メジャー（測度）0サブセット（部分集合）のオープンセット（開集合 コンプリメント（補集合）はデンス（密）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量空間）
About: メジャー（測度）
About: マップ（写像）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量空間）の定義を知っている。
- 読者は、メジャー（測度）の定義を知っている。
- 読者は、密であることの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量空間）上の任意のオープンセット（開集合）に対して、任意のメジャー（測度）0サブセット（部分集合）の当該オープンセット（開集合）に関するコンプリメント（補集合）は当該オープンセット（開集合）上でデンス（密）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のメトリックスペース（計量空間）M、任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq M\)、任意のメジャー（測度）0サブセット（部分集合）\(S \subseteq U\)に対して、\(S\)の\(U\)に関するコンプリメント（補集合）\(S^c = U \setminus S\)は\(U\)上でデンス（密）である。
2: 証明
任意のポイント\(p \in U\)を中心として、任意の十分小さなオープンボール（開球）\(B_{p-\epsilon} \subseteq U\)がある。\(S^c \cap B_{p-\epsilon} = (U \setminus S) \cap B_{p-\epsilon} = U \cap B_{p-\epsilon} \setminus S \cap B_{p-\epsilon}\)。\(m (S^c \cap B_{p-\epsilon}) = m (U \cap B_{p-\epsilon}) - m (S \cap B_{p-\epsilon}) = m (B_{p-\epsilon}) - 0\)。\(m (B_{p-\epsilon}) \gt 0\)なので、\(m (S^c \cap B_{p-\epsilon}) > 0\)、それが意味するのは、\(S^c \cap B_{p-\epsilon}\)は空でないということ、それが意味するのは、任意のポイント\(p \in U\)および任意の十分小さなオープンボール（開球）\(B_{p-\epsilon} \subseteq U\)に対して、\(S^c\)のポイントがそのオープンボール（開球）内にある、それが意味するのは、\(S^c\)はデンス（密）だということ。
