363: コンパクトトポロジカルスペース（空間）のクローズド（閉）ディスクリート（離散）サブスペース（部分空間）は有限数ポイントたちのみを持つ

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コンパクトトポロジカルスペース（空間）のクローズド（閉）ディスクリート（離散）サブスペース（部分空間）は有限数ポイントたちのみを持つことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、ディスクリート（離散）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）は、無限数ポイントたちを持つ任意のサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）を持つという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、それはそれ自身のクロージャー（閉包）に等しい場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）と、当該サブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）たちの集合の、ユニオン（和集合）に等しいという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズド（閉）ディスクリート（離散）サブスペース（部分空間）は有限数ポイントのみを持つという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）および$T$および任意のクローズド（閉）ディスクリート（離散）サブスペース（部分空間）$S\subseteq T$に対して、$S$は有限数ポイントたちのみを持つ。

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2: 証明

$S$ は無限数ポイントたちを持つと仮定する。任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）は、無限数ポイントたちを持つ任意のサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）を持つという命題によって、$T$は$S$のあるアキュームレーションポイント（集積点）$p\in T$を持つことになる。しかし、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、それはそれ自身のクロージャー（閉包）に等しい場合、そしてその場合に限ってという命題によって、$S=\bar{S}$、しかし、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）と、当該サブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）たちの集合の、ユニオン（和集合）に等しいという命題によって、当該アキュームレーションポイント（集積点）は$S$に含まれることになるが、それは不可能である、なぜなら、$S$はディスクリート（離散）だから、各ポイントはオープン（開）である、したがって、当該アキュームレーションポイント（集積点）もそれ自体だけでオープンセット（開集合）であることになるが、それはアキュームレーションポイント（集積点）の定義に反している、矛盾。

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参考資料

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