362: コンパクトトポロジカルスペース（空間）は、無限数ポイントたちを持つサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）を持つ

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コンパクトトポロジカルスペース（空間）は、無限数ポイントたちを持つサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）を持つことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、アキュームレーションポイント（集積点）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）は、無限数ポイントたちを持つ任意のサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）を持つという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）$T$および無限数ポイントたちを持つ任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、$T$は$S$のアキュームレーションポイント（集積点）$p^{\prime }\in T$を持つ。

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2: 証明

$T$は$S$のアキュームレーションポイントを1つも持っていないと仮定する。すると、各ポイント$p\in T$の周りに、以下を満たすあるオープンセット（開集合）$p\in U_p\subseteq T$、つまり、$U_p\cap S=\mathrm{\varnothing }\text{ or }p$があることになる。そうしたオープンセット（開集合）たちは$T$のオープンカバー（開被覆）を構成することになるが、それはある有限数サブカバーを持つことになる。各オープンセット（開集合）は$S$の多くても1ポイントのみを持つことになるので、$S$は有限数ポイントたちのみを持つことになるが、それは矛盾である。

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参考資料

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