オープンセット（開集合）マイナスクローズドセット（閉集合）はオープン（開）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のオープンセット（開集合）マイナス任意のクローズドセット（閉集合）はオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のオープンセット（開集合）\(U \subseteq T\)、任意のクローズドセット（閉集合）\(C \subseteq T\)に対して、当該オープンセット（開集合）マイナス当該クローズドセット（閉集合）\(U \setminus C\)は\(T\)上でオープン（開）である。
2: 証明
任意のポイント\(p \in U \setminus C\)に対して、\(p \in U\)および\(p \notin C\)、それが意味するのは、\(p \in T \setminus C\)、ここで、\(T \setminus C\)はオープン（開）である。オープンセット（開集合）たち\(p \in U_1 \subseteq U\)および\(p \in U_2 \subseteq T \setminus C\)がある。\(p \in U_1 \cap U_2\)、ここで、\(U_1 \cap U_2\)はオープン（開）、および\(U_1 \cap U_2 \subseteq U\)および\(U_1 \cap U_2 \subseteq T \setminus C\)、それが意味するのは、\(U_1 \cap U_2 \cap C = \emptyset\)、したがって、\(U_1 \cap U_2 \subseteq U \setminus C\)。任意のポイント\(p \in U \setminus C\)において以下を満たすあるオープンセット（開集合）\(U_1 \cap U_2\)、つまり、\(p \in U_1 \cap U_2 \subseteq U \setminus C\)、があるから、オープン（開）であることのローカル基準によって、\(U \setminus C\)はオープン（開）である。
