サブセット（部分集合）たちのプロダクトのコンプリメント（補集合）は、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）たちのプロダクトのコンプリメント（補集合）は、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）である 命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセット（集合）たち\(S_1, S_2, . . ., S_n\)、任意のサブセット（部分集合）たち\(S'_i \subseteq S_i\)に対して、\((S_1 \times S_2 \times . . . \times S_n) \setminus (S'_1 \times S'_2 \times . . . \times S'_n) = ((S_1 \setminus S'_1) \times S_2 \times . . . \times S_n) \cup (S_1 \times (S_2 \setminus S'_2) \times . . . \times S_n) \cup . . . \cup (S_1 \times S_2 \times . . . \times (S_n \setminus S'_n))\)。
2: 証明
任意の\(p = (p^1, p^2, . . ., p^n) \in (S_1 \times S_2 \times . . . \times S_n) \setminus (S'_1 \times S'_2 \times . . . \times S'_n)\)に対して、ある\(i\)に対して\(p \notin S'_1 \times S'_2 \times . . . \times S'_n\), \(p^i \notin S'_i\)、ある\(i\)に対して\(p^i \in S_i \setminus S'_i\)、ある\(i\)に対して\(p \in S_1 \times . . . \times (S_i \setminus S'_i) \times . . . \times S_n\)、\(p \in ((S_1 \setminus S'_1) \times S_2 \times . . . \times S_n) \cup (S_1 \times (S_2 \setminus S'_2) \times . . . \times S_n) \cup . . . \cup (S_1 \times S_2 \times . . . \times (S_n \setminus S'_n))\)\); 任意の\(p \in ((S_1 \setminus S'_1) \times S_2 \times . . . \times S_n) \cup (S_1 \times (S_2 \setminus S'_2) \times . . . \times S_n) \cup . . . \cup (S_1 \times S_2 \times . . . \times (S_n \setminus S'_n))\)に対して、ある\(i\)に対して\(p \in S_1 \times . . . \times (S_i \setminus S'_i) \times . . . \times S_n\)、ある\(i\)に対して\(p^i \in S_i \setminus S'_i\)、ある\(i\)に対して\(p^i \notin S'_i\)、\(p \notin S'_1 \times S'_2 \times . . . \times S'_n\)、\(p \in (S_1 \times S_2 \times . . . \times S_n) \setminus (S'_1 \times S'_2 \times . . . \times S'_n)\))。
