195: 全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）たちのセット（集合）はトポロジーを決定する

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全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）たちのセット（集合）はトポロジーを決定することの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ポイントにおけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）たちの任意のセット（集合）はトポロジーを決定するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$に対して、全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）たちの任意のセット（集合）$\{B_p\}$、ここで、$p\in T$、はトポロジーを決定する、それが意味するのは、$T$のポイントたちセット（集合）に対して、$\{B_p\}$ が全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）たちのセット（集合）である別のトポロジーはあり得ないということ。

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2: 証明

$T_1$が$T$のトポロジーを表わすとし、$T$のポイントたちセット（集合）に対して、$\{B_p\}$が全ポイントたちにおけるネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）たちのセット（集合）である別のトポロジー$T_2$があると仮定する。任意のポイント$p\in T$の、$T_1$にとっての任意のオープン（開）ネイバーフッド（近傍）$U_p$を考えよう。任意の$p^{\prime }\in U_p$に対して、$U_p$は$T_1$にとっての$p^{\prime }$のネイバーフッド（近傍）である、したがって、以下を満たす、$B_{p^{\prime }}$からの$T_1$にとってのあるネイバーフッド（近傍）$U_{p^{\prime }}$、つまり、$U_{p^{\prime }}\subseteq U_p$、がある、ネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）の定義によって。しかし、$U_{p^{\prime }}$は$T_2$にとってのネイバーフッド（近傍）でもある、仮定によって。したがって、$T_2$に関して、$U_p$の任意のポイントにおいて$U_p$に包含されているあるネイバーフッド（近傍）があるので、$U_p$はオープン（開）である、それが意味するのは、$T_1$にとっての任意のオープンセット（開集合）は$T_2$にとってもオープン（開）であるということ。対称性により、$T_2$にとっての任意のオープンセット（開集合）は$T_1$にとってもオープン（開）である。したがって、$T_1=T_2$。

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参考資料

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