212: コネクテッド（連結された）コンポーネントはローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）である

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コネクテッド（連結された）コンポーネントはローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）に対して、各コネクテッド（連結された）コンポーネントはオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）$T$に対して、各コネクテッド（連結された）コンポーネント$S$はオープン（開）である。

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2: 証明

任意のポイント$p\in S$において、$p$の$T$上の任意のネイバーフッド（近傍）$U_p$を取る。$p$のあるコネクテッド（連結された）ネイバーフッド（近傍）${U_p}^{\prime }$がある、$U_p$に包含されて。${U_p}^{\prime }$は$p$を包含するコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）なので、${U_p}^{\prime }\subseteq S$。オープン（開）であることのローカル基準によって、$S$はオープン（開）である。

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参考資料

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