196: オープンセット（開集合）はサブセット（部分集合）とインターセクトする（交わる）、もしも、それがサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とインターセクト（交わる）場合

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オープンセット（開集合）はサブセット（部分集合）とインターセクトする（交わる）、もしも、それがサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とインターセクト（交わる）場合、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のオープンセット（開集合）は任意のサブセット（部分集合）とインターセクトする（交わる）、もしも、それがサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）とインターセクトする（交わる）場合という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、任意のオープンセット（開集合）$U$は$S$とインターセクトする（交わる）、もしも、$U$が$S$のクロージャー（閉包）$\bar{S}$とインターセクトする（交わる）場合に限って。

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2: 証明

$U\cap \bar{S}\ne \mathrm{\varnothing }$および$U\cap S=\mathrm{\varnothing }$だと仮定する。$S\subseteq (T\setminus U)$および$\bar{S}\cap (T\setminus U)\subset \bar{S}$。したがって、$S\subseteq \bar{S}\cap (T\setminus U)\subset \bar{S}$、矛盾、なぜなら、$\bar{S}\cap (T\setminus U)$ は$S$を包含するクローズドセット（閉集合）だということになるが、当該クローズドセット（閉集合）は$S$のクロージャー（閉包）より小さいということになるから。したがって、$U\cap S\ne \mathrm{\varnothing }$、もしも、$U\cap \bar{S}\ne \mathrm{\varnothing }$である場合。

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参考資料

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