サブセット（部分集合）たちのプロダクトのコンプリメント（補集合）は、セット（集合）全体たちの内の\(1\)つがサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプロダクトセット（集合）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちのプロダクトのコンプリメント（補集合）は、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S'_j \in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\times_{j \in J} S'_j\): \(= \text{ 当該プロダクトセット（集合） }\)
\(\{S_j \subseteq S'_j \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\((\times_{j \in J} S'_j) \setminus (\times_{j \in J} S_j) = \cup_{j' \in J} \times_{j \in J} S^`_{j', j}\)、ここで、\(S^`_{j', j'} = S'_{j'} \setminus S_{j'}\)および\(S^`_{j', j} = S'_j\)、各\(j \in J \setminus \{j'\}\)に対して
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \((\times_{j \in J} S'_j) \setminus (\times_{j \in J} S_j) \subseteq \cup_{j' \in J} \times_{j \in J} S^`_{j', j}\)であることを見る; ステップ2: \(\cup_{j' \in J} \times_{j \in J} S^`_{j', j} \subseteq (\times_{j \in J} S'_j) \setminus (\times_{j \in J} S_j)\)であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(p \in (\times_{j \in J} S'_j) \setminus (\times_{j \in J} S_j)\)を任意のものとしよう。
\(p \notin \times_{j \in J} S_j\)。
\(p^l \notin S_l\)、ある\(l \in J\)に対して。
\(p^l \in S'_l \setminus S_l = S^`_{l, l}\)。
\(p^j \in S'_j = S^`_{l, j}\)、各\(j \in J \setminus \{l\}\)に対して。
したがって、\(p \in \times_{j \in J} S^`_{l, j}\)。
したがって、\(p \in \cup_{j' \in J} \times_{j \in J} S^`_{j', j}\)。
したがって、\((\times_{j \in J} S'_j) \setminus (\times_{j \in J} S_j) \subseteq \cup_{j' \in J} \times_{j \in J} S^`_{j', j}\)。
ステップ2:
\(p \in \cup_{j' \in J} \times_{j \in J} S^`_{j', j}\)を任意のものとしよう。
\(p \in \times_{j \in J} S^`_{l, j}\)、ある\(l \in J\)に対して。
\(p^l \in S^`_{l, l} = S'_l \setminus S_l\)。
\(p^l \notin S_l\)。
\(p \notin \times_{j \in J} S_j\)。
したがって、\(p \in (\times_{j \in J} S'_j) \setminus (\times_{j \in J} S_j)\)。
したがって、\(\cup_{j' \in J} \times_{j \in J} S^`_{j', j} \subseteq (\times_{j \in J} S'_j) \setminus (\times_{j \in J} S_j)\)。
ステップ3:
したがって、\((\times_{j \in J} S'_j) \setminus (\times_{j \in J} S_j) = \cup_{j' \in J} \times_{j \in J} S^`_{j', j}\)。
