オープンセット（開集合）はサブセット（部分集合）とインターセクトする（交わる）、もしも、それがサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とインターセクト（交わる）場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のオープンセット（開集合）は任意のサブセット（部分集合）とインターセクトする（交わる）、もしも、それがサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とインターセクトする（交わる）場合という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、任意のオープンセット（開集合）\(U\)は\(S\)とインターセクトする（交わる）、もしも、\(U\)が\(S\)のクロージャー（閉包）\(\overline{S}\)とインターセクトする（交わる）場合に限って。
2: 証明
\(U \cap \overline{S} \neq \emptyset\)および\(U \cap S = \emptyset\)だと仮定する。\(S \subseteq (T \setminus U)\)および\(\overline{S} \cap (T \setminus U) \subset \overline{S}\)。したがって、\(S \subseteq \overline{S} \cap (T \setminus U) \subset \overline{S}\)、矛盾、なぜなら、\(\overline{S} \cap (T \setminus U)\) は\(S\)を包含するクローズドセット（閉集合）だということになるが、当該クローズドセット（閉集合）は\(S\)のクロージャー（閉包）より小さいということになるから。したがって、\(U \cap S \neq \emptyset\)、もしも、\(U \cap \overline{S} \neq \emptyset\)である場合。
