全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）たちのセット（集合）はトポロジーを決定することの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ポイントにおけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）たちの任意のセット（集合）はトポロジーを決定するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）たちの任意のセット（集合）\(\{B_p\}\)、ここで、\(p \in T\)、はトポロジーを決定する、それが意味するのは、\(T\)のポイントたちセット（集合）に対して、\(\{B_p\}\) が全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）たちのセット（集合）である別のトポロジーはあり得ないということ。
2: 証明
\(T_1\)が\(T\)のトポロジーを表わすとし、\(T\)のポイントたちセット（集合）に対して、\(\{B_p\}\)が全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）たちのセット（集合）である別のトポロジー\(T_2\)があると仮定する。任意のポイント\(p \in T\)の、\(T_1\)にとっての任意のオープン（開）ネイバーフッド（近傍）\(U_p\)を考えよう。任意の\(p' \in U_p\)に対して、\(U_p\)は\(T_1\)にとっての\(p'\)のネイバーフッド（近傍）である、したがって、以下を満たす、\(B_{p'}\)からの\(T_1\)にとってのあるネイバーフッド（近傍）\(U_{p'}\)、つまり、\(U_{p'} \subseteq U_p\)、がある、ネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）の定義によって。しかし、\(U_{p'}\)は\(T_2\)にとってのネイバーフッド（近傍）でもある、仮定によって。したがって、\(T_2\)に関して、\(U_p\)の任意のポイントにおいて\(U_p\)に包含されているあるネイバーフッド（近傍）があるので、\(U_p\)はオープン（開）である、それが意味するのは、\(T_1\)にとっての任意のオープンセット（開集合）は\(T_2\)にとってもオープン（開）であるということ。対称性により、\(T_2\)にとっての任意のオープンセット（開集合）は\(T_1\)にとってもオープン（開）である。したがって、\(T_1 = T_2\)。
