ダイレクテッドセット（有向集合）の定義
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、リレーション（関係）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ダイレクテッドセット（有向集合）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 定義
任意のセット（集合）\(S\)に、\(S\)上の以下を満たす任意のリレーション（関係）\(\leq\)、つまり、1) あらゆる\(p \in S\)に対して\(p \leq p\); 2) もしも、\(p_1 \leq p_2\)および\(p_2 \leq p_3\)であれば、\(p_1 \leq p_3\); 3) あらゆるペア\(p_1, p_2 \in S\)に対して、以下を満たすある\(p_3 \in S\)、つまり、\(p_1 \leq p_3\)および\(p_2 \leq p_3\)、がある、を付けたもの
2: 注
当該リレーション（関係）はパーシャル（部分的）であってよい: あるペア\(p_1, p_2 \in S\)は関係づけられていないかもしれない。
例として、あるユークリディアントポロジカルスペース（空間）上のトポロジー（それは、全てのオープンセット（開集合）たちのセット（集合）である）に、以下を満たすリレーション（関係）、つまり、\(U_\alpha \leq U_\beta\) であるのは、もしも、\(U_\beta \subseteq U_\alpha\)である場合、そしてその場合に限って、を付けたものは、ダイレクテッドセット（有向集合）である、しかし、当該リレーション（関係）はパーシャル（部分的）である。それがダイレクテッドセット（有向集合）であるという理由は、1) \(U_\alpha \subseteq U_\alpha\); 2) もしも、\(U_\beta \subseteq U_\alpha\)および\(U_\gamma \subseteq U_\beta\)であれば、\(U_\gamma \subseteq U_\alpha\); 3) \(U_\alpha \cap U_\beta \subseteq U_\alpha\)および\(U_\alpha \cap U_\beta \subseteq U_\beta\)。しかし、当該リレーション（関係）はパーシャル（部分的）である、なぜなら、以下を満たす2つのオープンセット（開集合）たち、つまり、\(U_\beta \subseteq U_\alpha\)でも\(U_\alpha \subseteq U_\beta\)でもない、例えば、2つのディスジョイント（互いに素な）オープンセット（開集合）たち、がある。
ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）（それが\(0\)を含もうが含むまいが）にカノニカル（自然な）リレーション（関係）を付けたものはダイレクテッドセット（有向集合）である。
