コネクテッド（連結された）コンポーネントはクローズド（閉）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、各コネクテッド（連結された）コンポーネントはクローズド（閉）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、各コネクテッド（連結された）コンポーネント\(S\)はクローズド（閉）である。
2: 証明
\(S\)はクローズド（閉）でなかったと仮定する。任意のトポロジカルスペース（空間）および任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）に対して、当該コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）を包含し当該コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のクロージャー（閉包）に包含された任意のサブスペース（部分空間）はコネクテッド（連結された）であるという命題によって、\(S\)のクロージャー（閉包）\(\overline{S}\)はコネクテッド（連結された）である、したがって、コネクテッド（連結された）コンポーネントは\(S\)ではなく\(S\)より大きいということになる、矛盾。したがって、\(S\)はクローズド（閉）である。
