370: アイデンティティ（恒等）マップ（写像）でドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）が別のトポロジーたちを持っているものはコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）がコドメイン（余域）より密である場合、そしてその場合に限って

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アイデンティティ（恒等）マップ（写像）でドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）が別のトポロジーたちを持っているものはコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）がコドメイン（余域）より密である場合、そしてその場合に限ってであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、より密なおよびより粗なトポロジーの定義を知っている。
• 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のアイデンティティ（恒等）マップ（写像）でドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）が同一のセット（集合）を持つが別のトポロジカルスペース（空間）たちを持つものはコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）のトポロジーがコドメイン（余域）のそれより密である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

以下を満たす任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、つまり、それらは同一のセット（集合）を持つが別のトポロジーたちを持つ、および対応するアイデンティティ（恒等）マップ（写像）$f:T_1\to T_2$に対して、$f$はコンティヌアス（連続）である、もしも、$T_1$トポロジーが$T_2$トポロジーより密である場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

$T_1$トポロジーは$T_2$トポロジーより密であると仮定する。任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_2$を取る。プリイメージ（前像）$f^{-1}(U)=U$は$T_1$上でオープン（開）である、なぜなら、$T_1$トポロジーはより密であるから、したがって、$f$はコンティヌアス（連続）である。

$f$はコンティヌアス（連続）であると仮定する。任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T_2$を取る。プリイメージ（前像）$f^{-1}(U)=U$は$T_1$上でオープン（開）である、なぜなら、$f$はコンティヌアス（連続）であるから、したがって、$T_1$トポロジーはより密である。

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参考資料

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