アイデンティティ（恒等）マップ（写像）でドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）が別のトポロジーたちを持っているものはコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）がコドメイン（余域）より密である場合、そしてその場合に限ってであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、より密なおよびより粗なトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアイデンティティ（恒等）マップ（写像）でドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）が同一のセット（集合）を持つが別のトポロジカルスペース（空間）たちを持つものはコンティヌアス（連続）である、もしも、ドメイン（定義域）のトポロジーがコドメイン（余域）のそれより密である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
以下を満たす任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、つまり、それらは同一のセット（集合）を持つが別のトポロジーたちを持つ、および対応するアイデンティティ（恒等）マップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)に対して、\(f\)はコンティヌアス（連続）である、もしも、\(T_1\)トポロジーが\(T_2\)トポロジーより密である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(T_1\)トポロジーは\(T_2\)トポロジーより密であると仮定する。任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_2\)を取る。プリイメージ（前像）\(f^{-1} (U) = U\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(T_1\)トポロジーはより密であるから、したがって、\(f\)はコンティヌアス（連続）である。
\(f\)はコンティヌアス（連続）であると仮定する。任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T_2\)を取る。プリイメージ（前像）\(f^{-1} (U) = U\)は\(T_1\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(f\)はコンティヌアス（連続）であるから、したがって、\(T_1\)トポロジーはより密である。
