コネクテッド（連結された）コンポーネントはローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）に対して、各コネクテッド（連結された）コンポーネントはオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、各コネクテッド（連結された）コンポーネント\(S\)はオープン（開）である。
2: 証明
任意のポイント\(p \in S\)において、\(p\)の\(T\)上の任意のネイバーフッド（近傍）\(U_p\)を取る。\(p\)のあるコネクテッド（連結された）ネイバーフッド（近傍）\({U_p}'\)がある、\(U_p\)に包含されて。\({U_p}'\)は\(p\)を包含するコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）なので、\({U_p}' \subseteq S\)。オープン（開）であることのローカル基準によって、\(S\)はオープン（開）である。
