358: メジャー（測度）0サブセット（部分集合）のオープンセット（開集合 コンプリメント（補集合）はデンス（密）である

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メジャー（測度）0サブセット（部分集合）のオープンセット（開集合　コンプリメント（補集合）はデンス（密）であることの記述/証明

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話題

About: メトリックスペース（計量空間）
About: メジャー（測度）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、メトリックスペース（計量空間）の定義を知っている。
• 読者は、メジャー（測度）の定義を知っている。
• 読者は、密であることの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のメトリックスペース（計量空間）上の任意のオープンセット（開集合）に対して、任意のメジャー（測度）0サブセット（部分集合）の当該オープンセット（開集合）に関するコンプリメント（補集合）は当該オープンセット（開集合）上でデンス（密）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のメトリックスペース（計量空間）M、任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq M$、任意のメジャー（測度）0サブセット（部分集合）$S\subseteq U$に対して、$S$の$U$に関するコンプリメント（補集合）$S^c=U\setminus S$は$U$上でデンス（密）である。

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2: 証明

任意のポイント$p\in U$を中心として、任意の十分小さなオープンボール（開球）$B_{p-ϵ}\subseteq U$がある。$S^c\cap B_{p-ϵ}=(U\setminus S)\cap B_{p-ϵ}=U\cap B_{p-ϵ}\setminus S\cap B_{p-ϵ}$。$m(S^c\cap B_{p-ϵ})=m(U\cap B_{p-ϵ})-m(S\cap B_{p-ϵ})=m(B_{p-ϵ})-0$。$m(B_{p-ϵ})>0$なので、$m(S^c\cap B_{p-ϵ})>0$、それが意味するのは、$S^c\cap B_{p-ϵ}$は空でないということ、それが意味するのは、任意のポイント$p\in U$および任意の十分小さなオープンボール（開球）$B_{p-ϵ}\subseteq U$に対して、$S^c$のポイントがそのオープンボール（開球）内にある、それが意味するのは、$S^c$はデンス（密）だということ。

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参考資料

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