2023年1月29日日曜日

405: もしも、ディスジョイント(互いに素な)サブセット(部分集合)たちのユニオン(共通集合)がオープン(開)である場合、各サブセット(部分集合)は必ずしもオープン(開)だとは限らない

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Title: 405: もしも、ディスジョイント(互いに素な)サブセット(部分集合)たちのユニオン(共通集合)がオープン(開)である場合、各サブセット(部分集合)は必ずしもオープン(開)だとは限らない

もしも、ディスジョイント(互いに素な)サブセット(部分集合)たちのユニオン(共通集合)がオープン(開)である場合、各サブセット(部分集合)は必ずしもオープン(開)だとは限らないことの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、もしも、いくつかのディスジョイント(互いに素な)サブセット(部分集合)たちのユニオン(共通集合)がオープン(開)である場合、各サブセット(部分集合)は必ずしもオープン(開)だとは限らないという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。


本体


1: 記述


任意のトポロジカルスペース(空間)\(T\)、以下を満たすいくつかのディスジョイント(互いに素な)サブセット(部分集合)たち\(\{S_i| S_i \subseteq T\}\)、つまり、ユニオン(共通集合)\(S := \cup_i S_i\)はオープン(開)、に対して、各\(S_i\)は必ずしもオープン(開)ではない。


2: 証明


1つの反例で十分だろう。\(\mathbb{R}\)ユークリディアントポロジカルスペース(空間)および2つのサブセット(部分集合)たち\((-1, 0), [0, 1)\)を考えると、それらはディスジョイント(互いに素な)であり、ユニオン(和集合)は\((-1, 1)\)、オープン(開)。


参考資料


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