359: オープンセット（開集合）マイナスクローズドセット（閉集合）はオープン（開）である

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オープンセット（開集合）マイナスクローズドセット（閉集合）はオープン（開）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のオープンセット（開集合）マイナス任意のクローズドセット（閉集合）はオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のオープンセット（開集合）$U\subseteq T$、任意のクローズドセット（閉集合）$C\subseteq T$に対して、当該オープンセット（開集合）マイナス当該クローズドセット（閉集合）$U\setminus C$は$T$上でオープン（開）である。

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2: 証明

任意のポイント$p\in U\setminus C$に対して、$p\in U$および$p\notin C$、それが意味するのは、$p\in T\setminus C$、ここで、$T\setminus C$はオープン（開）である。オープンセット（開集合）たち$p\in U_1\subseteq U$および$p\in U_2\subseteq T\setminus C$がある。$p\in U_1\cap U_2$、ここで、$U_1\cap U_2$はオープン（開）、および$U_1\cap U_2\subseteq U$および$U_1\cap U_2\subseteq T\setminus C$、それが意味するのは、$U_1\cap U_2\cap C=\mathrm{\varnothing }$、したがって、$U_1\cap U_2\subseteq U\setminus C$。任意のポイント$p\in U\setminus C$において以下を満たすあるオープンセット（開集合）$U_1\cap U_2$、つまり、$p\in U_1\cap U_2\subseteq U\setminus C$、があるから、オープン（開）であることのローカル基準によって、$U\setminus C$はオープン（開）である。

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参考資料

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