357: ユークリディアンノルム付きC^\inftyマニフォールド（多様体）上のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）であるものから同次元またはより高次元ユークリディアンノルム付きC^\inftyマニフォールド（多様体）へのポリノミアル（多項式）マップ（写像）下の、メジャー（測度）0サブセット（部分集合）のイメージ（像）はメジャー（測度）0である

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ユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）であるものから同次元またはより高次元ユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）へのポリノミアル（多項式）マップ（写像）下の、メジャー（測度）0サブセット（部分集合）のイメージ（像）はメジャー（測度）0であることの記述/証明

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話題

About: ユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）
About: メジャー（測度）
About: マップ（写像）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、メジャー（測度）の定義を知っている。
• 読者は、任意のユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上の任意のオープンセット（開集合）から任意のユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）への任意の$C^1$マップ（写像）は、任意のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）で元のオープンセット（開集合）内に含まれているものの中でリプシッツ条件を満たしているという命題を認めている。
• 読者は、任意のメジャー（測度）0サブセット（部分集合）の、任意のユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）から同次元またはより高次元ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）へのリプシッツ条件を満たす任意のマップ（写像）下のイメージ（像）はメジャー（測度）0であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のユークリディアンノルム付きC^\inftyマニフォールド（多様体）上の任意のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）であるものから任意の同次元またはより高次元ユークリディアンノルム付きC^\inftyマニフォールド（多様体）への任意のポリノミアル（多項式）マップ（写像）に対して、任意のメジャー（測度）0サブセット（部分集合）のマップ（写像）イメージ（像）はメジャー（測度）0であるという命題の記述と証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち${\mathbb{R}}^n$および${\mathbb{R}}^m$、ここで、$n\le m$、任意のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）であるもの$U\subseteq {\mathbb{R}}^n$、任意のポリノミアル（多項式）マップ（写像）$f:U\to {\mathbb{R}}^m$、任意のメジャー（測度）$0$サブセット（部分集合）$S\subseteq U,m(S)=0$、ここで、$m(\bullet )$は引数のメジャー（測度）、に対して、$S$の$f$下のイメージ（像）はメジャー（測度）$0$である、つまり、$m(f(S))=0$。

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2: 証明

当該ポリノミアル（多項式）マップ（写像）は${\mathbb{R}}^n$上で定義されていると見なすことができる、$U$から${\mathbb{R}}^n$へカノニカル（自然）に拡張されて。$f$は$C^1$なので、任意のユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上の任意のオープンセット（開集合）から任意のユークリディアンノルム付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）への任意の$C^1$マップ（写像）は、任意のコンベックス（凸）オープンセット（開集合）でそのクロージャー（閉包）がバウンデッド（有界）で元のオープンセット（開集合）内に含まれているものの中でリプシッツ条件を満たしているという命題によって、$f$は$U$上でリプシッツ条件を満たす。.

任意のメジャー（測度）0サブセット（部分集合）の、任意のユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）から同次元またはより高次元ユークリディアンノルム付きトポロジカルスペース（空間）へのリプシッツ条件を満たす任意のマップ（写像）下のイメージ（像）はメジャー（測度）0であるという命題によって、$m(f(S))=0$。

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参考資料

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