2023年2月12日日曜日

194: サブセット(部分集合)たちのセット(集合)でセット(集合)全体と空集合を含むものはサブベーシス(基底)を構成する

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

サブセット(部分集合)たちのセット(集合)でセット(集合)全体と空集合を含むものはサブベーシス(基底)を構成することの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のセット(集合)に対して、任意のサブセット(部分集合)たちセット(集合)でセット(集合)全体と空集合を含むものはサブベーシス(基底)を構成するという命題の記述と証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。


本体


1: 記述


任意のセット(集合)SSのサブセット(部分集合)たちの任意のセット(集合)Sでセット(集合)全体と空集合を含むものはあるサブベーシス(基底)を構成する。


2: 証明


オープンセット(開集合)たちセット(集合)で、各オープンセット(開集合)は、Sからのサブセット(部分集合)たちの任意の有限インターセクション(共通集合)たちの任意のユニオン(和集合)であると定義されたものは、トポロジーを構成することを示そう。セット(集合)全体と空集合は明らかに含まれている。

オープンセット(開集合)たちの任意のユニオン(和集合)αβiSα,β,i、ここで、{α} はアンカウンタブル(不可算)かもしれないインデックスセット(集合)、{α,β}は各固定されたαごとにアンカウンタブル(不可算)かもしれないインデックスセット(集合)、{α,β,i}は各固定されたα,βごとに有限なインデックスセット(集合)、Sα,β,iSのサブセット(部分集合)である、を考えよう。αβiSα,β,i=α,βiSα,β,i、それは、Sからのサブセット(部分集合)たちの有限インターセクション(共通集合)たちのユニオン(共通集合)であり、オープン(開)である。

オープンセット(開集合)たちの有限インターセクション(共通集合)たちに関しては、最初に、2つのオープンセット(開集合)たちのインターセクション(共通集合)たちを考えよう。2つのオープンセット(開集合)たちの任意のインターセクション(共通集合(αiSα,i)(βjSβ,j)、ここで、{α}および{β}はアンカウンタブル(不可算)かもしれないインデックスセット(集合)、{α,i}および{β,j}は各固定されたαおよびβごとに有限なインデックスセット(集合)、Sα,iおよびSβ,jSからのサブセット(部分集合)たちである、を考えよう。Aα:=iSα,iおよびBβ:=jSβ,jと表わそう、簡略化のため。(αAα)(βBβ)=α(AαβBβ)、なぜなら、任意のp(αAα)(βBβ)に対して、pαAαおよびpβBβ、あるαに対してpAαおよびあるβに対してpBβ、あるαに対してpAαおよびpβBβ、あるαに対してpAαβBβ、したがって、pα(AαβBβ); 任意のpα(AαβBβ)に対して、あるαに対してpAαβBβ、あるαに対してpAαおよびあるβに対してpBβpαAαおよびpβBβ、したがって、p(αAα)(βBβ)AαβBβ=β(AαBβ)、なぜなら、任意のpAαβBβpAαおよびpβBβpAαおよびあるβに対してpBβ、あるβに対してpAαBβ、したがって、pβ(AαBβ); 任意のpβ(AαBβ)に対して、あるβに対してpAαBβpAαおよびあるβに対してpBβpAαおよびpβBβ、したがって、pAαβBβ。したがって、(αAα)(βBβ)=α(β(AαBβ))=αβAαBβ=αβ(iSα,i)jSβ,j)\)、それは、Sからのサブセット(部分集合)たちの有限インターセクション(共通集合)たちのユニオン(和集合)であり、オープン(開)である。明らかに、数学的帰納法によって、オープンセット(開集合)たちの任意の有限インターセクション(共通集合)たちはオープン(開)である。

したがって、Sによって定義されたオープンセット(開集合)たちセット(集合)はトポロジーである。

Sの全ての有限インターセクション(共通集合)たちのセット(集合)は当該トポロジーのベーシス(基底)を構成する、なぜなら、それは、オープンセット(開集合)たちの任意のコレクションがベーシス(基底)であることの1つの基準: 任意のトポロジカルスペース(空間)Tに対して、オープンセット(開集合)たちの任意のセット(集合){Bα}はTのベーシス(基底)である、もしも、T上の各オープンセット(開集合)が当該セット(集合)のいくつかの要素たちのユニオン(和集合)である場合、そしてその場合に限ってを満たしているから。

したがって、Sはサブベーシス(基底)である。


3: 注


セット(集合)および空集合は、 無のインターセクション(共通集合)はセット(集合)全体であり無のユニオン(和集合)は空集合であるとする取り決めに基づいて当該トポロジーに含まれている、と広く主張されているが、それら取り決めは自然であるとは思われず(特に前者)、Sはセット(集合)全体と空集合を含むと単に要求するほうがより自然でより明瞭であると思われ、何の問題もない。


参考資料


<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>