213: コネクテッド（連結された）コンポーネントはクローズド（閉）である

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コネクテッド（連結された）コンポーネントはクローズド（閉）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）に対して、当該コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）を包含し当該コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）に包含された任意のサブスペース（部分空間）はコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、各コネクテッド（連結された）コンポーネントはクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、各コネクテッド（連結された）コンポーネント$S$はクローズド（閉）である。

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2: 証明

$S$はクローズド（閉）でなかったと仮定する。任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）に対して、当該コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）を包含し当該コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）に包含された任意のサブスペース（部分空間）はコネクテッド（連結された）であるという命題によって、$S$のクロージャー（閉包）$\bar{S}$はコネクテッド（連結された）である、したがって、コネクテッド（連結された）コンポーネントは$S$ではなく$S$より大きいということになる、矛盾。したがって、$S$はクローズド（閉）である。

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参考資料

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