コンパクトトポロジカルスペース（空間）は、無限数ポイントたちを持つサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）を持つことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、アキュームレーションポイント（集積点）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）は、無限数ポイントたちを持つ任意のサブセット（部分集合）のアキュームレーションポイント（集積点）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）\(T\)および無限数ポイントたちを持つ任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、\(T\)は\(S\)のアキュームレーションポイント（集積点）\(p' \in T\)を持つ。
2: 証明
\(T\)は\(S\)のアキュームレーションポイントを1つも持っていないと仮定する。すると、各ポイント\(p \in T\)の周りに、以下を満たすあるオープンセット（開集合）\(p \in U_p \subseteq T\)、つまり、\(U_p \cap S = \emptyset \text{ or } {p}\)があることになる。そうしたオープンセット（開集合）たちは\(T\)のオープンカバー（開被覆）を構成することになるが、それはある有限数サブカバーを持つことになる。各オープンセット（開集合）は\(S\)の多くても1ポイントのみを持つことになるので、\(S\)は有限数ポイントたちのみを持つことになるが、それは矛盾である。
