153: ダイレクテッドセット（有向集合）

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ダイレクテッドセット（有向集合）の定義

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 定義
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、リレーション（関係）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ダイレクテッドセット（有向集合）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 定義

任意のセット（集合）$S$に、$S$上の以下を満たす任意のリレーション（関係）$\le$、つまり、1) あらゆる$p\in S$に対して$p\le p$; 2) もしも、$p_1\le p_2$および$p_2\le p_3$であれば、$p_1\le p_3$; 3) あらゆるペア$p_1,p_2\in S$に対して、以下を満たすある$p_3\in S$、つまり、$p_1\le p_3$および$p_2\le p_3$、がある、を付けたもの

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2: 注

当該リレーション（関係）はパーシャル（部分的）であってよい: あるペア$p_1,p_2\in S$は関係づけられていないかもしれない。

例として、あるユークリディアントポロジカルスペース（空間）上のトポロジー（それは、全てのオープンセット（開集合）たちのセット（集合）である）に、以下を満たすリレーション（関係）、つまり、$U_{\alpha }\le U_{\beta }$ であるのは、もしも、$U_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$である場合、そしてその場合に限って、を付けたものは、ダイレクテッドセット（有向集合）である、しかし、当該リレーション（関係）はパーシャル（部分的）である。それがダイレクテッドセット（有向集合）であるという理由は、1) $U_{\alpha }\subseteq U_{\alpha }$; 2) もしも、$U_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$および$U_{\gamma }\subseteq U_{\beta }$であれば、$U_{\gamma }\subseteq U_{\alpha }$; 3) $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$および$U_{\alpha }\cap U_{\beta }\subseteq U_{\beta }$。しかし、当該リレーション（関係）はパーシャル（部分的）である、なぜなら、以下を満たす2つのオープンセット（開集合）たち、つまり、$U_{\beta }\subseteq U_{\alpha }$でも$U_{\alpha }\subseteq U_{\beta }$でもない、例えば、2つのディスジョイント（互いに素な）オープンセット（開集合）たち、がある。

ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）（それが$0$を含もうが含むまいが）にカノニカル（自然な）リレーション（関係）を付けたものはダイレクテッドセット（有向集合）である。

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参考資料

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