43: オープン（開）であることのローカル基準

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オープン（開）であることのローカル基準の記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、オープン（開）であることのローカル基準の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$S$: $\subseteq T$
//

ステートメント（言明）たち:
$S\in \{T\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$。
$⟺$
$\mathrm{\forall }p\in S(\mathrm{\exists }{U}_p\subseteq T(U_p\in \{T\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\wedge p\in U_p\subseteq S))$。
//

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2: 自然言語記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$はオープン（開）である、もしも、任意のポイント$p\in S$に対して、$p$の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p$、つまり、$p\in U_p\subseteq S$、がある場合、そしてその場合に限って。

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3: 証明

$U_p$が存在すると仮定しよう。

$S$はそうした全ての$U_p$たちのユニオン（和集合）である、なぜなら、$S$の中の任意のポイントは当該ユニオン（和集合）に属し、当該ユニオン（和集合）内の任意のポイントは$S$に属する、したがって、オープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）として、$S$はオープンセット（開集合）である。

$S$はオープン（開）であると仮定しよう。

$S$はある$U_p$である。

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参考資料

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