246: サブセット（部分集合）たちのプロダクトのコンプリメント（補集合）は、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）である

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サブセット（部分集合）たちのプロダクトのコンプリメント（補集合）は、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のサブセット（部分集合）たちのプロダクトのコンプリメント（補集合）は、セット（集合）全体たちのうちの1つがサブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）で置き換えられたもののプロダクトたちのユニオン（和集合）である　命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2,...,S_n$、任意のサブセット（部分集合）たち$S_i^{\prime }\subseteq S_i$に対して、$(S_1\times S_2\times ...\times S_n)\setminus (S_1^{\prime }\times S_2^{\prime }\times ...\times S_n^{\prime })=((S_1\setminus S_1^{\prime })\times S_2\times ...\times S_n)\cup (S_1\times (S_2\setminus S_2^{\prime })\times ...\times S_n)\cup ...\cup (S_1\times S_2\times ...\times (S_n\setminus S_n^{\prime }))$。

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2: 証明

任意の$p=(p^1,p^2,...,p^n)\in (S_1\times S_2\times ...\times S_n)\setminus (S_1^{\prime }\times S_2^{\prime }\times ...\times S_n^{\prime })$に対して、ある$i$に対して$p\notin S_1^{\prime }\times S_2^{\prime }\times ...\times S_n^{\prime }$, $p^i\notin S_i^{\prime }$、ある$i$に対して$p^i\in S_i\setminus S_i^{\prime }$、ある$i$に対して$p\in S_1\times ...\times (S_i\setminus S_i^{\prime })\times ...\times S_n$、$p\in ((S_1\setminus S_1^{\prime })\times S_2\times ...\times S_n)\cup (S_1\times (S_2\setminus S_2^{\prime })\times ...\times S_n)\cup ...\cup (S_1\times S_2\times ...\times (S_n\setminus S_n^{\prime }))$\); 任意の$p\in ((S_1\setminus S_1^{\prime })\times S_2\times ...\times S_n)\cup (S_1\times (S_2\setminus S_2^{\prime })\times ...\times S_n)\cup ...\cup (S_1\times S_2\times ...\times (S_n\setminus S_n^{\prime }))$に対して、ある$i$に対して$p\in S_1\times ...\times (S_i\setminus S_i^{\prime })\times ...\times S_n$、ある$i$に対して$p^i\in S_i\setminus S_i^{\prime }$、ある$i$に対して$p^i\notin S_i^{\prime }$、$p\notin S_1^{\prime }\times S_2^{\prime }\times ...\times S_n^{\prime }$、$p\in (S_1\times S_2\times ...\times S_n)\setminus (S_1^{\prime }\times S_2^{\prime }\times ...\times S_n^{\prime })$)。

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参考資料

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