オープン（開）であることのローカル基準の記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{T\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)。
\(\iff\)
\(\forall p \in S (\exists U_p \subseteq T (U_p \in \{T\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \land p \in U_p \subseteq S))\)。
//
2: 自然言語記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)はオープン（開）である、もしも、任意のポイント\(p \in S\)に対して、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p\)、つまり、\(p \in U_p \subseteq S\)、がある場合、そしてその場合に限って。
3: 証明
\(U_p\)が存在すると仮定しよう。
\(S\)はそうした全ての\(U_p\)たちのユニオン（和集合）である、なぜなら、\(S\)の中の任意のポイントは当該ユニオン（和集合）に属し、当該ユニオン（和集合）内の任意のポイントは\(S\)に属する、したがって、オープンセット（開集合）たちのユニオン（和集合）として、\(S\)はオープンセット（開集合）である。
\(S\)はオープン（開）であると仮定しよう。
\(S\)はある\(U_p\)である。
