371: メトリックスペース（計量空間）に対して、2ポイントたちのサブセット（部分集合）からの距離たちの差はポイントたち間の距離に等しいかそれより小さい

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メトリックスペース（計量空間）に対して、2ポイントたちのサブセット（部分集合）からの距離たちの差はポイントたち間の距離に等しいかそれより小さいことの記述/証明

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話題

About: メトリックスペース（計量空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、メトリックスペース（計量空間）の定義を知っている。
• 読者は、メトリックスペース（計量空間）上の、2ポイントたち間の距離の定義を知っている。
• 読者は、メトリックスペース（計量空間）上の、ポイントとサブセット（部分集合）間の距離の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のメトリックスペース（計量空間）、任意のサブセット（部分集合）、任意の2ポイントたちに対して、ポイントたちのサブセット（部分集合）からの距離たちの差はポイントたち間の距離に等しいかそれよりも小さいという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のメトリックスペース（計量空間）$M$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq M$、任意のポイントたち$p_1,p_2\in M$に対して、$|d(p_1,S)-d(p_2,S)|\le d(p_1,p_2)$、ここで、$d(\bullet ,\bullet )$は引数たち間の距離を表わす。

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2: 証明

$p_1,p_2\notin S$だと仮定する。任意のポイント$p_2^{\prime }\in S$を取る。2ポイント間の距離の定義により、$d(p_1,p_2^{\prime })\le d(p_1,p_2)+d(p_2,p_2^{\prime })$。ポイントとサブセット（部分集合）間の距離の定義により、$d(p_1,S)\le d(p_1,p_2^{\prime })$および$d(p_2,p_2^{\prime })=d(p_2,S)+ϵ$、ここで、$ϵ\ge 0$は任意の小さな正値にできる。したがって、$d(p_1,S)\le d(p_1,p_2)+d(p_2,S)+ϵ$。$ϵ\to 0$によるリミット（極値）を取って、$d(p_1,S)\le d(p_1,p_2)+d(p_2,S)$、したがって、$d(p_1,S)-d(p_2,S)\le d(p_1,p_2)$。シンメトリック性によって、$d(p_2,S)-d(p_1,S)\le d(p_1,p_2)$でもある、したがって、$|d(p_1,S)-d(p_2,S)|\le d(p_1,p_2)$。

$p_1\notin S$および$p_2\in S$だと仮定する。ポイントとサブセット（部分集合）間の距離の定義によって、$d(p_1,S)\le d(p_1,p_2)$。$d(p_2,S)=0$なので、$d(p_1,S)-d(p_2,S)\le d(p_1,p_2)$。左辺は非負なので、$|d(p_1,S)-d(p_2,S)|\le d(p_1,p_2)$。

$p_1\in S$および$p_2\notin S$だと仮定する。シンメトリック性によいって、$|d(p_2,S)-d(p_1,S)|\le d(p_2,p_1)$、それが意味するのは、$|d(p_1,S)-d(p_2,S)|\le d(p_1,p_2)$。

$p_1,p_2\in S$だと仮定する。$d(p_1,S)=d(p_2,S)=0$であるから、$|d(p_1,S)-d(p_2,S)|\le d(p_1,p_2)$。

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参考資料

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