、無限数ポイントたちを持つ任意のサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）を持つという命題によって、\(T\)は\(S\)のあるアキュームレーションポイント（集積点）\(p \in T\)を持つことになる。しかし、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、それはそれ自身のクロージャー（閉包）に等しい場合、そしてその場合に限ってという命題によって、\(S = \overline{S}\)、しかし、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）と、当該サブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）たちの集合の、ユニオン（和集合）に等しいという命題によって、当該アキュームレーションポイント（集積点）は\(S\)に含まれることになるが、それは不可能である、なぜなら、\(S\)はディスクリート（離散）だから、各ポイントはオープン（開）である、したがって、当該アキュームレーションポイント（集積点）もそれ自体だけでオープンセット（開集合）であることになるが、それはアキュームレーションポイント（集積点）の定義に反している、矛盾。
