サブセット（部分集合）たちのセット（集合）でセット（集合）全体と空集合を含むものはサブベーシス（基底）を構成することの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることの1つの基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちセット（集合）でセット（集合）全体と空集合を含むものはサブベーシス（基底）を構成するという命題の記述と証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）\(S\)、\(S\)のサブセット（部分集合）たちの任意のセット（集合）\(S'\)でセット（集合）全体と空集合を含むものはあるサブベーシス（基底）を構成する。
2: 証明
オープンセット（開集合）たちセット（集合）で、各オープンセット（開集合）は、\(S'\)からのサブセット（部分集合）たちの任意の有限インターセクション（共通集合）たちの任意のユニオン（和集合）であると定義されたものは、トポロジーを構成することを示そう。セット（集合）全体と空集合は明らかに含まれている。
オープンセット（開集合）たちの任意のユニオン（和集合）\(\cup_\alpha \cup_\beta \cap_i S_{\alpha, \beta, i}\)、ここで、\(\{\alpha\}\) はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、\(\{\alpha, \beta\}\)は各固定された\(\alpha\)ごとにアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、\(\{\alpha, \beta, i\}\)は各固定された\(\alpha, \beta\)ごとに有限なインデックスセット（集合）、\(S_{\alpha, \beta, i}\)は\(S'\)のサブセット（部分集合）である、を考えよう。\(\cup_\alpha \cup_\beta \cap_i S_{\alpha, \beta, i} = \cup_{\alpha, \beta} \cap_i S_{\alpha, \beta, i}\)、それは、\(S'\)からのサブセット（部分集合）たちの有限インターセクション（共通集合）たちのユニオン（共通集合）であり、オープン（開）である。
オープンセット（開集合）たちの有限インターセクション（共通集合）たちに関しては、最初に、2つのオープンセット（開集合）たちのインターセクション（共通集合）たちを考えよう。2つのオープンセット（開集合）たちの任意のインターセクション（共通集合\((\cup_\alpha \cap_i S_{\alpha, i}) \cap (\cup_\beta \cap_j S_{\beta, j})\)、ここで、\(\{\alpha\}\)および\(\{\beta\}\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、\(\{\alpha, i\}\)および\(\{\beta, j\}\)は各固定された\(\alpha\)および\(\beta\)ごとに有限なインデックスセット（集合）、\(S_{\alpha, i}\)および\(S_{\beta, j}\)は\(S'\)からのサブセット（部分集合）たちである、を考えよう。\(A_{\alpha}:= \cap_i S_{\alpha, i}\)および\(B_{\beta}:= \cap_j S_{\beta, j}\)と表わそう、簡略化のため。\((\cup_\alpha A_\alpha) \cap (\cup_\beta B_\beta) = \cup_\alpha (A_\alpha \cap \cup_\beta B_\beta)\)、なぜなら、任意の\(p \in (\cup_\alpha A_\alpha) \cap (\cup_\beta B_\beta)\)に対して、\(p \in \cup_\alpha A_\alpha\)および\(p \in \cup_\beta B_\beta\)、ある\(\alpha\)に対して\(p \in A_\alpha\)およびある\(\beta\)に対して\(p \in B_\beta\)、ある\(\alpha\)に対して\(p \in A_\alpha\)および\(p \in \cup_\beta B_\beta\)、ある\(\alpha\)に対して\(p \in A_\alpha \cap \cup_\beta B_\beta\)、したがって、\(p \in \cup_\alpha (A_\alpha \cap \cup_\beta B_\beta)\); 任意の\(p \in \cup_\alpha (A_\alpha \cap \cup_\beta B_\beta)\)に対して、ある\(\alpha\)に対して\(p \in A_\alpha \cap \cup_\beta B_\beta\)、ある\(\alpha\)に対して\(p \in A_\alpha\)およびある\(\beta\)に対して\(p \in B_\beta\)、\(p \in \cup_\alpha A_\alpha\)および\(p \in \cup_\beta B_\beta\)、したがって、\(p \in (\cup_\alpha A_\alpha) \cap (\cup_\beta B_\beta)\)。\(A_\alpha \cap \cup_\beta B_\beta = \cup_\beta (A_\alpha \cap B_\beta)\)、なぜなら、任意の\(p \in A_\alpha \cap \cup_\beta B_\beta\)、\(p \in A_\alpha\)および\(p \in \cup_\beta B_\beta\)、\(p \in A_\alpha\)およびある\(\beta\)に対して\(p \in B_\beta\)、ある\(\beta\)に対して\(p \in A_\alpha \cap B_\beta\)、したがって、\(p \in \cup_\beta (A_\alpha \cap B_\beta)\); 任意の\(p \in \cup_\beta (A_\alpha \cap B_\beta)\)に対して、ある\(\beta\)に対して\(p \in A_\alpha \cap B_\beta\)、\(p \in A_\alpha\)およびある\(\beta\)に対して\(p \in B_\beta\)、\(p \in A_\alpha\)および\(p \in \cup_\beta B_\beta\)、したがって、\(p \in A_\alpha \cap \cup_\beta B_\beta\)。したがって、\((\cup_\alpha A_\alpha) \cap (\cup_\beta B_\beta) = \cup_\alpha (\cup_\beta (A_\alpha \cap B_\beta)) = \cup_{\alpha\beta} A_\alpha \cap B_\beta = \cup_{\alpha\beta} (\cap_i S_{\alpha, i}) \cap \cap_j S_{\beta, j}\))\)、それは、\(S'\)からのサブセット（部分集合）たちの有限インターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であり、オープン（開）である。明らかに、数学的帰納法によって、オープンセット（開集合）たちの任意の有限インターセクション（共通集合）たちはオープン（開）である。
したがって、\(S'\)によって定義されたオープンセット（開集合）たちセット（集合）はトポロジーである。
\(S'\)の全ての有限インターセクション（共通集合）たちのセット（集合）は当該トポロジーのベーシス（基底）を構成する、なぜなら、それは、オープンセット（開集合）たちの任意のコレクションがベーシス（基底）であることの1つの基準: 任意のトポロジカルスペース（空間）Tに対して、オープンセット（開集合）たちの任意のセット（集合）\(\{B_\alpha\}\)はTのベーシス（基底）である、もしも、T上の各オープンセット（開集合）が当該セット（集合）のいくつかの要素たちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限ってを満たしているから。
したがって、\(S'\)はサブベーシス（基底）である。
3: 注
セット（集合）および空集合は、 無のインターセクション（共通集合）はセット（集合）全体であり無のユニオン（和集合）は空集合であるとする取り決めに基づいて当該トポロジーに含まれている、と広く主張されているが、それら取り決めは自然であるとは思われず（特に前者）、\(S'\)はセット（集合）全体と空集合を含むと単に要求するほうがより自然でより明瞭であると思われ、何の問題もない。
